\chapter{Spuren und Spektren des Kreisels}
\label{kapitel:ergebnisse}
Wir wenden uns nun wieder dem Kreisel zu.
Die verschiedenen semiklassischen
Beitr"age zur Spur aus Kapitel \ref{kap:scbeitraege} werden zun"achst
jeder f"ur sich
mittels des sogenannten Wirkungsspektrums untersucht. Wir
finden sehr gute "Ubereinstimmung zwischen semiklassischen
und exakt quantenmechanischen Resultaten, wenn man kollektive
Beitr"age heranzieht. Die isolierten Beitr"age sind nur weitab einer
Bifurkation g"ultig, die lokalen N"aherungen versagen gerade dort
sowie im semiklassischen Grenzfall.

Damit sind alle Vorarbeiten zur Berechnung konkreter Spuren und
Spektren abgeschlossen.
Die Spuren $\tr F^n$ mit $n=1$, $2$ und $3$ werden f"ur
verschiedene Werte der Quantenzahl $j$
in semiklassischer N"aherung berechnet und mit dem exakten Resultat
verglichen. F"ur das Spektrum ben"otigen wir auch die Determinante
$\det F$. Sie ist analytisch zug"anglich und kann semiklassisch exakt
reproduziert werden. 
Auch die reine Drehung und die reine Torsion 
lassen sich analytisch behandeln. In beiden F"allen
stimmen die Spuren und damit auch das Spektrum sogar mit dem
quantenmechanischen Resultat "uberein.

F"ur den allgemeinen Fall
berechnen wir Spektren f"ur die ganzzahligen
Wert $j=1$, $2$ und $3$ und die halbzahligen Werte
$j=\frac 12$, $\frac 32$ und $\frac 52$.

Selbst f"ur diese moderaten Werte von $j$, weitab des echten
semiklassischen Grenzfalls,
erh"alt man schon sch"one Ergebnisse. Die exakten
Quasienergien werden bis auf einen kleinen Prozentsatz ihres
typischen mittleren Abstands reproduziert, und zwar "uber den gesamten
untersuchten $k$--Bereich von klassisch regul"arem bis hin zu ausgepr"agt
chaotischem Verhalten.

Allerdings sto"sen wir bereits an
die Grenze des Machbaren: Mit $j$ w"achst ja auch die
L"ange der ben"otigten periodischen Bahnen, die rapide immer zahlreicher
werden, und auch die kollektiv beitragenden Konfigurationen
periodischer Bahnen werden immer komplizierter.

\section{Das Wirkungsspektrum und die G"ute kollektiver Beitr"age}

In diesem Abschnitt wollen wir exemplarisch
verschiedene semiklassische Beitr"age
periodischer Bahnen zu den Spuren $\tr F^n$
auf ihre G"ultigkeit hin
untersuchen. Einzelne Spuren selbst eignen sich nicht sonderlich gut dazu,
da sie sich aus einer Vielzahl von Beitr"agen zusammensetzen.
Es ist in diesem Zusammenhang 
n"utzlich, sich mit der Abh"angigkeit der verschiedenen
Beitr"age von der inversen effektiven Planckschen Konstanten $J$
auseinanderzusetzten. 
Im isolierten Beitrag (\ref{eq:isolbeitrag}) geht $J$ nur in die Phase 
ein und ist dort mit der Wirkung verziert.
Betrachtet man demnach Spuren $\tr F^n$ f"ur ein festes $n$ und
variiert die Quantenzahl $j$ (mit $J=j+\frac12$),
so lassen sich einzelne Beitr"age 
durch eine Art Fourierreihenentwicklung extrahieren
\cite{Wintgen:1987,Eichmann:Richter:1988,Kus:Haake:1993a,%
Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,Schomerus:1997a}.
Wir bedienen uns einer endlichen Teilsumme aus einer solchen Entwicklung,
\beq\label{eq:wspek}
T\hoch n(S)\equiv\frac 1 {j_{\rm max}+1-j_{\rm min}}
\sum_{j=j_{\rm min}}^{j_{\rm max}}
\tr F^n(j)\exp\left[-i\left(j+\frac 12\right)S\right]\;.
\eeq
Die inverse effektive Plancksche Konstante ist als Summationsindex 
"`konjugiert"' zum Argument $S\in[0,2\pi)$. (Wir werden der Einfachheit
halber nur "uber ganzzahliges $j$ summieren. Schlie"st man auch
halbzahlige $j$'s mit ein, so liegt $S$ in $[0,4\pi)$).

Setzt man f"ur $\tr F^n$ semiklassisch eine Summe isolierter Beitr"age
(\ref{eq:isolbeitrag}) von periodischen Bahnen $i$ der L"ange $n$ und Wirkung
$S_i$ an, so erwartet man in $|T\hoch n(S)|^2$ Peaks bei $S=S_i$ mit der H"ohe
$|A_i|^2$ aus (\ref{eq:scamp}). Aus diesem Grund nennen wir $|T\hoch n(S)|^2$
in der
Folge das {\em Wirkungsspektrum\/}. Die Breite der Peaks wird durch das
Aufl"osungsverm"ogen der Entwicklung (\ref{eq:wspek}) und somit durch die
Summationsgrenzen bestimmt. Sofern nichts anderes angegeben ist, benutzen wir
$j_{\rm min}=1$ und $j_{\rm max}=64$.  Das Aufl"osungsverm"ogen in $S$ ist
dann von der Gr"o"senordnung $2\pi/64\approx 0.1$.

Auch in den kollektiven Beitr"agen ist die $J$--Abh"angigkeit der Phase 
"ahnlich der der isolierten Beitr"age.
Dort flie"st nun
eine geeignet gemittelte Wirkung ein, wie insbesondere in den
Ausdr"ucken
(\ref{eq:m1unif}), (\ref{sec5e}) und (\ref{sec5f}) deutlich wird.
Dies ist eine Konsequenz
der einfachen $J$--Abh"angigkeit des Integranden in (\ref{eq:print}).
Kollektive Beitr"age beschreiben mehrere Bahnen gleichzeitig und werden zu
einem ausgedehnten Peak f"uhren.
Es h"angt von der mit $J$ skalierten 
Wirkungsdifferenz der Bahnen ab, ob der Peak
gegebenenfalls eine feinere Struktur aufweist. 
So ist es etwa in enger
Nachbarschaft zur Bifurkation durchaus m"oglich, da"s sich zu den
bifurkierenden Bahnen nur ein gemeinsamer Peak im Wirkungsspektrum findet.
In hinreichender Entfernung
zur Bifurkation erwartet man hingegen f"ur jede Bahn einen
eigenen Peak, da die kollektiven Beitr"age dann in eine Summe isolierter
Beitr"age zerfallen. [Aber auch Peaks von im Phasenraum weit voneinander
entfernten Bahnen k"onnen sich "uberlagern, wenn sie zuf"allig beinahe 
die gleiche Wirkung (modulo $2\pi$) haben.]
In den lokalen N"aherungen sind die Peakh"ohen miteinander
verkn"upft. Sie sind daher
nur in der N"ahe der Bifurkation g"ultig, wo die
entsprechenden Beziehungen zwischen den Stabilit"atsfaktoren noch gut erf"ullt
sind. Die gleichf"ormigen N"aherungen zerfallen asymptotisch in isolierte
Beitr"age mit unabh"angigen Peakh"ohen und sollten auch weit von der Bifurkation
entfernt verwendbar sein.

Diese Erwartungen k"onnen wir f"ur den periodisch getriebenen Kreisel
best"atigen. Wir benutzen wieder
die mit einem Kontrollparameter $k$ ausgestattete
Variante aus Abschnitt \ref{sec:praumports}. 
Die periodischen Bahnen und Bifurkationen
haben wir in Abschnitt \ref{sec:findper} untersucht.
Die quantenmechanischen Spuren und damit auch die exakten Wirkungsspektren sind
numerisch leicht erh"altlich.

\subsection{Isolierte Bahnen und Tangentenbifurkationen}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/ft1.ps}}
\caption[
Abfolge quantenmechanisch berechneter Wirkungsspektren $|T\hoch 1(S)|^2$
]{Abfolge quantenmechanisch berechneter Wirkungsspektren $|T\hoch 1(S)|^2$
f"ur steigende Werte des Kontrollparameters $k$. Die Peaks k"onnen
den periodischen Bahnen der L"ange eins zugeordnet werden.}
\label{abb:ft1}
\end{figure}

Abbildung \ref{abb:ft1} zeigt eine Abfolge
exakter Wirkungsspektren $|T\hoch 1(S)|^2$ f"ur verschiedene Werte von $k$.
Es zeigen sich Peaks, die allesamt periodischen Bahnen der L"ange eins
zugeordnet werden k"onnen. 
Die Peaks bei $S_+\approx 1$ und $S_-\approx 4$
geh"oren zu den beiden Bahnen $+\equiv [^1/_0]\hoch 1$, $-\equiv
[^1/_0]\hoch 2$,
die aus den Fixpunkten $\pm\tilde {\bf X}$ (\ref{eq:drehachse})
f"ur $k=0$ hervorgehen. Bei $k=2.45\ldots$ ereignet sich
die Tangentenbifurkation $[^1/_1]_1$,
in der zwei neue periodische Bahnen der L"ange
eins entstehen. Bereits vor der Bifurkation k"undigen sie sich durch einen
Geisterpeak (bei $S=\Re S_i\approx 5.3$) an
\cite{Kus:Haake:1993a,Kus:Haake:1993b}. 
In unmittelbarer N"ahe zur Bifurkation ist
der Peak der bifurkierenden Bahnen sehr ausgepr"agt.
F"ur steigendes $k$ w"achst die Wirkungsdifferenz der neuen Bahnen, bis
schlie"slich das Aufl"osungsverm"ogen ausreicht, um zwei getrennte Peaks zu
erhalten. F"ur $k=3.0$ ist dies bereits der Fall.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize10cm\epsfbox{abb/ft2.ps}}
\caption[
(a) Semiklassisch berechnete Wirkungsspektren $|T\hoch1(S)|^2$
im Vergleich zum exakten Resultat f"ur $k=3.0$. (b) Der Ausschnitt zeigt
die Peaks der bifurkierenden Bahnen.
]{(a) Semiklassisch berechnete Wirkungsspektren $|T\hoch1(S)|^2$
im Vergleich zum exakten Resultat f"ur $k=3.0$. (b) Der Ausschnitt zeigt
die Peaks der bifurkierenden Bahnen. Die Wirkungen der Bahnen sind durch die
vertikalen Linien markiert. Von den drei dargestellten
N"aherungen ist die gleichf"ormige die genaueste.}
\label{abb:ft2}
\end{figure}

In einem ersten Test berechnen wir $\tr F^n(j)$ in verschiedenen
semiklassischen N"aherungen
und vergleichen die daraus resultierenden Wirkungsspektren mit den exakten. Das
Ergebnis f"ur $k=3.0$ ist in Abbildung \ref{abb:ft2}(a) dargestellt.
In allen N"aherungen benutzen wir f"ur die beiden aus den Fixpunkten entstandenen
Bahnen den isolierten Beitrag  (\ref{eq:isolbeitrag}). Die beiden zugeh"origen
Peaks und insbesondere ihre Position und H"ohe werden sehr gut reproduziert.
Die erreichte G"ute ist das Ma"s, an dem wir uns im weiteren orientieren
wollen. Die verschiedenen N"aherungen unterscheiden sich in der Behandlung der
bifurkierenden Bahnen. In die isolierte N"aherung flie"sen sie ebenfalls
"uber (\ref{eq:isolbeitrag}) ein. Der Ausschnitt aus dem Wirkungsspektrum in
Abbildung \ref{abb:ft2}(b) verdeutlicht, da"s dies zu leicht erh"ohten Peaks
f"uhrt, die immerhin an der richtigen Position liegen.
Hier k"undigt sich bereits die Divergenz der isolierten Beitr"age an der
Bifurkation an.
Behandelt man die
beiden bifurkierenden Bahnen kollektiv in der lokalen N"aherung
(\ref{eq:lokm1}), so erh"alt man zwei Peaks gleicher H"ohe und erneut eine
deutliche Abweichung vom exakten Ergebnis. 
Mit der gleichf"ormigen N"aherung (\ref{eq:m1unif}) hingegen erreicht man eine
hervorragende "Ubereinstimmung mit dem exakten Resultat.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize10cm\epsfbox{abb/ft3.ps}}
\caption{Exakter und semiklassisch berechnete Peaks der bifurkierenden
Bahnen wie in \protect\ref{abb:ft2}(b), aber f"ur $k=2.7$}
\label{abb:ft3}
\end{figure}

Wir w"ahlen nun $k=2.7$, n"ahern uns also der Bifurkation an,
und vergleichen wieder die semiklassischen
Peaks der bifurkierenden Bahnen in den verschiedenen N"aherungen mit dem
exakten Resultat.
In Abbildung \ref{abb:ft3} erkennt man nur noch einen Peak ohne weitere
Struktur.
Insbesondere gleichen sich die Werte $|T\hoch 1(S_i)|^2$ einander an. Damit
gewinnt die lokale N"aherung an Genauigkeit. Die Peaks aus der isolierten 
N"aherung sind nun hingegen deutlich zu hoch. Die gleichf"ormige N"aherung
beh"alt ihre G"ultigkeit. 

Ein semiklassischer Beitrag zur Spur l"a"st sich also individuell auf seine
Genauigkeit hin "uberpr"ufen, indem man den aus ihm resultierenden Peak im
Wirkungsspektrum bestimmt und mit dem exakten Wirkungsspektrum vergleicht.
Als geeignete Vergleichsgr"o"sen bieten sich die Betragsquadrate $|T(S_i)|^2$
an den Werten der Wirkungen der periodischen Bahnen an. Um unsere N"aherungen
systematisch zu testen, untersuchen wir in der Folge das Verhalten
dieser Peakh"ohen als Funktion des Kontrollparameters $k$.
Wir ziehen dabei in der Regel in der semiklassischen Berechnung nur den
Beitrag jener periodischer Bahnen heran, die dem zu untersuchenden
Peak zugeordnet werden k"onnen. In den meisten F"allen reicht das aus.
Systematische Abweichungen treten auf, wenn
sich Peaks anderer Bahnen "uberlagern. Man kann diese Bahnen dann
hinzunehmen, und wir werden dies auch stellenweise tun. Die St"arke der
Methode, n"amlich sich meist auf nur wenige Bahnen konzentrieren
und ihren Beitrag f"ur sich untersuchen zu k"onnen, bleibt
davon weitgehend unber"uhrt.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/ftm1.ps}}
\caption[
Peakh"ohen $|T\hoch1(S_\pm)|^2$
im Wirkungsspektrum an den Werten der Wirkung der beiden Bahnen $\pm$, die aus
den Fixpunkten f"ur $k=0$ hervorgehen
]{Peakh"ohen $|T\hoch1(S_\pm)|^2$
im Wirkungsspektrum an den Werten der Wirkung der beiden Bahnen $\pm$, die aus
den Fixpunkten f"ur $k=0$ hervorgehen. Das semiklassische Resultat wird
aus dem isolierten Beitrag (\protect\ref{eq:isolbeitrag}) gewonnen und
stimmt mit dem exakten recht gut "uberein.}
\label{abb:ftm1}
\end{figure}

In den Graphen der Abbildung \ref{abb:ftm1} sind die quantenmechanischen und
semiklassischen Peakh"ohen $|T\hoch1(S_\pm)|^2$ f"ur die
beiden aus den Fixpunkten
entstandenen Bahnen $\pm$ als Funktion von $k$ aufgetragen.
Semiklassisch haben wir den isolierten Beitrag (\ref{eq:isolbeitrag})
der entsprechenden Bahn 
herangezogen und wie bereits besprochen die anderen Bahnen vernachl"assigt.
Man erkennt recht gute "Ubereinstimmung. 

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/ftm1a.ps}}
\caption[
Peakh"ohen $|T\hoch1(S_i)|^2$
im Wirkungsspektrum und ihr absoluter Fehler
an den Werten der Wirkung der beiden bei
$k=2.45\ldots$ in der Tangentenbifurkation $[^1/_1{]}_1$ entstehenden
Bahnen
]{Peakh"ohen $|T\hoch1(S_i)|^2$
im Wirkungsspektrum und ihr absoluter Fehler
an den Werten der Wirkung der beiden bei
$k=2.45\ldots$ in der Tangentenbifurkation $[^1/_1]_1$ entstehenden
Bahnen. Von den drei N"aherungen ist die
gleichf"ormige "uberall gut. Die lokale N"aherung sagt die Peakh"ohen in
der N"ahe der Bifurkation gut voraus. Die isolierte N"aherung gibt gute
Resultate, wenn die beiden Bahnen weit voneinander entfernt liegen.
}
\label{abb:ftm1a}
\end{figure}


Die Peakh"ohen an den Werten der beiden bifurkierenden Bahnen
$[^1/_1]_1\hoch{0,1}$
sind in
Abbildung \ref{abb:ftm1a} dargestellt. Hier sind wieder die drei Stufen
isoliert, lokal und gleichf"ormig
der N"aherung miteinander verglichen.
Die isolierte N"aherung ist nur weitab der Bifurkation g"ultig. Direkt
an der Bifurkation divergiert sie, und auch noch in einiger Entfernung
liegt sie zu hoch. Der G"ultigkeitsbereich der lokalen N"aherung ist
auf der Seite mit reellen periodischen Bahnen dem der isolierten N"aherung
komplement"ar. Die H"ohe der Geisterpeaks stimmt mit dem exakten Resultat
gut "uberein. Die gleichf"ormige N"aherung ist im gesamten $k$--Bereich
g"ultig. Sie interpoliert also sinnvoll zwischen der lokalen und der
isolierten N"aherung.
Es sei  erw"ahnt, da"s sich hier wie in den meisten folgenden Bildern die
gleichf"ormige N"aherung visuell nicht vom exakten Resultat
unterscheiden l"a"st und auch eine Vergr"o"serung der Bilder
keinen besseren Einblick gew"ahrt. Daher haben wir fast "uberall auch
den absoluten Fehler mit aufgetragen, der erheblich informativer ist.
Im aktuellen Fall
zeigt er an, da"s es 
einen
"Ubergangsbereich von $k=2.7$ bis $3.2$
gibt, in dem die gleichf"ormige N"aherung den beiden
anderen "uberlegen ist. 
Dies ist auch in Abbildung \ref{abb:ft2}(b) gut zu erkennen.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/ft6.ps}}
\caption{Peakh"ohen $|T\hoch1(S_i)|^2$
im Wirkungsspektrum  und ihr absoluter Fehler
f"ur die Bahnen aus der Tangentenbifurkation $[^1/_1]_1$ bei
$k=2.45\ldots$ f"ur festes $k=2.7$ als Funktion von $j_{\rm min}$ mit
$j_{\rm max}=j_{\rm min}+63$
}
\label{abb:ft6}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/ft7.ps}}
\caption{Peakh"ohen und absoluter
Fehler wie in Abbildung \protect\ref{abb:ft6},
aber f"ur  $k=3.0$}
\label{abb:ft7}
\end{figure}

Um die Gleichf"ormigkeit der N"aherung vollends abzuklopfen, betrachten
wir nun die Peakh"ohe f"ur festes $k$ und wachsendes $j_{\rm min}$ bei
$j_{\rm max}=j_{\rm min}+63$. In Abbildung \ref{abb:ft6} ist das Ergebnis
f"ur $k=2.7$ aufgetragen, in Abbildung \ref{abb:ft7} jenes f"ur $k=3.0$.
Der Fehler der gleichf"ormigen N"aherung ist
um Gr"o"senordnungen kleiner als der der anderen N"aherungen. 
Das periodische Verhalten der Peakh"ohen mit $j_{\rm min}$ l"a"st sich aus der
linear mit $j$ anwachsenden relativen Phase der beiden isolierten
Beitr"age verstehen. Der Fehler der isolierten und der gleichf"ormigen
N"aherung klingt mit steigendem $j_{\rm min}$ ab, w"ahrend
der der lokalen N"aherung ungef"ahr konstant bleibt.

\subsection{Periodenverdopplungen}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/ftm2.ps}}
\caption{Peakh"ohen $|T\hoch2(S_i)|^2$
im Wirkungsspektrum an den Werten der Wirkung der zentralen Bahn der
L"ange eins und des Satelliten der L"ange zwei, die bei
$k=4.31\ldots$ in der Periodenverdopplung $[^1/_2]_3$ koaleszieren}
\label{abb:ftm2}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/ftm2a.ps}}
\caption[
Peakh"ohen $|T\hoch2(S_i)|^2$ und absoluter Fehler
f"ur die beiden Bahnen, 
die an der Periodenverdopplung  $[^1/_2{]}_1$ bei
$k=2.78\ldots$ teilnehmen.
]{Peakh"ohen $|T\hoch2(S_i)|^2$ und absoluter Fehler
f"ur die beiden Bahnen, 
die an der Periodenverdopplung  $[^1/_2]_1$ bei
$k=2.78\ldots$ teilnehmen. 
Die Bahnen aus der Periodenverdopplung  $[^1/_2]_2$
bei $2.83\ldots$
sind hier ebenfalls ber"ucksichtigt, da sich ihr Peak mit dem zu untersuchenden
"uberlappt. Im Gegensatz zu Abbildung \protect\ref{abb:ftm2} ist nun
auch das Zusammenbrechen der lokalen N"aherung weitab der Bifurkation zu
erkennen.}
\label{abb:ftm2a}
\end{figure}

Auch die kollektiven N"aherungen f"ur die anderen Bifurkationstypen
wollen wir anhand der Peakh"ohen auf ihre Genauigkeit hin "uberpr"ufen.
Abbildung \ref{abb:ftm2} zeigt die Peakh"ohen $|T\hoch2(S_i)|^2$ f"ur
die beiden periodischen Bahnen, die bei $k=4.31\ldots$ an der
Periodenverdopplung $[^1/_2]_3$ teilnehmen. Die isolierte N"aherung divergiert
erneut an der Bifurkation. Damit Abweichungen
zwischen der gleichf"ormigen und der
lokalen N"aherung aus (\ref{sec5e}) und (\ref{eq:m2lok}) auftreten,
m"ussen wir uns soweit von der Bifurkation entfernen, da"s die Beziehung
(\ref{eq:stabbezm2}) zwischen den Stabilit"atsfaktoren $\tr M_i$
hinreichend verletzt ist. Ab $k\approx 6$ beginnen sich jedoch Beitr"age
anderer periodischer Bahnen zu "uberlagern. Einen Beitrag haben wir
bereits ber"ucksichtigt.  Damit kommt man aber immer noch nicht in einen
$k$--Bereich, in dem die gew"unschten Abweichungen deutlich werden.
Anstatt weitere Beitr"age hinzuzunehmen und dadurch die Kontrolle zu
verlieren, woher Abweichungen vom exakten Resultat herr"uhren, wenden
wir uns anderen Periodenverdopplungen zu, und zwar denen bei
$k=2.78\ldots$ ($[^1/_2]_1$) und $k=2.83\ldots$ ($[^1/_2]_2$).
Die Wirkungen der beiden Paare
bifurkierender Bahnen liegen (zuf"alligerweise) nahe beieinander.
Hier hat man es also erneut mit einer "Uberlagerung von Peaks zu tun,
die nun zwei kollektiven Beitr"agen gleichen Typs zugeordnet werden
k"onnen. Abbildung \ref{abb:ftm2a} stellt die Peakh"ohen an den
Wirkungen der bei $k=2.78\ldots$ bifurkierenden Bahnen dar. Die
unregelm"a"sige Struktur r"uhrt von der Interferenz der beiden
kollektiven Beitr"age her. Die gleichf"ormige N"aherung behandelt beide
Paare mittels (\ref{sec5e}) und vermag das quantenmechanische Resultat
"uberall gut zu reproduzieren. Nun wird das Zusammenbrechen der
lokalen N"aherung weitab der Bifurkation deutlich, wobei f"ur
beide Paare  (\ref{eq:m2lok}) verwendet wird. Die isolierte Behandlung
aller Bahnen divergiert an den Bifurkationen. 
Insbesondere f"ur den Satelliten erkennt man am absoluten Fehler, da"s
es wieder einen "Ubergangsbereich gibt, in dem die Verwendung der
gleichf"ormigen N"aherung unabdingbar ist.


Der Geisterbeitrag der Satelliten vor der Bifurkation ist in den
Abbildungen \ref{abb:ftm2} und \ref{abb:ftm2a} sehr stark unterdr"uckt.
Dies steht in Einklang mit dem asymptotischen Verhalten (\ref{eq:asym2g})
des kollektiven Beitrags (\ref{sec5e}) und ist Ausdruck des Umstands,
da"s der Satellitengeist nicht auf der nach der Methode des st"arksten
Abklingens des Integranden deformierten Integrationskontur liegt. 

\subsection{Periodenverdreifachungen}

\label{sec:m13ft}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/ftm3.ps}}
\caption[
Peakh"ohen $|T\hoch3(S_i)|^2$ f"ur die 
Bahnen aus der Periodenverdreifachung $[^1/_3{]}_1$ bei $k=1.859\ldots$
und den
zus"atzlichen (stabilen) Satelliten aus der Tangentenbifurkation 
$[^3/_1{]}_1$ bei
$k=1.853\ldots$
]{Peakh"ohen $|T\hoch3(S_i)|^2$ f"ur die 
Bahnen aus der Periodenverdreifachung $[^1/_3]_1$ bei $k=1.859\ldots$
und den
zus"atzlichen (stabilen) Satelliten aus der Tangentenbifurkation 
$[^3/_1]_1$ bei
$k=1.853\ldots$\,. Linke Spalte:
In der N"ahe der Bifurkation f"uhren die kollektiven Beitr"age der
Kodimension eins zu Abweichungen, wie wir sie
bisher nur von der isolierten N"aherung kennen.
Rechte Spalte:
Die kollektive Behandlung aller drei Bahnen f"uhrt zu einer guten
"Ubereinstimmung mit dem exakten Resultat.
}
\label{abb:ftm3}
\end{figure}


Beim Auffinden der periodischen Bahnen des Kreisels
haben wir bereits festgestellt, da"s 
Periodenverdreifachungen immer von Tangentenbifurkationen des
Satelliten begleitet werden. Wie sich in Abbildung \ref{abb:ftm3} zeigt,
ist die Wirkungsdifferenz des dabei involvierten zus"atzlichen
Satelliten so klein, da"s man mit N"aherungen auf der Basis von
Bifurkationen der Kodimension eins nicht mehr auskommt. Vor der
Tangentenbifurkation $[^3/_1]_1$
werden in der entsprechend bezeichneten N"aherung
die beiden Satelliten kollektiv und der zentrale Orbit isoliert
behandelt. Jenseits der Periodenverdreifachung $[^1/_3]_1$ gehen die
daran beteiligten Bahnen kollektiv ein, w"ahrend nun der zus"atzliche
Satellit mit seinem isolierten Beitrag genommen wird.
Zum Vergleich ist 
dargestellt, zu welchem Resultat man mit der isolierten Behandlung
aller drei Bahnen kommt.
Aus Abbildung \ref{abb:ftm3} ist weiter ersichtlich, da"s die kollektive
Behandlung aller drei periodischen Bahnen gem"a"s (\ref{eq:unifm13})
wieder zu einer guten
"Ubereinstimmung der semiklassischen Voraussage mit den
exakten Peakh"ohen f"uhrt. Semiklassisch sp"urt man somit Bifurkationen
der Kodimension zwei, selbst wenn man nur einen Parameter ver"andert.
Dies ist nicht weiter verwunderlich, da selbst Bifurkationen der
Kodimension eins semiklassisch eine gewisse Reichweite in $k$ haben,
sich also nicht nur punktuell f"ur den Bifurkationswert von $k$
bemerkbar machen.  Wir erinnern an das Abstandsma"s $J\Delta S$, welches
gro"s sein mu"s, damit kollektive Beitr"age in isolierte zerfallen. Erst
wenn man die Summationsgrenzen in (\ref{eq:wspek}) zu sehr gro"sen
Werten verschiebt, reichen hier in analoger Weise die N"aherungen 
zur Kodimension eins wieder aus. 

Die Peakh"ohen der Geistersatelliten fallen f"ur kleiner werdende Werte von $k$
rapide ab. Verantwortlich hierf"ur ist der Stokes"ubergang, der die
Geister bereits f"ur $k\lesssim 1.84$ irrelevant werden l"a"st. Die
N"aherungen mit Kodimension zwei spiegeln sehr gut wider, da"s dieser
"Ubergang nicht schlagartig, sondern allm"ahlich vonstatten geht.

\subsection{Periodenvervierfachungen}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/ftm4.ps}}
\caption[
Peakh"ohen $|T\hoch4(S_i)|^2$ an den Werten
der Wirkung der Bahnen aus der Periodenvervierfachung $[^1/_4{]}_1$
bei $k=1.01\ldots$
]{
Peakh"ohen $|T\hoch4(S_i)|^2$ an den Werten
der Wirkung der Bahnen aus der Periodenvervierfachung $[^1/_4]_1$
bei $k=1.01\ldots$\,. In der logarithmischen Darstellung ist die starke
Unterdr"uckung der Satellitengeister gut zu erkennen. In der
nichtlogarithmischen Darstellung wird das Zusammenbrechen der lokalen
N"aherung f"ur die Satelliten ab $k\approx 1.2$ deutlich.}
\label{abb:ftm4}
\end{figure}

Wir wenden uns nun der Periodenvervierfachung $[^1/_4]_1$
bei $k=1.01\ldots$ zu. Sie ist
vom Typ $|a/b|>1$ f"ur das Verh"altnis der Koeffizienten in der
Normalform (\ref{eq:nformm4}). Auf der einen Seite gibt es also zwei
Geistersatelliten, auf der anderen zwei reelle Satelliten. Die exakten
Peakh"ohen sind in 
Abbildung \ref{abb:ftm4} mit den semiklassischen
Vorhersagen der isolierten, lokalen und gleichf"ormigen N"aherung
verglichen. Wieder ist die gleichf"ormige N"aherung im gesamten
$k$--Bereich verwendbar und vom exakten Ergebnis nicht zu unterscheiden.
Die isolierte N"aherung ist erst in gro"ser Entfernung zur Bifurkation
g"ultig.
Der Zusammenbruch der lokalen N"aherung ist
in der logarithmischen Darstellung nicht deutlich zu erkennen, kann jedoch in
der nichtlogarithmischen Skala ausgemacht werden.

\subsection{Stokes"uberg"ange in der N"ahe von Tangentenbifurkationen}
\label{sec:stokesft}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/ftm11.ps}}
\caption[
Peakh"ohen $|T\hoch2(S_\pm)|^2$ an den Werten
der Wirkung der dominanten Bahn und des subdominanten Geistes aus
der Tangentenbifurkation $[^2/_1{]}_4$ bei $k=8.12\ldots$
]{
Peakh"ohen $|T\hoch2(S_\pm)|^2$ an den Werten
der Wirkung der dominanten Bahn und des subdominanten Geistes aus
der Tangentenbifurkation $[^2/_1]_4$ bei $k=8.12\ldots$\,.
Als Nachfolger des Geistes
ist f"ur $k>8.12\ldots$ 
die
Peakh"ohe an der Wirkung der stabilen reellen Bahn gezeigt.
}
\label{abb:ftm11}
\end{figure}

Wir kehren nun wieder zu den Tangentenbifurkationen zur"uck und
betrachten den Stokes"ubergang des darin involvierten Geistes mit $\Im S
>0$. Dieser Stokes"ubergang kann mit dominanten periodischen
Bahnen verschiedener Periode vonstatten gehen.
Einen Fall haben wir bereits diskutiert, n"amlich das Ausschalten der
Satelliten dreifacher Periodenl"ange durch den zentralen Orbit in
Abschnitt \ref{sec:m13ft}. Ein weiterer f"ur die Berechnung des
Quasienergiespektrums relevanter Fall ist das Ausschalten eines
Geisterbeitrags durch einen Satelliten gleicher Periodenl"ange.
Die kollektiven Beitr"age unter Einschlu"s des dominanten Orbits
wurden in Abschnitt \ref{sec:m11sc} bereitgestellt. Die lokale
Behandlung des "Ubergangs wurde in Abschnitt \ref{sec:stokes} diskutiert.

Bei der Untersuchung unserer Kreiselvariante tritt die Bedeutung der
Stokes\-"uber\-g"ange in der erw"ahnten Form
insbesondere f"ur einige Beitr"age zu den Spuren $\tr
F^2$ und $\tr F^3$ hervor. Wir diskutieren hier exemplarisch
einen Beitrag zu
$\tr F^2$, bei dem zur Erzielung guter Ergebnisse
die kollektive Behandlung einschlie"slich des
dominanten Orbits notwendig ist.  An der in Frage stehenden 
Tangentenbifurkation $[^2/_1]_4$ bei $k=8.12\ldots$ 
sind zwei periodische Bahnen der L"ange zwei
beteiligt. In unmittelbarer
Phasenraumnachbarschaft der neu entstehenden Bahnen 
befindet sich bereits
ein anderer periodischer Orbit der Periode zwei. Er
ist in der Tangentenbifurkation $[^2/_1]_1$
bei $k=4.87\ldots$ entstanden,
zun"achst als stabiler Orbit; er ist
zwischen $k\approx 5.20$ und $k\approx
7.60$ invers instabil und dann wieder bis $k\approx 8.20$ stabil.
Diese Bahn fungiert als dominanter Orbit im Stokes"ubergang bei $k\approx
7.98$.
Bei diesem Parameterwert
ist die Spur seiner Stabilit"atsmatrix $\tr M\approx 1$. Er ist dort
also nicht gut isoliert.  Dies spiegelt sich auch in den Peakh"ohen
des Wirkungsspektrums wider. In Abbildung \ref{abb:ftm11} ist die
exakte Peakh"ohe bei der Wirkung $S_+$ des dominanten Orbits und
beim Realteil der Wirkung $S_-$ des subdominanten
Geistes mit verschiedenen semiklassischen
N"aherungen verglichen, die sich in der Behandlung des Stokes"uberganges
unterscheiden. Die einfache gleichf"ormige N"aherung ignoriert den
Stokes"ubergang und f"uhrt dort, wo Geister irrelevant sind, 
zu einem deutlich "uberh"ohten Peak bei $S_-$. Auch direkt an der
Bifurkation sind beide Peaks deutlich "uberh"oht. Ber"ucksichtigt
man den Stokes"ubergang durch Multiplikation des Stokesfaktors 
(\ref{eq:stokesfaktor}) an den
Geisterbeitrag,
so stimmt das Ergebnis
f"ur kleine $k$--Werte, wo der Beitrag bereits fast vollst"andig
unterdr"uckt ist,
sehr gut mit dem exakten "uber\-ein.
Direkt 
an der Bifurkation
und dem "Ubergang wird die Peakh"ohe jedoch nicht hinreichend
regularisiert.
Dies gelingt erst mit der
kollektiven Behandlung aller drei an der Bifurkation und dem "Ubergang
beteiligten Bahnen. Dann erh"alt man ein Ergebnis, das "uber den
gesamten $k$--Bereich gut ist.
Den untersuchten Peaks "uberlagern sich abseits der
Bifurkation und des Stokes"uberganges 
auch die zweier weiterer Bahnen, die hier in allen N"aherungen
mit ihren isolierten Beitr"agen mitber"ucksichtigt wurden. 
Aus ihnen resultieren die deutlich sichtbaren
erratischen Fluktuationen der Peakh"ohe des subdominanten Orbits.

Die Abfolge eines Stokes"uberganges eines Periode--zwei--Orbits mit einem
dominanten Orbit der L"ange eins diskutieren wir in Abschnitt
\ref{sec:trF2num}. In Abschnitt \ref{sec:trf3sc} behandeln wir
schlie"slich den Beitrag eines doppelt gebrochenen Torus.

\section{Spuren des Floquetoperators}

Wir wenden uns nun den eigentlichen Spuren der Floquetoperators zu und stellen
die numerischen Daten zusammen, die sp"ater zur Berechnung des
Quasienergiespektrums herangezogen werden. Wir wollen dabei den gesamten
"Ubergang von regul"arem zu ausgepr"agt chaotischem Verhalten
"uberdecken, welcher im Intervall $0\leq k\lesssim 10$ vonstatten
geht. 

Mit vertretbarem Aufwand
lassen sich in diesem Intervall
die Spuren $\tr F^n$ mit den Potenzen $n=1,2,3$ berechnen. In den
ausgefeiltesten N"aherungen erh"alt man dann selbst f"ur kleine Werte
$j=1,2,3$
der Drehimpulsquantenzahl gute Ergebnisse. Der Fehler verh"alt sich
in diesen N"aherungen  mit steigendem $J=j+\frac 12$ wie $J^{-1}$.
Ebensogute Ergebnisse werden wir in Abschnitt (\ref{sec:halbj})
f"ur die halbzahligen Werte $j=\frac 12,\frac 32,\frac 52$ kennenlernen.

Die nicht ganz so elaborierten N"aherungen  (etwa mit isolierten oder
lokalen Beitr"agen oder solchen zu geringer Kodimension, schlie"slich
auch Stokes"uberg"ange mi"sachtende) f"uhren
in recht ausgedehnten Bereichen des Parameterraums selbst bei gro"sen
Werten von $j$ zu einem um Gr"o"senordnungen erh"ohten Fehler.

F"ur die periodischen Bahnen und Bifurkationen verweisen wir auf
Abschnitt \ref{sec:findper}.

\subsection{Die erste Potenz}
\label{sec:trF1num}

Die Spur der ersten Potenz des Floquetoperators $\tr F$ 
ist semiklassisch am leichtesten zug"anglich --- in sie
flie"st die geringste Zahl periodischer Bahnen ein, n"amlich nur jede Bahn
mit Periode eins.
F"ur die erste Potenz sind allein die Tangentenbifurkationen
der Periode--eins--Bahnen von Bedeutung, da alle anderen
Bifurkationen erst unter Iteration der Abbildung sichtbar werden.
Jede Bifurkation definiert einen
Cluster aus den an ihr beteiligten Bahnen.
Die Cluster k"onnen "uber den gesamten
Parameterbereich unver"andert gelassen werden, da
alle Bahnen f"ur die betrachteten Kopplungsst"arken maximal 
an einer Bifurkation beteiligt sind.

F"ur $j=1$ gen"ugt die erste Spur und die Kenntnis der
Determinante bereits zur Festlegung des gesamten aus drei Niveaus
bestehenden Quasienergiespektrums. In Abbildung \ref{abb:tr1j1} sind 
Real- und Imagin"arteil der
Spur f"ur $j=1$ in verschiedenen N"aherungen gegen $k$ aufgetragen.
Auch der absolute Fehler $|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ ist angegeben. 
Hier steht "`qm"'  f"ur quantenmechanisch und "`sk"' f"ur
semiklassisch.
Wir diskutieren kurz die verschiedenen Stufen der N"aherung:
In der {\em isolierten\/} N"aherung werden hier nur die reellen Bahnen
ber"ucksichtigt. Sie entspricht also der naiven Anwendung
der nur f"ur hyperbolische Systeme g"ultigen Gutzwillerschen Spurformel.
An den beiden Tangentenbifurkationen $[^1/_1]_{1,2}$ bei $k=2.45\ldots$ und
$k=8.81\ldots$ divergiert sie jeweils auf der Seite der Bifurkation,
auf der die
bifurkierenden Bahnen reelle Koordinaten haben. Die reelle N"aherung mit
{\em Kodimension eins\/} regularisiert das Verhalten auf dieser Seite mittels
des kollektiven Beitrags
(\ref{eq:m1unif})
f"ur Tangentenbifurkationen.
Auf der anderen
Seite der Bifurkation ist das Ergebnis in beiden N"aherungen
endlich, aber grob falsch. Offensichtlich r"uhrt dies aus der
Vernachl"assigung der {\em Geister\/}beitr"age her. Sie haben wir im n"achsten
Schritt mit ihrem kollektiven Beitrag hinzugenommen.  Dadurch erh"alt
man eine bereits recht ordentliche N"aherung. F"ur die betrachtete Spur
sind {\em Stokes\/}"uberg"ange nach erstem Anschein
nicht sehr wichtig. Das Ausschalten
irrelevant werdender Geister mittels des Stokesfaktors (\ref{eq:stokesfaktor})
f"uhrt jedenfalls zu keinem ausgepr"agten Gewinn. Schlie"st man jedoch
den dominanten Orbit in die kollektive Betrachtungsweise ein (Abschnitt
\ref{sec:m11sc}),
so l"a"st sich mit der resultierenden 
N"aherung der {\em Kodimension zwei\/}
eine weitere Verbesserung erzielen.
F"ur die betrachtete Spur gelingt dies insbesondere im Bereich $0.5<k<3$.
Es sind die periodischen Bahnen aus der Tangentenbifurkation $[^1/_1]_1$
bei
$k=2.45\ldots$ und ihr dominanter Orbit $[^1/_0]\hoch 2$,
die der skizzierten
Verfahrensweise aufgeschlossen gegen"uberstehen.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr1j1.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption[
Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$
in verschiedenen semiklassischen N"aherungen
als Funktion von $k$ f"ur $j=1$
]{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$
in verschiedenen semiklassischen N"aherungen
als Funktion von $k$ f"ur $j=1$. Isoliert: nur isolierte Beitr"age
reeller Orbits. Kodimension eins: kollektive Beitr"age reeller Orbits.
Geister: kollektive Beitr"age von reellen Orbits und Geistern. Stokes:
zus"atzlich Ber"ucksichtigung von Stokes"uberg"angen.
Kodimension zwei: bei einem Stokes"ubergang werden die Geister und der
dominante Orbit gemeinsam behandelt.
}
\label{abb:tr1j1}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr1j3.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ wie in Abbildung \protect\ref{abb:tr1j1},
aber f"ur $j=3$
}
\label{abb:tr1j3}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr1j5.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ wie in Abbildung \protect\ref{abb:tr1j1},
aber f"ur $j=5$
}
\label{abb:tr1j5}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr1j10.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ wie in Abbildung \protect\ref{abb:tr1j1},
aber f"ur $j=10$
}
\label{abb:tr1j10}
\end{figure}

Auch in den Abbildungen \ref{abb:tr1j3} f"ur $j=3$ und \ref{abb:tr1j5}
f"ur $j=5$ wird die leichte "Uberlegenheit der N"aherung mit Kodimension
zwei f"ur kleine $k$--Werte deutlich. Weit rechts der Bifurkation,
insbesondere im Bereich $4<k<6$, ist sie allerdings ein wenig schlechter
als die kollektive N"aherung mit Clustern der Kodimension eins.
Der Unterschied zwischen den Geistern"aherungen mit und  ohne 
Stokesfaktoren ist dagegen kaum noch auszumachen.
Im Vergleich zu $j=1$ schrumpfen f"ur die N"aherungen ohne Geister
die $k$--Intervalle mit ausgepr"agtem Fehler allm"ahlich zusammen. 
Auch in Abbildung \ref{abb:tr1j10} mit $j=10$
setzt sich dieser Trend fort. Mit
steigendem $j$ werden Geisterbeitr"age exponentiell unterdr"uckt;
kollektive Beitr"age zerfallen schneller (betrachtet als Funktion von $k$)
in ihre asymptotische Gestalt, also die Summen isolierter Beitr"age. 
Dennoch bleiben die Bereiche, in denen man um die Verwendung kollektiver
Beitr"age nicht herumkommt, recht gro"s.

Der mittlere absolute Fehler in der besten N"aherung ist etwa $0.1$ f"ur
$j=1$, $0.03$ f"ur $j=3$, $0.02$ f"ur $j=5$ und $0.01$ f"ur $j=10$. Er sinkt
also grob mit $1/j$. Genaueres
lernt man aus dem
Verhalten des Fehler f"ur feste Werte von $k$ "uber einen
gr"o"seren Bereich von $j$.
Wir betrachten
zun"achst $k=2.7$ und vergleichen die isolierte mit der gleichf"ormigen
N"aherung der Kodimension eins  (Abbildung \ref{abb:tr1k2.7}).
Man befindet sich in unmittelbarer
Nachbarschaft der Tangentenbifurkation $[^1/_1]_1$ bei $k=2.45\ldots$\,.
Nur reelle Orbits flie"sen auf dieser
Seite der Bifurkation in  die semiklassischen Ausdr"ucke ein; die
n"achste Tangentenbifurkation $[^1/_1]_2$ bei $k=8.81\ldots$
 ist noch weit weg.
Real- und Imagin"arteil oszillieren als Funktion von $j$, was sich
semiklassisch durch die Interferenz der verschiedenen Beitr"age erkl"aren
l"a"st. Die Fouriertransformation bez"uglich $j$ f"uhrt ja zu dem
ausf"uhrlich diskutierten 
Wirkungsspektrum mit seinen ausgepr"agten Peaks an den Wirkungen
periodischer Bahnen.
In Abbildung \ref{abb:tr1k2.7} ist $\Re \tr F^1(j)$ zum einen exakt "uber
einen gr"o"seren Bereich von $j$ aufgetragen, um die Oszillation zu
illustrieren;
zum anderen wird diese Gr"o"se in einem
kleineren Ausschnitt mit den beiden semiklassischen N"aherungen
verglichen. Unser Hauptinteresse gilt dem Fehler der gleichf"ormigen
N"aherung, der in der
doppellogarithmischen
Darstellung eine algebraische Abh"angigkeit mit einem Exponenten von eins
offenbart,
\beq\label{eq:algfehler}
|\tr F^1_{\rm gleichf}-\tr F^1_{\rm qm}|=\order(1/J)\;.
\eeq
Die isolierte N"aherung liefert einen Fehler, der um
mindestens eine Gr"o"senordnung dar"uber liegt. Selbst bei $j=100$ haben
sich beide Fehler noch nicht aneinander angeglichen.
Auch den Fehler der lokalen N"aherung haben wir hier noch einmal
angegeben, der "Ubersichtlichkeit wegen aber auf die
Darstellung von $\Re \tr F^1$ in dieser N"aherung verzichtet. Bei
diesem und bei anderen $k$--Werten stellt sich --- wie schon beim
Wirkungsspektrum, Abbildung \ref{abb:ft6} --- heraus,
da"s der Fehler der lokalen N"aherung im gro"sen und ganzen $j$--unabh"angig
ist.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr1k2.7.ps}}
\vspace*{.2cm}
\caption[
Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$
in verschiedenen semiklassischen N"aherungen
als Funktion von $j$ f"ur $k=2.7$
]{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^1$ und der absolute Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$
in verschiedenen semiklassischen N"aherungen
als Funktion von $j$ f"ur $k=2.7$. Alle beitragenden Orbits
($[^1/_0]\hoch{1,2}$, $[^1/_1]_1\hoch{0,1}$) sind reell. Die trivialen Orbits
$[^1/_0]\hoch{1,2}$ tragen immer mit ihrem isolierten Beitrag bei.
Die Orbits aus der Bifurkation $[^1/_1]_1$ gehen entweder mit
ihrem isolierten Beitrag oder mit dem kollektiven Beitrag in lokaler
bzw. gleichf"ormiger N"aherung ein.
}
\label{abb:tr1k2.7}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/tr1ka.ps}}
\caption{Absoluter Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ wie in Abbildung
\protect\ref{abb:tr1k2.7},
aber f"ur $k=3.0$ und $k=3.5$
}
\label{abb:tr1ka}
\end{figure}

Mit wachsender Entfernung zur Bifurkation n"ahert sich der isolierte
Fehler dem gleichf"ormigen an. Ein mit $j$ unver"anderlicher 
Gr"o"senordnungsunterschied bleibt jedoch bestehen.
So liegt in Abbildung
\ref{abb:tr1ka} der Fehler der isolierten N"aherung f"ur $k=3.0$ 
"uber den gesamten $j$--Bereich
etwa eine Gr"o"senordnung
"uber dem der gleichf"ormigen; f"ur $k=3.5$ ist der Unterschied noch etwas
gr"o"ser als eine halbe Gr"o"senordnung. Dies deutet auf ein
asymptotisches Verhalten 
\beq
|\tr F^1_{\rm isoliert}- \tr F^1_{\rm gleichf}|=\order (1/J)
\eeq
hin. Tats"achlich
ist auch die Differenz der kollektiven Beitr"age zu
dem f"uhrenden Term ihrer asymptotischen Entwicklung in $J\to
\infty$ von dieser
Gr"o"senordnung: Isolierte und kollektive Beitr"age
unterscheiden sich unter Benutzung von
(\ref{eq:jasym}) um $\order(1/J)$.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/tr1kb.ps}}
\caption[
Absoluter Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ der ersten Spur
wie in Abbildung \protect\ref{abb:tr1k2.7},
aber f"ur $k=2.2$ und $k=2.0$
]{Absoluter Fehler
$|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$ der ersten Spur
wie in Abbildung \protect\ref{abb:tr1k2.7},
aber f"ur $k=2.2$ und $k=2.0$. Nun sind die bifurkierenden Bahnen Geister.
Verglichen werden die isolierten N"aherungen ohne
und mit Geistern mit der
gleichf"ormigen N"aherung mit Geistern.
}
\label{abb:tr1kb}
\end{figure}

Auf der anderen Seite der Bifurkation vergleichen wir 
in Abbildung \ref{abb:tr1kb} bei $k=2.2$  und $k=2.0$ 
die isolierten N"aherungen ohne und mit Geistern mit der gleichf"ormigen
N"aherung. Erneut offenbart sich f"ur den Fehler der letzteren ein
algebraisches Abklingen nach (\ref{eq:algfehler}).
Die isolierte Behandlung der Geister liefert f"ur $k=2.2$ einen
etwa um eine Gr"o"senordnung erh"ohten Fehler, der sich langsam dem der
gleichf"ormigen N"aherung angleicht. Ohne Geister ist man noch sehr weit
von einer vern"unftigen N"aherung entfernt. Selbst die
Tatsache, da"s der Geisterbeitrag asymptotisch exponentiell mit
$\exp[-J\Im S]$ unterdr"uckt
wird, scheint von unwesentlichem Nutzen zu sein. In einem einfachlogarithmischen
Plot zeigt sich, da"s der Fehler ohne Geister zun"achst
exponentiell abf"allt. Extrapoliert man dieses Verhalten, so sollte er
f"ur $k=2.2$
 etwa bei $j=400$ in die Gr"o"senordnung des Fehlers der beiden anderen
N"aherungen gelangen.
F"ur $k=2.0$
ist man bereits so weit von der Bifurkation entfernt, da"s
man die Geister ab $j\approx 40$ auch isoliert behandeln kann. Ab
$j\approx 120$ wird man sie schlie"slich vernachl"assigen k"onnen.


\subsection{Die zweite Potenz}
\label{sec:trF2num}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr2j2.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption[
Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^2$ und der absolute Fehler
$|\tr F^2_{\rm qm}-\tr F^2_{\rm sk}|$
als Funktion von $k$ f"ur $j=2$
]{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^2$ und der absolute Fehler
$|\tr F^2_{\rm qm}-\tr F^2_{\rm sk}|$
als Funktion von $k$ f"ur $j=2$.
Die verschiedenen N"aherungen entsprechen denen aus Abbildung
\protect\ref{abb:tr1j1} f"ur $\tr F^1$.
}
\label{abb:tr2j2}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr2j3.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^2$ und der absolute Fehler
$|\tr F^2_{\rm qm}-\tr F^2_{\rm sk}|$
als Funktion von $k$ wie in Abbildung \protect\ref{abb:tr2j2}, aber
f"ur $j=3$
}
\label{abb:tr2j3}
\end{figure}

Zur Berechnung der Spur der zweiten Potenz des Floquetoperators
ordnen wir die periodischen Bahnen der L"angen eins und zwei zun"achst
gem"a"s der n"achstliegenden Bifurkation
in Cluster. Bahnen der L"ange eins sind hier bereits in Kaskaden
verwickelt. Sind sie durch eine Tangentenbifurkation entstanden,
so wird der zun"achst
stabile der beiden neuen Orbits f"ur einen gewissen $k$--Wert in einer
Periodenverdopplung instabil. Man mu"s dann zwischen den beiden
Bifurkationen die Orbits umsortieren. In der N"ahe der
Tangentenbifurkation behandeln wir die beiden Periode--eins--Bahnen kollektiv.
Ab einem gewissen $k$--Wert in der N"ahe der
Periodenverdopplung behandeln wir den instabilen Periode--eins--Orbit
isoliert und die beiden bald bifurkierenden Bahnen kollektiv. Den
Parameterwert der Umordnung w"ahlen wir so, da"s die Diskontinuit"at der Spur
minimiert ist. In allen F"allen reicht diese Vorgehensweise aus. Sollte
sie nicht funktionieren, so w"urde wohl eine kollektive
Behandlung aller drei Bahnen zu einer vern"unftigen N"aherung f"uhren.
Eine solche Behandlung der Kodimension zwei, die bei diesen Kaskaden 
noch umg"anglich ist, ist f"ur den bereits in Abschnitt
\ref{sec:stokesft}
diskutierten Stokes"ubergang unverzichtbar.
In Abbildung \ref{abb:tr2j2} ist die Spur f"ur $j=2$ gegen $k$
aufgetragen. Die N"aherungen entsprechen denen 
f"ur $\tr F^1$. Wie schon dort sind N"aherungen ohne Geister
fast nirgends brauchbar. Mit Geistern erkennt man nun die Notwendigkeit,
auf Stokes"uberg"ange zu achten. Nicht immer
reicht es
dabei aus, mit dem Stokesfaktor (\ref{eq:stokesfaktor}) zu
multiplizieren. 
Im Parameterbereich bei $k=8$ bringt die N"aherung der
Kodimension zwei f"ur den genannten Stokes"ubergang
 tats"achlich einen weiteren substantiellen Gewinn. Auch im Bereich
$k=4$ bis $6$ ist das Ergebnis mit Kodimension eins nicht 
zufriedenstellend. F"ur zwei Beitr"age mu"s hier die Kodimension erh"oht
werden. Der eine Fall ist der Stokes"ubergang des Geistes aus der
Bifurkation $[^2/_1]_2$. Er findet bei $k\approx 4.30$ statt.
Der dominante Orbit ist der Satellit aus der
Periodenverdopplung $[^1/_2]_2$. Er hat die gleiche L"ange wie die
subdominante Bahn. Daher kommt wieder der Ausdruck aus Abschnitt
\ref{sec:m11sc} zum Zuge. Im anderen Fall, dem Stokes"ubergang zur
Tangentenbifurkation $[^2/_1]_1$ bei $k\approx 3.30$, hat der dominante
Orbit $[^1/_0]\hoch 2$ die L"ange eins, der subdominante die L"ange zwei. 
Wir benutzen daf"ur den Ausdruck aus Abschnitt \ref{sec:m12sc}.
In beiden Situationen ist die Verwendung dieser Beitr"age nur in
hinreichender Entfernung zur Bifurkation des jeweiligen dominanten Orbits
vern"unftig. Im Bereich $k=4-6$ bereitet dies keine Probleme. Im Ergebnis
erh"alt man eine weitere Resultatsverbesserung.
Diese Beobachtungen best"atigen sich auch f"ur
$j=3$ (Abbildung \ref{abb:tr2j3}).

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/tr2k8_5.ps}}
\caption[
Absoluter Fehler 
$|\tr F^2_{\rm qm}-\tr F^2_{\rm sk}|$
in verschiedenen semiklassischen N"aherungen
als Funktion von $j$ f"ur $k=8$ und $k=5$
]{Absoluter Fehler 
$|\tr F^2_{\rm qm}-\tr F^2_{\rm sk}|$
in verschiedenen semiklassischen N"aherungen
als Funktion von $j$ f"ur $k=8$ und $k=5$.
Die N"aherungen sind im Text beschrieben.
}
\label{abb:tr2k8_5}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15cm\epsfbox{abb/ft.ps}}
\caption{
Ausschnitt aus dem
Wirkungsspektrum f"ur $k=5$ mit den N"aherungen aus Abb.
\protect\ref{abb:tr2k8_5}
}
\label{abb:tr2ft}
\end{figure}

Um die Ergebnisse weiter zu fundieren, betrachten wir wieder die
$j$--Abh"angigkeit der Spur und ihres Fehlers f"ur festes $k$ (Abbildung
\ref{abb:tr2k8_5}).
F"ur $k=8$ werden die Beitr"age von 23 Orbits summiert.
Die drei N"aherungen unterscheiden sich in der Behandlung der
beiden Bahnen aus der Tangentenbifurkation bei
$8.12\ldots$ und dem dominanten Orbit vom zugeh"origen Stokes"ubergang.
Ein unakzeptabel gro"ser Fehler tritt bei der gleichf"ormigen Behandlung
der bifurkierenden Bahnen ohne Ber"ucksichtigung ihres Stokes"uberganges auf.
Die Anwendung des Stokesfaktors dr"uckt den Fehler nur unwesentlich. Erst
die kollektive Hinzunahme des dominanten Orbits liefert ein verl"a"sliches
Ergebnis.

Gleiches gilt auch f"ur $k=5$. Die beiden N"aherungen
unterscheiden wieder
in der Behandlung der beiden sich dort ank"undigenden Stokes"uberg"ange.
Im einen Fall kommt der Stokesfaktor zur Anwendung, im anderen werden
die Cluster um die dominanten Orbits erweitert.
Die $j$--Abh"angigkeit des Fehlers 
offenbart f"ur beide $k$--Werte in der besten N"aherung
ein algebraisches Abklingen mit dem
Exponenten eins.

Der Ausschnitt aus dem Wirkungsspektrum f"ur $k=5$ in Abbildung
\ref{abb:tr2ft}
zeigt bei $S\approx 0.5$ die
Peaks des Clusters aus der Bifurkation $[^2/_1]_1$
und dem zugeh"origen Stokes"ubergang;
bei $S\approx 1.6$ findet sich die Erhebung zur Bifurkation $[^2/_1]_2$.
Bei $S\approx 1.2$ ist der Beitrag des Satelliten aus der
Periodenverdopplung $[^1/_2]_1$ zu erkennen.

\subsection{Die dritte Potenz}
\label{sec:trf3sc}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/tr3j3.ps}}
\vspace*{.5cm}
\caption[
Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^3$ und der absolute Fehler
$|\tr F^3_{\rm qm}-\tr F^3_{\rm sk}|$
als Funktion von $k$ f"ur $j=3$
]{Real- und Imagin"arteil der Spur $\tr F^3$ und der absolute Fehler
$|\tr F^3_{\rm qm}-\tr F^3_{\rm sk}|$
als Funktion von $k$ f"ur $j=3$.
Die verschiedenen N"aherungen sind im Text erl"autert.
}
\label{abb:tr3j3}
\end{figure}

Bei der Berechnung von $\tr F^3$ zeigt sich deutlich 
die Notwendigkeit einer
kollektiven Behandlung von Bahnen, die an einer Abfolge mehrerer
Bifurkationen der Kodimension eins beteiligt sind. In Abbildung
\ref{abb:tr3j3} sind f"ur $j=3$ Real- und Imagin"arteil und
der absolute Fehler der Spur in
verschiedenen Stufen der Approximation gegen $k$ aufgetragen. Die
beiden
N"aherungen in der linken Spalte beziehen Geisterbahnen  ein und behandeln
deren Stokes"uberg"ange mittels des Stokesfaktors
(\ref{eq:stokesfaktor}).
Behandelt man alle Bahnen isoliert, so f"uhrt dies zu den bekannt
gro"sen Abweichungen in der N"ahe von Bifurkationen. Doch selbst die
kollektive Behandlung von Bahnen, die nach ihrer Beteiligung
an Bifurkationen der Kodimension eins einander zugeordnet werden,
f"uhrt in weiten Bereichen des Parameterraums zu unbefriedigenden
Ergebnissen.  Insbesondere die Abfolgen  von
Tangentenbifurkationen und Periodenverdreifachungen lassen sich so nicht
behandeln. Die N"aherung der Kodimension zwei in der rechten Spalte
vergr"o"sert die Cluster entsprechend. Daraus resultieren die
Verbesserungen f"ur $k\approx 1-5$. 
Damit sind die wesentlichen Defekte der Kodimension--eins--N"aherung
bereinigt. Doch auch weitergehende
Verbesserungen lassen sich noch erreichen.
So behandelt die N"aherung der Kodimension zwei auch manche
Abfolge von Stokes"ubergang und Tangentenbifurkation kollektiv, wie
es schon f"ur $\tr F^2$ notwendig wurde. Dadurch ergeben sich
leichte Verbesserungen im Bereich $k\gtrsim 5$.
Damit sind alle N"aherungen der Kodimension zwei ausgereizt. Es
deutet sich bereits an, da"s man mit N"aherungen noch gr"o"serer
Kodimension weitere Verbesserungen erzielen kann. Daf"ur steht
beispielsweise die letzte betretene
N"aherungsstufe. Nur ein Beitrag wurde weiter
verbessert: In der Umgebung der Stabilit"atsinsel, in der sich die Abfolge
von Bifurkationen  $[^3/_1]_2$, $[^1/_3]_2$ bei $k\approx 1.97$ ereignet,
kommt es bei $k=3.79\ldots$ zu
einer weiteren Tangentenbifurkation $[^3/_1]_4$, in der ein neues Paar
von Periode--drei--Bahnen den Weg zum Chaos pflastert. Zusammen mit den
Satelliten aus der Tangentenbifurkation $[^3/_1]_2$ liegen sie auf
einer Weise um den zentralen Orbit herumgruppiert, die eine
gemeinsame Behandlung der Satelliten als eine Art doppelt gebrochener
Torus nahelegt. Ab $k\approx 2.8$ sind die Satelliten vom zentralen
Orbit so weit entfernt, da"s letzterer mit seinem isolierten Beitrag
genommen werden kann.
Die Vorgehensweise f"ur den Doppeltorus
ist in Abschnitt \ref{sec:bis}
dargelegt. Wie die N"aherung "`mit Doppeltorus"' zeigt,
erh"alt man mit dieser Form des Beitrags
tats"achlich einen substantiellen Gewinn an
Genauigkeit, der
sich auch f"ur andere $j$--Werte best"atigt.
Dazu verweisen wir auf 
Abbildung \ref{abb:tr3k3}. Sowohl im Fehlerverhalten
mit ver"anderlichem $j$ als auch im zugeh"origen Peak im
Wirkungsspektrum
zeigt sich die "Uberlegenheit der N"aherung mit dem
Doppeltorusbeitrag.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/tr3k3.ps}}
\caption[
Absoluter Fehler 
$|\tr F^3_{\rm qm}-\tr F^3_{\rm sk}|$
als Funktion von $j$ und ein Ausschnitt aus dem
Wirkungsspektrum f"ur $k=3$
]{Absoluter Fehler 
$|\tr F^3_{\rm qm}-\tr F^3_{\rm sk}|$
als Funktion von $j$ und ein Ausschnitt aus dem
Wirkungsspektrum f"ur $k=3$.
Die beiden N"aherungen sind im Text beschrieben.
Das Wirkungsspektrum ist hier aus numerischen Konvergenzgr"unden
mit $j_{\rm max}=32$ berechnet worden.
}
\label{abb:tr3k3}
\end{figure}

Eine weitere
Verbesserung f"ur die Spur w"are zu erwarten, wenn man f"ur $k\lesssim 2.8$ 
die vier Satelliten mit dem zentralen Orbit
gemeinsam behandelt. 
In der Normalform f"ur die Erzeugende
mu"s man dazu um drei Ordnungen "uber die Birkhoffsche Form
hinausgehen. Dies entspr"ache bereits einer N"aherung der Kodimension
vier. (Bei Kodimension drei tritt gegen"uber Kodimension zwei
nur ein weiterer, zwangsl"aufig
reeller Satellit auf.)
Auch andere Stabilit"atsinseln lie"sen sich sicher 
genauer beschreiben. Der mit einer konsistenten Erh"ohung der Kodimension
um einen oder zwei Schritte verbundene Mehraufwand l"a"st es aber vertretbar
erscheinen, im Rahmen dieser Arbeit davon abzusehen.

\section{Die Determinante des Floquetoperators}

Bei der Entschl"usselung des Spektrums aus den Spuren 
erspart einem die
Selbstinversit"atsbeziehung (\ref{eq:selbstin}) 
die H"alfte der Arbeit.
Zu ihrer Verwendung ben"otigt man die Determinante $a_N=\dt F$ des
Floquetoperators.
Bei der analogen Relation f"ur autonome
Systeme \cite{Berry:Keating:1990,Keating:1992a,Keating:1992b}
denkt man sich den zwischen langen und kurzen Zeiten vermittelnden 
Term meist als exakt vorgegeben.
Bei unserer Kreiselvariante l"a"st sich die
Determinante semiklassisch bestimmen und dabei sogar exakt gewinnen.
Von Nutzen ist hier die wohlbekannte
Tatsache, da"s die Determinante eines
Produkts von Operatoren durch das Produkt der einzelnen Determinanten
zug"anglich ist. Die linearen und nichtlinearen Torsionsoperatoren
des Kreisels beschreiben jedoch jeder f"ur sich ein integrables System,
f"ur welches eine EBK--Quantisierung durchgef"uhrt werden kann.
Dabei kommt es 
wiederum jeweils 
nur auf das Spektrum der Operatoren $J_l$, $l=x,y,z$ an,
f"ur die die Quantisierung aber exakt ist.
Die exakte Quantisierung der Teilschritte gelingt auch mittels
periodischer Bahnen. Dies ist Gegenstand der Abschnitte
\ref{sec:reinedrehung} und \ref{sec:reinetor}.
Das Resultat l"a"st sich sogar explizit angeben.
So gilt f"ur den Drehoperator (\ref{eq:drehop})
\beq
\det R_l(\beta)=\exp\left[-i\beta \sum_{m=-j}^j m\right]=1
\eeq
und f"ur den Torsionsoperator (\ref{eq2.9})
\beq
\det T_l(k)=\exp\left[-i\frac k{2j+1} \sum_{m=-j}^j m^2\right]=
\exp\left[-ik\frac{j(j+1)}{3}\right]\;.
\eeq
Damit erh"alt man f"ur die in Abschnitt \ref{sec:unserkreisel}
gew"ahlte Kombination von Drehungen und
Torsionen 
\beq\label{eq:detFanalyt}
\det F=\exp\left[-i(k_1+k_2)\frac{j(j+1)}3\right]\;.
\eeq

\section{Spektren}
Wir kommen nun zur Berechnung der Quasienergieniveaus aus den
semiklassischen Spuren. Bei der reinen linearen Drehung und der reinen
Torsion erh"alt man auf analytischem Wege f"ur beliebiges $j$
das exakte quantenmechanische
Spektrum zur"uck. Im allgemeinen Fall $k\neq 0$ werden die Niveaus 
durch Ziehen der Wurzeln des charakteristischen Polynoms bestimmt.
In diesem Abschnitt stellen wir die Ergebnisse f"ur $j=1,2,3$ vor.
Die Spuren und Spektren
zu halbzahligem $j$ werden in Abschnitt \ref{sec:halbj} besprochen.

Um die Genauigkeit der verschiedenen N"aherungen zu quantifizieren,
ziehen wir die Standardabweichung 
\beq\label{eq:stdfehler}
\Delta \varphi= \frac {1}{2\pi/N}\sqrt{\frac 1 N \sum_{k=1}^N
\left(\varphi_k^{(\rm sk)}-
\varphi_k^{(\rm qm)}
\right)^2}
\eeq
mit $N=2j+1$ heran.
Durch den Vorfaktor werden die Abweichungen der Quasienergien auf ihren 
mittleren Abstand $2\pi/N$ bezogen.

Die semiklassischen Eigenwerte $\lambda_k\equiv r_k\exp[-i\varphi_k]$
des Floquetoperators liegen nicht immer auf dem Einheitskreis, sie sind
also nicht immer unimodular (d.\,h. von Betrag eins).
Dann mi"st der Radialfehler 
\beq\label{eq:radfehler}
\Delta r= \sqrt{\frac 1 N \sum_{k=1}^N
\left(r_k^{(\rm sk)}- 1\right)^2}
\eeq
die Verletzung der Unimodularit"at.
Selbst
ein selbstinverses Polynom kann
phasenentartete Eigenwertpaare $\lambda_k$, $1/\lambda_k^*$ besitzen.
Erst wenn dar"uber hinausgehende Bedingungen an die Spuren erf"ullt sind,
sind alle Eigenwerte unimodular \cite{Sommers:Haake:1997}.




\subsection{Die reine Drehung}
\label{sec:reinedrehung}

Wir betrachten nun die reine lineare Drehung. In diesem Fall sind die 
semiklassisch aus den isolierten Beitr"agen
der beiden Fixpunkte bei $\pm \tilde {\bf X}$ berechneten
Spuren $\tr F^n$ exakt.

Das Ergebnis ist unabh"angig von der Lage der Drehachse.
Wir w"ahlen hier
die $y$--Achse und verwenden
den Floquetoperator
\beq
F=\exp\left[-i\beta J_y\right]\;.
\eeq
Man kann die quantenmechanischen Spuren in geschlossener Form angeben, 
\beq\label{eq:rottr}
\tr F^n=\sum_{m=-j}^j\exp\left[-in\beta m\right]=
\frac{\sin (Jn\beta)}{\sin(n\beta/2)}\;
\eeq
mit $J=j+\frac 12$. 
F"ur eine
Drehung um $2\pi+\beta$ ergibt sich "ubrigens f"ur halbzahliges $j$
ein Vorzeichenwechsel der Spuren zu ungeraden Potenzen, in Einklang mit
der bekannten Tatsache, da"s erst eine Drehung um $4\pi$ die Identit"at
liefert.

Wir unterscheiden
die beiden Fixpunkte bei
${\bf X}=(0,\pm 1,0)$
mittels des Vorzeichens $\sigma\equiv\sign Y=\pm 1$.
Es gibt keine weiteren periodischen Bahnen f"ur beliebige L"ange $n$.
Die Wirkung der Fixpunkte ist 
\beq\label{eq:rotac}
S_\sigma=-\sigma \beta\;.
\eeq
Der Stabilit"atswinkel ist $\sigma\beta$ und der Stabilit"atsfaktor
\beq
\tr M_\sigma\hoch n = 2\cos(n\beta)\;.
\eeq
Der Morseindex $\hat \mu\hoch n$ f"ur die $n$--te Wiederkehr
richtet sich nach den Nullstellen von $\tilde
M_{11}=\cos(\beta t/T)$ im Intervall $t=0\to nT$ [vgl. (\ref{eq:tildem})
mit $k=0$]. Wir schreiben
\beq
n \beta=\tilde \beta + \pi \tilde m\qquad\mbox{mit}\quad
\tilde \beta\in(-\pi/2,\pi/2]\;.
\eeq
Dann gibt es $|\tilde m|$
Kaustiken, und jede tr"agt mit dem Vorzeichenwechsel $-\sigma\sign\beta$
von $M_{11}/M_{21}$
zu $\hat\mu_\sigma\hoch n$ bei.
Wir erhalten
\beq
\hat\mu_\sigma\hoch n=-\sigma\tilde m\;.
\eeq
Der Maslovindex ergibt sich aus (\ref{eq:signg}) zu
\bea
\nu_\sigma\hoch n
&=&-\sigma \tilde m -\sigma\frac12\sign\sin(n\beta)[1+\sign\cos(n\beta)]\;.
\eea
Schreiben wir
\beq\label{eq:betamod2pi}
n \beta=\beta' +  2\pi m'\qquad\mbox{mit}\quad\left\{
\begin{array}{l@{\quad\mbox{f"ur}\quad}l}
\beta'\in[0,2\pi) & \beta>0 \\ 
\beta'\in(-2\pi,0] & \beta<0
\end{array}\right.
\;,
\eeq
so ist
\beq
\tilde m=2m'+\sign\beta-\frac12\sign\sin (n\beta) [
1+\sign\cos(n\beta)]
\eeq
und weiter
\beq\label{eq:rotnu}
\nu_\sigma\hoch n=
-\sigma (2m'+\sign\beta)\;.
\eeq
Mit diesen Gr"o"sen ist semiklassisch
\bea
\tr F^n&=&\sum_{\sigma=\pm 1}|2-\tr M_\sigma\hoch n|^{-1/2}
\exp\left[iJnS_\sigma-i\frac\pi 2\nu_\sigma\hoch n\right]\nn
&=&\frac{\sin(Jn\beta)}{|\sin(n\beta/2)|}(-1)^{m'}\sign \beta\;.
\eea
Wegen $\sign \sin(n\beta/2)=(-1)^{m'}\sign\beta$
erhalten wir tats"achlich das exakte Resultat (\ref{eq:rottr})
zur"uck.
\subsection{Die reine Torsion}
\label{sec:reinetor}

Mit der reinen Torsion wollen wir einen weiteren
interessanten Sonderfall unserer Kreiselvariante betrachten. 
Als Floquetoperator w"ahlen wir (\ref{eq2.9})
\beq
F=T_z(k)=\exp\left[-i\frac k{2j+1} J_z^2\right]\;.
\eeq
Er beschreibt wie die reine Drehung ein integrables System. 
Die Tori liegen auf den Kreisen konstanter H"ohe $Z$.
Anders als bei der reinen Drehung ist die Torusfrequenz nun aber
ortsabh"angig,
\beq
\omega(Z)=kZ\;.
\eeq

Da der Aufwand sich in Grenzen h"alt, wollen wir die reine Torsion dazu
nutzen, um den gesamten Weg von der quantenmechanischen zur
semiklassischen Spur im Zusammenhang darzustellen.
Erneut wird das semiklassische Resultat exakt sein.

Wir beginnen mit einem exakten Ausdruck und verwenden sogleich die
Poissonsche Summationsformel (\ref{eq:poissonsum}),
\bea
\hspace*{-.5cm}
\tr T_z(k)&=&\sum_{m=-j}^j\exp\left[-i\frac{k}{2j+1}m^2\right]
\nonumber
\\
&=&
J\sum_{n=-\infty}^\infty\int_{-1}^1dZ\,\exp\left[
iJ\left(2\pi n Z-\frac k2 Z^2\right)\right]\exp\left[i\left(J-\frac
12\right)2\pi n
\right]\;.
\label{eq:torexakt}
\eea
Die letzte Exponentialfunktion alterniert f"ur halbzahliges $j$ und
ber"ucksichtigt damit den Wechsel von der halbzahligen kleinen Quantenzahl
$m$ zum ganzzahligen $n$.
Hier bietet sich bereits eine Interpretation als Summe von Beitr"agen
periodischer Bahnen auf rationalen Tori an: Jedes Integral besitzt genau
einen station"aren Punkt bei
\beq
Z=Z_n\equiv \frac{2\pi n}k\;,
\eeq
also gerade dort, wo die Tori mit
Windungszahl $n$ liegen.
Auch Geistertori mit $|Z_n|>1$ treten auf.
Die Wirkung der Tori ist 
\beq
S_n=\frac{2\pi^2n^2}k\;.
\eeq
Doch wo bleiben in diesem Bild die beiden
Fixpunkte auf der $z$--Achse?
Ihre Beitr"age sind in den endlichen
Integrationsgrenzen versteckt. Um sie explizit sichtbar zu machen,
beginnen wir mit der semiklassischen Betrachtungsweise
und benutzen die N"aherung (\ref{eq:randunif}). Da beide
Integrationsgrenzen endlich sind, schreiben wir (formal)
$\int_{-1}^1=\int_{-1}^\infty-\int_1^\infty$ und erhalten 
f"ur jeden Torus den Beitrag
\bea
&&\beitrag\hoch n\equiv \sqrt{-\frac{2\pi i J}k}\exp\left[iJ(S_n+2\pi n)\right]
(-1)^n \left[\Theta(Z_n+1)-\Theta(Z_n-1)\right]
\\
&&\quad +\frac ik
\exp\left[iJ(S_n+2\pi n)\right](-1)^n
\left\{\left(
\int\limits_{Z_n-1}^{\infty \sign(Z_n-1)}
-
\int\limits_{Z_n+1}^{\infty \sign(Z_n+1)}
\right)\frac{dX}{X^2}
e^{-iJ\frac k2 X^2}
\right\}
\nonumber\;.
\eea
Der erste Term ist gerade der Berry--Tabor--Term (\ref{eq:intkont}).
Er
tr"agt nur bei, falls der Torus kein Geist ist.
Es folgen Interferenzterme wie in (\ref{eq:m5unif}).
Die verbleibenden Randterme ergeben mithilfe der Identit"at
\beq
\frac 1 {\sin x}=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{x-\pi n}
\eeq
gerade die beiden Beitr"age
\beq\label{eq:torfp}
\beitrag\hoch{\pm} =\frac{i}{2\sin\frac k2}\exp\left[-iJ\frac k2\right]
\eeq
der Fixpunkte an den Polen.
Tats"achlich sind diese Bahnen durch
\bea
S\hoch{\pm}&=&-\frac k2\;,
\\
\tr M\hoch{\pm}&=&2\cos k\;,
\\
\nu\hoch \pm \bmod 4 &=& -\sign\sin\frac k2 
\eea
charakterisiert, die Beitr"age (\ref{eq:torfp}) stellen sich also
als solche isolierter periodischer Bahnen (\ref{eq:isolbeitrag}) dar.

Wie man sich bei der quadratischen Form des Exponenten in
(\ref{eq:torexakt}) denken kann, ist die semiklassische
N"aherung (\ref{eq:randunif})  f"ur das betrachtete Integral sogar exakt.
Der Weg von (\ref{eq:torexakt}) zu (\ref{eq:randunif}) f"uhrt "uber eine
partielle Integration, die
\beq
\int\exp\left[i\frac a2  X^2\right]\,dX=\frac 1{iaX}
\exp\left[i\frac a 2X^2\right]+\frac 1{ia}
\int \frac{dX}{X^2}\exp\left[i\frac a2 X^2\right]
\eeq
liefert. Das Integral rechts divergiert jedoch, falls die Singularit"at
des Integranden bei $X=0$ in den Integrationsbereich f"allt. Mittels
dreier Fallunterscheidungen $a<b<0$, $a<0<b$, $0<a<b$ "uberlegt man sich
leicht die Identit"aten
\bea
\int_a^b
&=&
[\Theta(b)-\Theta(a)]\int_{-\infty}^\infty\quad+
\int_{a}^{\infty \sign a}\quad-\int_{b}^{\infty\sign b}
\\
&=&
[\Theta(b)-\Theta(a)]\int_{-\infty}^\infty \quad+\sign a
\int_{|a|}^\infty\quad-\sign b\int_{|b|}^\infty
\eea
(letztere f"ur symmetrische Integranden),
mit denen die Singularit"at umschifft werden kann.
Das zweite und das dritte Integral rechts liefern nach der partiellen
Integration
die Rand- und Interferenzterme, w"ahrend 
das erste Integral
direkt
auf den Berry--Tabor--Term f"uhrt.

\subsection{Die drei Quasienergieniveaus f"ur Quantenzahl $j=1$}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/levelj1.ps}}
\caption[
Vergleich der drei
semiklassisch approximierten mit den drei
exakten Quasienergien f"ur $j=1$
als Funktion von $k$
]{Vergleich der drei
semiklassisch approximierten mit den drei
exakten Quasienergien f"ur $j=1$
als Funktion von $k$. Die kollektiven N"aherungen ergeben eine sch"one
"Ubereinstimmung mit den exakten Niveaus, die bei der Verwendung von isolierten 
N"aherungen nur weit weg von Bifurkationen erreicht wird.
}
\label{abb:levelj1}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/fehler.ps}}
\caption{Mittlerer relativer Fehler der Quasienergien aus den
N"aherungen von Abbildung \protect\ref{abb:levelj1}}
\label{abb:fehlerj1}
\end{figure}

Zur Bestimmung der drei Quasienergien f"ur $j=1$ ben"otigen wir
die Spur $\tr F$, mit der wir uns in  Abschnitt \ref{sec:trF1num} ausf"uhrlich
besch"aftigt haben, und
die Determinante $\dt F$ (Gleichung \ref{eq:detFanalyt}).
In Abbildung \ref{abb:levelj1} sind semiklassische
Quasienergien als Funktion von
$k$ aufgetragen. Sie werden jeweils mit dem quantenmechanisch exakten Resultat
verglichen. 
Insbesondere in 
der N"ahe der Tangentenbifurkationen $[^1/_1]_{1,2}$ bei $k=2.45\ldots$
und $k=8.81\ldots$ liefern die beiden N"aherungen auf der Basis
isolierter Beitr"age zu $\tr F$ unbefriedigende Ergebnisse. Die
N"aherung, welche Geister und deren Stokes"uberg"ange
ber"ucksichtigt, ist dabei links der Bifurkationen
der N"aherung ohne jede Geisterbeitr"age leicht
"uberlegen. Quantitativ schl"agt sich dies  in einem 
geringeren mittleren relativen Fehler nach Gleichung
(\ref{eq:stdfehler}) 
nieder. Er ist in Abbildung \ref{abb:fehlerj1} dargestellt.
In Abbildung \ref{abb:levelj1} f"allt bei den isolierten N"aherungen
die Entartung zweier Niveaus bei $k\approx 9$ ins Auge. Dort
verletzen die semiklassischen Spuren die "uber die Selbstinversit"at
hinausgehenden Unitarit"atsbedingungen \cite{Sommers:Haake:1997}: Zwei
Eigenwerte liegen
nicht mehr auf dem Einheitskreis, sind jedoch durch
eine Spiegelung am Einheitskreis miteinander verkn"upft und daher in
ihrer Phase entartet.

Kommen wir nun zu den kollektiven N"aherungen. 
Die Abbildungen f"ur die Lage der Niveaus und den Fehler
zeigen, da"s man mit kollektiven Beitr"agen der
Kodimension eins bereits eine sehr sch"one "Ubereinstimmung mit dem
exakten Resultat erreicht. Die Phasenentartung bei $k\approx 9$ ist
verschwunden.
Der Fehler der Quasienergien betr"agt
im gesamten $k$--Bereich nur einige Prozent ihres mittleren Abstands.
Behandelt man den Stokes"ubergang des an der
ersten Tangentenbifurkation beteiligten Geistes mit einem vergr"o"serten
Cluster der Kodimension zwei, so verbessert sich das Ergebnis im
Bereich $k=0.5$--$3$, auf den diese Bem"uhung abzielt, sogar noch
um einige Prozent. So dr"uckt man den Fehler im gesamten
Parameterbereich auf weniger als zwei Prozent.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/levelj1.ps}}
\caption[
Vergleich der
semiklassisch approximierten und exakten Quasienergien f"ur $j=1$
als Funktion von $k$. Die N"aherungen l"osen sich
vom Gebrauch der Selbstinversit"atsbeziehung
bzw. der exakten Determinante.
]{Vergleich der
semiklassisch approximierten und exakten Quasienergien f"ur $j=1$
als Funktion von $k$. Die N"aherungen l"osen sich auf die im Text
beschriebene Weise
vom Gebrauch der Selbstinversit"atsbeziehung
(\protect\ref{eq:selbstin}) bzw. der exakten Determinante
(\protect\ref{eq:detFanalyt}).}
\label{abb:levelj1a}
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/fehlerj1a.ps}}
\caption{Mittlerer relativer Phasen- und Radialfehler der Quasienergien
aus den
N"aherungen von Abbildung \protect\ref{abb:levelj1a}}
\label{abb:fehlerj1a}
\end{figure}

Wir wollen nun noch kurz einige andere Entschl"usselungsstrategien
testen und verzichten dabei St"uck f"ur St"uck auf die Verwendung der
Selbstinversit"atsrelation (\ref{eq:selbstin}) und des exakten Ausdrucks
(\ref{eq:detFanalyt}) f"ur die Determinante.
Dabei benutzen wir f"ur die Spuren $\tr F$, $\tr F^2$ und $\tr F^3$ 
jeweils die besten semiklassischen N"aherungen.
Die Quasienergien sind in Abbildung \ref{abb:levelj1a} aufgetragen; ihr
mittlerer relativer Phasenfehler (\ref{eq:stdfehler}) 
findet sich in Abbildung \ref{abb:fehlerj1a}.
Dort ist auch der Radialfehler (\ref{eq:radfehler})
der Eigenwerte dargestellt, der
sich f"ur nicht selbstinverse Polynome zwangsl"aufig ergibt.
Im ersten Schritt (a) ziehen wir $\tr F^2$ heran, um den zweiten
Koeffizienten
\beq\label{eq:a2sk}
a_2=\frac 12 \left[\left(\tr F\right)^2 -\tr F^2\right]\equiv \tilde a_2
\eeq direkt
zu bestimmen, benutzen aber weiterhin f"ur $a_3=\dt F$ das exakte Resultat.
Im zweiten Schritt benutzen wir die Selbstinversit"at, um uns vom
Gebrauch der exakten Determinante zu l"osen,  und verwenden
stattdessen nach den Newtonschen Formeln (\ref{eq:2})
\beq\label{eq:a3si}
a_3= \frac {a_1}{a_2^*}=\frac {a_2}{a_1^*}\;.
\eeq
Semiklassisch ist der Betrag des Koeffizienten von eins verschieden. Die
Unitarit"at fordert jedoch 
$|\dt F|=|a_3|=1$.
Die semiklassische
Abweichung des Absolutbetrags und
der Phase 
der Kombination $a_1/a_2^*$ 
bez"uglich $\dt F$
ist in Abbildung (\ref{abb:unimod}) dargestellt.
Mit diesem Koeffizienten und dem semiklassischen $\tilde a_2$
erh"alt man N"aherung (b).
F"ur die N"aherung (c) wird $a_3$ normiert.
Das Ergebnis ist dann "ubrigens f"ur die beiden M"oglichkeiten
aus Gleichung (\ref{eq:a3si}) identisch.
In der N"aherung (d) ist der normierte Koeffizient $a_3$ wieder benutzt
worden, um selbstinvers $a_2$ zu bestimmen. Der benutzte Koeffizient l"a"st
sich dann auch als 
\beq
a_2=|a_1|\exp\left[i\arg(\tilde a_2)\right]
\eeq
schreiben, tr"agt also die Phase der Kombination
(\ref{eq:a2sk}), aber den Betrag des
Koeffizienten $a_1$. So hat man
unter Verzicht auf die Benutzung der exakten Determinante ein
selbstinverses Polynom gewonnen. Da es zu keiner
Phasenentartung kommt, verschwindet hier auch der Radialfehler.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/detj1.ps}}
\caption{
F"ur den semiklassisch bestimmten
Koeffizienten $a_3=a_1/a_2^*$ ist der Betrag und die 
Phasenabweichung bez"uglich $\dt F$ dargestellt.
}
\label{abb:unimod}
\end{figure}

Die Daten zeigen, da"s man f"ur $j=1$ tats"achlich um den Gebrauch
der exakten Determinante herumkommt, wenn auch um den 
Preis einer leichten Resultatsverschlechterung.

\subsection{Die f"unf Quasienergieniveaus f"ur Quantenzahl $j=2$}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/levelj2.ps}}
\caption[
Vergleich der 
semiklassisch approximierten und exakten Spektren f"ur $j=2$
als Funktion von $k$
]{Vergleich der 
semiklassisch approximierten und exakten Spektren f"ur $j=2$
als Funktion von $k$. Links sind die Quasienergien aufgetragen, rechts
ihr mittlerer relativer Fehler.
}
\label{abb:levelj2}
\end{figure}

F"ur $j=2$ beschreibt $F$ f"unf Niveaus mit der entsprechenden Zahl an
Quasienergien. Wieder lassen sich verschiedene semiklassische
N"aherungen f"ur $\tr F$ und $\tr F^2$ zusammen mit der exakten
Determinante (\ref{eq:detFanalyt}) zu ihrer Bestimmung heranziehen.
In Abbildung \ref{abb:levelj2} ist das Ergebnis f"ur eine isolierte und
zwei kollektive N"aherungen dargestellt.  In allen N"aherungen werden
Geister und ihre Stokes"uberg"ange ber"ucksichtigt.  In der isolierten
N"aherung werden die Quasienergieniveaus zwar tendenziell richtig
erfa"st, die Abweichungen in der N"ahe von Bifurkationen
sind jedoch recht gro"s. Sehr h"aufig kommt es auch zu Phasenentartungen
aufgrund einer Verletzung der 
zus"atzlichen Unitarit"atsbedingungen. Sie treten
selbst dort auf, wo die exakten
Quasienergieniveaus weit auseinanderliegen. Mittels kollektiver
Beitr"age der Kodimension eins kann man sich
abgesehen von einer Ausnahme im
Intervall bei $k\approx 4-6$
aller Entartungen und 
erratischen Abweichungen entledigen.
Dort sowie bei $k=8$ ist der mittlere Fehler um einige Prozent erh"oht.
Ansonsten liegt er bei weniger als vier Prozent.

Der Qualit"atsverlust bei $k=8$ ist auf die enge Abfolge der
Tangentenbifurkation $[^2/_1]_4$ bei $k=8.12\ldots$ und des
Stokes"uberganges des zugeh"origen Geistes bei $k=7.98\ldots$
zur"uckzuf"uhren, mit der
wir uns bereits in den Abschnitten \ref{sec:stokesft}
und \ref{sec:trF2num} auseinandergesetzt haben. Wie beim
Wirkungsspektrum und der Spur verbessert sich das Ergebnis deutlich,
wenn man gem"a"s Abschnitt \ref{sec:m11sc}
auf den Beitrag der Kodimension zwei zur"uckgreift, der den
dominanten Orbit mit einschlie"st. Auch f"ur $k<2$ gewinnt man an
Genauigkeit, was dort aus der Verbesserung von $\tr F$ herr"uhrt.
In einem gro"sen
Parameterbereich erh"alt man so einen relativen Fehler von knapp zwei
Prozent.
Selbst mit der  N"aherung der
Kodimension zwei l"a"st sich jedoch die Entartung der Quasienergieniveaus im 
Intervall $k\approx 4-6$ nicht beheben. M"oglicherweise liegt dies
daran, da"s auch die exakten Quasienergieniveaus dort eng beieinander
liegen. Es kann aber auch vermutet werden, da"s sich bei
einer Erh"ohung der Kodimension das Resultat weiter verbessern lie"se.

\subsection{Die sieben Quasienergieniveaus f"ur Quantenzahl $j=3$}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/levelj3.ps}}
\caption[
Vergleich der 
semiklassisch approximierten und exakten Spektren f"ur $j=3$
als Funktion von $k$
]{Vergleich der 
semiklassisch approximierten und exakten Spektren f"ur $j=3$
als Funktion von $k$. Links sind die Quasienergien aufgetragen, rechts
ihr mittlerer relativer Fehler.
}
\label{abb:levelj3}
\end{figure}

F"ur die Gewinnung des Spektrums f"ur $j=3$ mu"s  neben den ersten beiden
Spuren $\tr F$ und $\tr F^2$ und der Determinante auch die dritte Spur
$\tr F^3$ herangezogen
werden. Bei dieser Spur waren f"ur enge Abfolgen von
Tangentenbifurkationen und Periodenverdreifachungen Cluster der
Kodimension zwei angesagt. F"ur den Bereich ab $k\approx 2.8$ lohnte
sich zudem die Anordnung von vier Orbits als doppelt gebrochener Torus.

W"ahrend sich so die Spuren immer genauer approximieren lassen, schl"agt
sich gerade die letzte Verbesserung nicht in einem v"ollig 
befriedigenden Ma"se
im Spektrum nieder.  Nach Abbildung \ref{abb:levelj3} ist die
N"aherung mit Kodimension zwei jener mit Kodimension eins "uberlegen,
und diese wiederum der isolierten Approximation. Die "ubrigbleibenden 
Phasenentartungen lassen sich jedoch auch mit dem Doppeltorusbeitrag nicht
g"anzlich aus der Welt schaffen. F"urs Auge verh"alt sich das Spektrum
immerhin ein wenig regul"arer als ohne diesen Beitrag. Wie schon bei der
Diskussion der dritten Spur erw"ahnt, liegt insbesondere f"ur den Bereich
$k<2.8$ Hoffnung in einer weiteren Erh"ohung der Kodimension. 
Die Schuld an der Phasenentartung l"a"st sich aber nicht
g"anzlich auf die dritte Spur abw"alzen. Benutzt man anstatt der
gen"aherten die exakte, n"ahert man also nur die ersten beiden Spuren
semiklassisch, so bleibt die Phasenentartung im $k$--Bereich zwischen
eins und drei bestehen. Nur die weitere Entartung in der Folge l"a"st
sich so fast vollst"andig beheben. Dies zeigt die Empfindlichkeit der
N"aherung: Schlie"slich trat
etwa bei $j=2$ im hier verbleibenden Entartungsbereich
keine Entartung auf. Die beiden ersten Spuren waren dort sogar f"ur einen
Fehler von etwa zwei Prozent gut.
Insgesamt scheint die semiklassische Entschl"usselungsstrategie
dann am meisten gef"ahrdet zu sein, wenn sich exakte Niveaus als
Funktion des Kontrollparameters in einer sogenannten vermiedenen
Kreuzung sehr nahe kommen. Dann reicht schon ein kleiner semiklassischer
Fehler, um die Unitarit"atsbedingungen f"ur die Spuren zu verletzen. 
Immerhin passiert dies nicht zwangsl"aufig, wie sich etwa an der extrem
engen Ann"aherungen zweier Levels bei $k\approx 2.5$ zeigt.
Im gemischten Phasenraum kommt einem in dieser Hinsicht auch nicht die
f"ur stark chaotische Systeme wohlbekannte
Niveauabsto"sung zur Hilfe. Die Tendenz zur Niveauh"aufung wie in
integrablen Systemen ist f"ur kleine Werte von $k$ noch zu versp"uren. 

Abgesehen von der Entartung vermag die beste vorgestellte N"aherung das
exakte Verhalten der Niveaus "uberaus gut zu reproduzieren. Klammert man
die entarteten Levels aus, so "ubersteigt der Fehler der restlichen
nicht sechs Prozent. In weiten Bereichen liegt er unter vier Prozent.

\section{Spuren und Spektren f"ur halbzahliges $j$}
\label{sec:halbj}

F"ur halbzahliges $j=\frac 12$, $\frac 32$, $\frac 52 \ldots$ mu"s man
beachten, da"s
sich eingeschobene
Drehungen um einen Winkel von $2\pi$ in einem Vorzeichenwechsel des
Floquetoperators niederschlagen.
Darauf sind wir in den Abschnitten \ref{sec:scmatrix} und
 \ref{sec:reinedrehung} eingegangen.
Anders gesagt ist der Windungszahl
des Drehimpulsvektors um die jeweilige Drehachse Beachtung zu schenken. 
Dies "ubertr"agt sich auch auf die
Beitr"age periodischer Bahnen. So bringt die Drehung um $2\pi$ einen
Wirkungszuwachs von ebenfalls $2\pi$ [Gleichung (\ref{eq:rotac})],
verkn"upft mit dem Durchschreiten
zweier Kaustiken und dem Anwachsen des Morse- und Maslovindex um 2
[$m'$ aus Gleichung (\ref{eq:betamod2pi}) in Verbindung mit 
Gleichung (\ref{eq:rotnu})]. In
der Kombination 
\beq
\left(j+\frac12\right)S-\frac \pi 2\nu\;,
\eeq
die die Phase semiklassischer Beitr"age bestimmt,
heben sich diese beiden Zuw"achse
f"ur ganzzahliges $j$ gerade weg. F"ur
halbzahliges $j$ jedoch "andert sich die Phase um $\pi$, der Beitrag der
Bahn wechselt also sein Vorzeichen. Dies ist bei der Verwendung der
Formeln aus den Abschnitten \ref{sec:erzfunk} und \ref{sec:maslov},
nach denen sich die Wirkung und der Maslovindex zusammensetzt,
zu ber"ucksichtigen. Insbesondere mu"s man in den Gleichungen
(\ref{eq:kreiselerz}) und (\ref{eq:roterzkom})
den richtigen Funktionszweig der in der Wirkung
auftretenden Arkuskosinus- und (komplexen) Logarithmusfunktionen
festlegen. 

Im folgenden werden wir die Spektren und die zu ihrer Bestimmung
ben"otigten Spuren f"ur $j=\frac 12$, $\frac 32$ und $\frac 52$ vorstellen.
Dabei stellt sich unter anderem heraus, da"s man nur f"ur $j=\frac 12$
auf die Verwendung der exakten Determinante verzichten kann. Unter ihrer
Benutzung erh"alt man in allen F"allen gute Spektren.

\subsection{Die Spuren und Spektren f"ur $j=\frac 12$}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/j1_2.ps}}
\caption[Der Weg zum Spektrum f"ur $j=\frac 12$
]{Der Weg zum Spektrum f"ur $j=\frac 12$.
(a) Die erste Spur in der besten semiklassischen N"aherung (mit
Kodimension zwei) im Vergleich zum exakten Resultat. (b)
Absoluter Fehler der semiklassischen 
Spur sowie ihre doppelte Phasenabweichung $2|\arg
\tr F^1_{\rm qm}-\arg\tr F^1_{\rm sk}|$, welche 
sich direkt auf den
selbstinvers bestimmten
Koeffizienten $a_2$ "ubertr"agt. (c) Die exakten und die semiklassisch
gewonnenen Quasienergien im Vergleich. In der einen N"aherung wird der
Koeffizient $a_2=\dt F$ "uber die Selbstinversit"atsbeziehung gewonnen
(SI),
in der anderen zu
seiner Bestimmung die semiklassisch exakt
reproduzierbare Determinante hinzugezogen.
(d) Der relative Fehler der Niveaus betr"agt mit beiden
Entschl"usselungsmethoden nur wenige Prozent.
}
\label{abb:j12}
\end{figure}

Die wesentlichen Gr"o"sen dieses Abschnitts sind in Abbildung
\ref{abb:j12} zusammengestellt.
Die zur Bestimmung der beiden Quasienergien 
ben"otigte erste Spur ist dort [Abb. \ref{abb:j12}(a)]
in der besten N"aherung, n"amlich der mit Kodimension zwei,
gegen $k$
aufgetragen. Ihr absoluter Fehler $|\tr F^1_{\rm qm}-\tr F^1_{\rm sk}|$
liegt bei ungef"ahr $0.1$ [Abb. \ref{abb:j12}(b)]. Um das charakteristische
Polynom zu konstruieren, kann man zwei Strategien verfolgen: Zum einen
l"a"st sich der Koeffizient $a_2=\dt F$ aus der
Selbstinversit"atsbeziehung 
\beq\label{eq:sia2}
a_2=\frac{a_1}{a_1^*}
\eeq
mit $a_1=\tr F$ bestimmen. Man kann zum anderen
aber auch wieder die auf andere Weise
semiklassisch exakt bestimmbare Determinante $\dt F=a_2$ heranziehen.
Die Phase von $a_2$ unterscheidet sich mit diesen beiden Strategien um 
$2|\arg \tr F_{\rm qm}-\arg \tr F_{\rm sk}|$
und ist klein, wie sich ebenfalls in Abbildung
\ref{abb:j12}(b) zeigt.
Die mittels
dieser beiden Vorgehensweisen
erhaltenen Quasienergien in Abbildung \ref{abb:j12}(c)
weichen daher nur wenig voneinander ab;
ihr relativer Fehler in Abbildung \ref{abb:j12}(d)
bewegt sich zwischen zwei und sechs Prozent.

\subsection{Die Spuren und Spektren f"ur $j=\frac 32$}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/j3_2.ps}}
\caption[Der Weg zum Spektrum f"ur $j=\frac 32$
]{Der Weg zum Spektrum f"ur $j=\frac 32$. (a), (b) Die ersten beiden
Spuren in der besten semiklassischen N"aherung (mit
Kodimension zwei) im Vergleich zum exakten Resultat. (c)
Absoluter Fehler der semiklassischen Spuren. (d)
Phasenabweichung des selbstinvers bestimmten Koeffizienten $a_4=\dt F$
aus der Selbstinversit"atsrelation (\protect\ref{eq:sia4}).
(e) Die exakten und die semiklassisch
gewonnenen Quasienergien im Vergleich. In der einen N"aherung wird der
Koeffizient $a_4=\dt F$ "uber die Selbstinversit"atsbeziehung gewonnen
(SI),
in der anderen zu
seiner Bestimmung die semiklassisch exakt
reproduzierbare Determinante hinzugezogen. Nur mit der letztgenannten
Vorgehensweise erh"alt man "uberall verl"a"sliche Quasienergien, deren
Fehler in (f) dargestellt ist.
}
\label{abb:j32}
\end{figure}

Die ersten beiden Spuren und ihr absoluter Fehler sind f"ur $j=\frac 32$
in den Abbildungen \ref{abb:j32}(a)--(c) dargestellt. Zur Entschl"usselung der
Quasienergien kann man wie bei $j=\frac 12$ den Koeffizienten $a_4$ entweder
selbstinvers aus 
\beq
\label{eq:sia4}
a_4=\frac{a_2}{a_2^*}
\eeq
mit
\beq
a_2=\frac 12 \left[\left(\tr F\right)^2-\tr F^2\right]
\eeq
bestimmen oder die exakte  Determinante $a_4=\dt F$ benutzen.
Mit der
erstgenannten
Vorgehensweise sind keine guten Ergebnisse zu erzielen: Wie in
Abbildung \ref{abb:j32}(d) deutlich wird, erh"alt man
f"ur manche Werte von $k$ v"ollig unsinnige 
Phasen von $a_4$. Dies liegt in der Verkn"upfung zweier Ursachen
begr"undet: Zum einen l"a"st sich die zweite Spur f"ur den aktuellen kleinen
Wert von $j$  nicht sehr genau
approximieren;
zum anderen ist an den genannten Werten von $k$ der Koeffizient
$a_2$ dem Betrag nach verh"altnism"a"sig
klein und damit in der Phase gegen N"aherungsfehler besonders empfindlich. 
Dabei spielt eine Rolle, da"s --- anders als bei $j=\frac 12$ --- der
mittlere Koeffizient hier und f"ur gr"o"sere Werte von $j$ eine
Kombination mehrerer Spuren ist und insbesondere Summen und Differenzen
auftauchen.
Den Koeffizienten $a_4$ benutzt man in beiden Strategien weiter, um auch
$a_3$ selbstinvers zu bestimmen.
In den Quasienergien [Abb. \ref{abb:j32}(e)]
macht sich der Phasenfehler des 
Koeffizienten  $a_4$
in der ersten Strategie durch einen Zuordnungswechsel der
semiklassischen zu den quantenmechanischen Niveaus bemerkbar, in dessen
Umgebung der relative Fehler [Abb. \ref{abb:j32}(e)]
der Quasienergien sehr gro"s wird. Mit der exakten Determinante ist das 
Ergebnis erneut ausgesprochen gut
(die Niveaus lassen sich kaum von den exakten unterscheiden)
und "ubersteigt nirgends drei Prozent.


\subsection{Die Spuren und Spektren f"ur $j=\frac 52$}

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/j5_2.ps}}
\caption[Der Weg zum Spektrum f"ur $j=\frac 52$
]{Der Weg zum Spektrum f"ur $j=\frac 52$. (a)--(c) Die ersten drei
Spuren in der besten semiklassischen N"aherung (mit
Kodimension zwei und Doppeltorusbeitrag)
im Vergleich zum exakten Resultat. (d) Absoluter Fehler der
semiklassischen Spuren.
(e) Die exakten und semiklassisch
gewonnenen Quasienergien im Vergleich. Dabei wird die exakte
Determinante $\dt F=a_6$ verwendet.
(f) Der relative Fehler der Quasienergien betr"agt weniger als sechs
Prozent.
}
\label{abb:j52}
\end{figure}

In den Abbildung \ref{abb:j52}(a)--(c) finden sich die ersten drei
Spuren, die man
zur Bestimmung der Quasienergien f"ur $j=\frac 52$ ben"otigt.
F"ur $j=\frac 52$ f"uhrt die semiklassische Bestimmung des Koeffizienten
$a_6$ aus der Selbstinversit"atsbeziehung wie bei $j=\frac 32$
nicht "uberall zu einer
befriedigenden N"aherung: Im Intervall $0\leq k\leq8$ trifft man einmal
auf einen Zuordnungswechsel der Niveaus, verbunden mit einem stark
erh"ohten relativen Fehler der Quasienergien.
Auf die Darstellung dieses Ergebnisses wird hier verzichtet.
Wir bestimmen besser die Koeffizienten $a_1$, $a_2$ und $a_3$ aus den ersten
drei Spuren, benutzen f"ur $a_6$ die exakte Determinante und erhalten 
$a_4$ und $a_5$ aus der Selbstinversit"atsbeziehung.
So erreicht man wieder eine sch"one "Ubereinstimmung
zwischen den exakten und den gen"aherten Niveaus [Abb. \ref{abb:j52}(e)]
mit einem Fehler von weniger als sechs Prozent, ja vielerorts sogar weniger
als drei Prozent [Abb. \ref{abb:j52}(f)].

