\chapter{Diskussion der Resultate und offene Fragen}
\label{kapitel:diskussion}

In dieser Arbeit hat sich gezeigt, da"s man auch f"ur Systeme mit einem
gemischten Phasenraum zuverl"assige Spektren aus periodischen Bahnen
erhalten kann.
Selbst f"ur moderate Werte der Quantenzahl $j$, die sich
f"ur den periodisch getriebenen Kreisel
als Inverse der Planckschen Konstanten ausnimmt, gelingt die
Bestimmung der Lage der Quasienergieniveaus bis auf einen kleinen
Prozentsatz ihres mittleren Abstands.
Dieser sch"one Erfolg beruht auf dem Zusammenwirken einer
Vielzahl verschiedener Erkenntnisse, wobei jedes Gebiet zu weiteren
Anstrengungen auffordert, im besseren Sinne sogar einl"adt. 

Die semiklassische N"aherung an sich beruht auf der Auswertung des
Phasenraum\-integrals (\ref{eq:print}) f"ur die Spur des Propagators
mittels der Methode des
st"arksten Abklingens. Die periodischen
Bahnen bilden das
Ger"ust jener Gebiete, aus denen das Integral auf einer geeignet
deformierten Integrationsmannigfaltigkeit
seine gr"o"sten Beitr"age erh"alt.
Der Startausdruck der Semiklassik leidet jedoch unter ein paar
Defekten (die zum Gl"uck durch das weitere Voranschreiten zum gr"o"sten
Teil gegenstandslos werden).
So ist der Integrand nicht invariant unter kanonischen
Transformationen. Selbst das Vertauschen von Ort und Impuls ($q \to P, p
\to -Q$) f"uhrt auf einen ver"anderten Ausdruck.
Mit kanonischen Transformationen
verschieben sich auch die Kaustiken und damit die Gebiete, in denen der
Integrand eine schlechte N"aherung beschreibt.
W"unschenswert w"are ein Ausdruck, der solche pathologischen 
Gebiete umgeht. Zum Teil mag dies schon automatisch mit der
Deformation der Integrationskontur geschehen.
Es gibt aber auch vielversprechende
Ans"atze wie die
Wignerdarstellung des Propagators, in denen Ort und Impuls
gleichberechtigt nebeneinanderstehen \cite{Berry:Balasz:1979,Berry:1977a}.
Oder sollte man zum Pfadintegralausdruck zur"uckgehen? 

Die
vier wesentlichen Eigenschaften  der periodischen Bahnen (L"ange,
Wirkung, Stabilit"at, Maslovindex) sind invariant unter kanonischen
Transformationen. Offen bleibt, ob dies auch f"ur die
Topologie der verschobenen Integrationsmannigfaltigkeit gilt.
Sind die relevanten Geisterbahnen zum Beispiel in jedem kanonischen
Koordinatensystem gleich? Eine negative Antwort auf diese
Fragestellung w"are "uberraschend, doch es bleibt noch verborgen,
in welchen Eigenschaften die Bejahung schlummert.
Insgesamt ist auf der Stufe
des Phasenraumintegrals (\ref{eq:print}) die Suche nach dem
g"unstigsten Anfangsausdruck nicht abgeschlossen. H"atte man einen
solchen Ausdruck, so w"are es sicher interessant, das Integral direkt
auszuwerten.

Wir haben uns geeigneter Normalformen bedient und 
gleichf"ormige N"aherungen konstruiert, um kanonisch invariante
Beitr"age aus den Gebieten um die periodischen Bahnen herum zu erhalten.
Dabei halfen die klassische St"orungstheorie und Ans"atze aus der
Katastrophentheorie, Normalformen herzuleiten und die kollektiven
Beitr"age eng benachbarter Bahnen zu finden. Cluster aus periodischen
Bahnen wurden
anhand jener Bifurkationen gebildet, in deren N"ahe sich
das System im Parameterraum gerade befindet. Die Bahnen
eines Clusters tragen gemeinsam zur Spur des Propagators bei. 

Bei den Bifurkationen haben wir lokale Bifurkationen von globalen
unterschieden, wobei letztere mit Stokes"uberg"angen verkn"upft sind. 
Die Bifurkationen haben wir weiter in ihrer Komplexit"at 
nach ihrer Kodimension klassifiziert. Die Bifurkationen der Kodimension
eins treten
bei einer einparametrigen Studie eines Systems auf und sind in diesem
Sinne generisch.
Mit Bifurkationen der Kodimension
zwei k"onnen auch die wichtigsten {\em Sequenzen} generischer
Bifurkationen beschrieben werden.
F"ur h"ohere Potenzen der Spur ist mit dem exponentiellen Anwachsen
der Zahl periodischer Bahnen eine andauernde Erh"ohung der ben"otigten
Kodimension denkbar. Die Normalformen sollten sich mittels der Mitnahme
h"oherer Resonanzen in der St"orungsreihe der Hamiltonfunktion 
ergeben. Der Schritt von der Normalform der Hamiltonfunktion zu der
Erzeugenden im Vorfeld solcher Untersuchungen bedarf 
sicher noch einiger technischer Vereinfachungen.

Ein eng verwandtes Thema sind {\em Kaskaden} von
Bifurkationen. Dies sind Abfolgen, die sich erst durch Iteration von
Normalformen beschreiben lassen. Als Beispiel mag die Abbildung gelten,
die hinter der Normalform (\ref{eq:nformm1})
f"ur Tangentenbifurkationen steht. Sie l"a"st sich in eine Form bringen,
die man auch unter dem Namen "`quadratische Abbildung"' kennt und 
gerne benutzt wird, um Kaskaden von Periodenverdopplungen im Anschlu"s
an eine Tangentenbifurkation zu beschreiben
\cite[Kapitel 3.8.2]{Reichl:1992}.
Im Rahmen dieser Arbeit konnten solche Kaskaden in allen F"allen durch
ein Umordnen der Cluster bei einem Wert des Kontrollparameters zwischen
den Bifurkationen behandelt werden.  Unter weiteren Iterationen der
Abbildung ist aber zu erwarten, da"s dies nicht mehr ausreicht.

Direkt kn"upft sich die Frage nach dem semiklassischen Fehler an.
Selbst eine Absch"atzung f"allt schwer.
Es ist wenig "uber die Korrekturterme in h"oheren Ordnungen der
Planckschen Konstanten bekannt. Sie sind in jedem Fall nicht mehr
kanonisch invariant und f"uhren in die Richtung einer vollst"andigen
asymptotischen Entwicklung der Propagatorspur. Letztendlich sollte es
gelingen, sogar zu einem formal exakten Ergebnis zu gelangen.

Schon auf der ersten Stufe dieser Entwicklung, auf die wir uns hier
beschr"ankt haben, bleibt offen, bis zu welchen Zeiten man sich auf die
Semiklassik verlassen kann. Sinnvoll scheint eine Zeit in der
Gr"o"senordnung der Heisenbergzeit, in der Gr"o"senordnung des Inversen
der Planckschen Konstanten also. Beim Kreisel 
ist sie mit $t_{\rm h}=\frac 1N=\frac 1 {2j+1}$ mit der
Darstellungsdimension
verkn"upft.

Statistische Eigenschaften des Energiespektrums sind in dieser Arbeit
g"anzlich ausgeklammert worden. Viele Eigenschaften chaotischer Systeme
lassen sich mit der Zufallsmatrixtheorie beschreiben
\cite{Haake:1991,Dyson:1962,Mehta:1991,Bohigas:Giannoni:1984}. 
Ans"atze, den Zusammenhang auch streng zu begr"unden, sind in j"ungster
Zeit auf immer gr"o"seres Interesse gesto"sen
\cite{Wilkinson:1988,Argaman:Dittes:1993,Andreev:Altshuler:1995,%
Agam:Altshuler:1995,Andreev:Agam:1996,Andreev:Simons:1996,%
Bogomolny:Keating:1996,Smilansky:1996}. 
So steht in diesem Zusammenhang noch eine
Kl"arung des semiklassischen Ursprungs des Verhaltens mancher Gr"o"sen
nach der Heisenbergzeit aus.
Ein Beispiel ist die Strukturfunktion $C_n\equiv
\left\langle|\tr F^n|^2\right\rangle$.
Das Mittel ist entweder "uber $\hbar$ (also $j$) oder ein Gebiet
im Parameterraum  zu nehmen. F"ur einen ausgepr"agt chaotischen
Kreisel ohne Zeitumkehrinvarianz
w"achst $C_n=n$ bis $n=N$ linear an und bleibt dann konstant, $C_n=N$
f"ur $n\geq N$. Dies steht im Einklang zur Zufallsmatrixtheorie
\cite{Haake:Kus:1996}.
Das lineare Anwachsen bis zur
Heisenbergzeit l"a"st sich semiklassisch aus der
Hannay--Ozorio-de-Almeida--Summationsregel verstehen
\cite{Ozorio:1988,Hannay:Ozorio:1984}.
Es wird vermutet, da"s f"ur gr"o"sere Zeiten
Korrelationen zwischen periodischen Bahnen eine Rolle spielen.
W"ahrend man zur Zeit aktiv nach klassischen Korrelationen Ausschau h"alt,
bietet sich auch ein zweites Erkl"arungsmuster an: Es mag ---
selbst f"ur vollst"andig chaotische Systeme --- sein, da"s
nach der Heisenbergzeit
die skalierte  Wirkungsdifferenz benachbarter Bahnen nicht mehr gro"s
genug ist, um mit der "ublichen N"aherung der station"aren Phase
auszukommen. M"oglicherweise ist dann die Erzeugende auf der Skala 
$\hbar=\frac 1N$ eine nur schwach ver"anderliche Funktion, und das
Phasenraumintegral kann durch ein ergodisches Mitteln durchgef"uhrt
werden. Die durch die Unzahl der periodischen Bahnen herr"uhrenden
Fluktuationen bewegen sich nach dieser Hypothese f"ur gro"se Zeiten
unterhalb der Skala
$\frac 1N$ und spielen keine Rolle mehr. Dadurch lassen sich
Skalierungseigenschaften folgern, die "uberpr"uft werden sollten.

Die Selbstinversit"atsbeziehung und 
die Kenntnis der exakten Determinante erlauben es, sich auf die Dynamik
bis zur H"alfte der Heisenbergzeit zu beschr"anken. Um sich von der
exakten Determinante zu l"osen, bedarf es sicher noch einiger
Anstrengungen. Es bleibt festzuhalten, da"s die Determinante mit dem
Kunstgriff der 
Faktorisierung auch semiklassisch exakt bestimmbar ist. Sowohl die reine
Drehung als auch die reine Torsion lassen sich n"amlich mittels
periodischer Bahnen oder EBK--Quantisierung fehlerlos behandeln.

Bei der Frage nach dem zeitlichen G"ultigkeitsbereich der
Semiklassik
wie auch bei den Kaskaden und der Absch"atzung der ben"otigten 
Kodimension m"ogen Techniken aus der Renormierungstheorie hilfreich
sein. In allen  drei F"allen w"urde man sich auf das Verhalten der mit $N$
skalierten Wirkungsdifferenz im gemeinsamen Grenzfall
$N = t\to\infty$ interessieren.
Die Verkn"upfung der beiden Grenz"uberg"ange
ist durch die Heisenbergzeit gegeben.

Fraglich bleibt, ob sich in einer konkreten Anwendung das Auffinden und
Zuordnen einer Unzahl periodischer Bahnen soweit automatisieren l"a"st,
da"s der Aufwand halbwegs in Grenzen gehalten wird. Es gibt andererseits
semiklassische Techniken, die auf periodische Bahnen verzichten und mit
deutlich weniger klassischer Information auskommen
\cite{Gerwinski:Haake:1995,%
Braun:Gerwinski:1996,Bogomolny:1990,Bogomolny:1992a}.
Wie l"a"st sich der Informations"uberschu"s verstehen, und wie kann man
seiner Herr werden? Auch wenn kein Ansatz erkennbar ist,
scheint eine Kl"arung allemal w"unschenswert.

Die hier betrachtete Kreiselversion  zeichnet sich durch die Abwesenheit 
aller geometrischer Symmetrien aus und ist auch nicht zeitumkehrinvariant,
wenn man mal vom integrablen Fall absieht. Sehr leicht lassen sich jedoch
die Parameter so w"ahlen, da"s Symmetrien auftreten. Dadurch treten weitere
Typen von Bifurkationen auf, die erst in der Teilklasse symmetrischer
Systeme generisch sind
\cite{Rimmer:1983,Golubitsky:Stewart:1987,Aguiar:Malta:1987,Aguiar:Malta:1988%
,Ozorio:Aguiar:1990}.
Bei Zeitumkehrinvarianz kommt genau ein weiterer
Bifurkationstyp hinzu. Geht man schlie"slich nicht von der reinen Drehung,
sondern von der reinen Torsion aus, so m"u"sten auch die gleichf"ormigen
N"aherungen f"ur gebrochene Tori herangezogen werden. Einen solchen Beitrag
haben wir bei $\tr F^3$ benutzt; die Anwendung ergab sich aber nur mehr
oder weniger zuf"allig. Kontinuierlichen Symmetrien wie in
\cite{Creagh:Littlejohn:1991,Creagh:Littlejohn:1992} sind erst bei
Systemen mit mehr Freiheitsgraden Beachtung zu schenken.

Schlie"slich sollte das vorgestellte
Programm auch f"ur autonome Systeme mit zwei
Freiheitsgraden durchf"uhrbar sein. Die semiklassischen Beitr"age lassen
sich in einfacher Weise "ubersetzen
\cite{Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,Sieber:1996a}.
Die Selbstinversit"atsbeziehung findet ihren Gleichklang in einer
Funktionalrelation f"ur die dynamische Zetafunktion
\cite{Berry:Keating:1990,Keating:1992a,Keating:1992b}.
Erst in der konkreten Anwendung
zeigen sich jedoch meist tieferliegende Probleme. Dies ist eine der
offensichtlichsten Lehren dieser Arbeit. Mit der vorgefundenen
Ausgangslage jedenfalls w"are auf der Suche nach dem Spektrum kein
Blumentopf zu gewinnen gewesen.
