\chapter{Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen}
\label{kap:scbeitraege}

Die Quasienergien eines quantenmechanischen
periodisch getriebenen Systems, d.\,h.\ die Phasen
der Eigenwerte des Floquetoperators $F$, k"onnen aus den Spuren $\tr
F^n$ gewonnen werden. Diese wiederum lassen sich mit
periodischen Bahnen des klassischen Systems in Verbindung setzen.
Station"are Eigenschaften des Quantensystems werden so mit
station"aren Eigenschaften des klassischen Systems verkn"upft.
Hierzu formulieren wir zun"achst die Spuren in der Form eines Integrals
"uber den Phasenraum und setzen dort die semiklassische
Van--Vleck--N"aherung
\cite{VanVleck:1928,Dirac:1947,Berry:Mount:1972}
des Floquetoperators ein. Dadurch bringen wir die erzeugenden Funktionen 
ins Spiel.
Eine N"aherung nach der
Methode der station"aren Phase f"uhrt dann bereits auf die periodischen
Bahnen: Semiklassisch setzt sich $\tr F^n$ aus Beitr"agen der
periodischen Bahnen der Periode $n$ zusammen
\cite{Gutzwiller:1971,Gutzwiller:1990,Tabor:1983,Junker:Leschke:1992}.

Hintergrund der 
N"aherungsmethode der station"aren Phase ist eine Verschiebung der
Integrationskontur ins Komplexe --- in unserem Fall also eine
Komplexifizierung des Phasenraums. In einer mathematisch sauberen
Formulierung konstruiert man eine solche Integrationskontur mittels der
Methode des st"arksten Abklingens des Integranden
\cite{Copson:1965,Fedoryuk:1989}. Auf der neuen
Integrationskontur hat der Integrand Maxima an den Punkten
station"arer Phase.
Aus ihrer Umgebung
r"uhren die haupts"achlichen Beitr"age zum Integral her.
Die neue Kontur f"uhrt in der Regel
"uber weitere Maxima, an denen Ort und Impuls
komplexe Gr"o"sen sind. Sie entsprechen komplexen 
Geisterl"osungen der Fixpunktgleichungen, d.\,h.\ komplexen periodischen
Bahnen, wie sie schon bei den Normalformen aufgetreten sind.
Nicht alle Geister liefern jedoch einen Beitrag, sondern nur solche, die auf
oder in der N"ahe der neuen Integrationskontur liegen.

Ist eine periodische Bahn hinreichend von allen anderen
isoliert, so liefert sie einen
additiven Beitrag, dessen Amplitude durch die primitive Periode
$n_0$ sowie den Stabilit"atsfaktor 
$\tr M$ und dessen Phase durch die Wirkung $S$ und den Maslovindex $\nu$
gegeben ist.
Erst der Schritt vom Phasenraumintegral zu den periodischen Bahnen sorgt
daf"ur, da"s das Ergebnis nicht von der Wahl der klassischen
Beschreibungsweise abh"angt --- von den periodischen Bahnen flie"sen nur
Eigenschaften ein, die sich unter kanonischen Transformationen nicht
"andern, w"ahrend vorher mit der Erzeugenden
eine Gr"o"se im Integranden
auftritt, die diese sch"one Eigenschaft nicht besitzt.

In der N"ahe von Bifurkationen liegen Punkte station"arer Phase
eng beieinander. Periodische Bahnen
k"onnen dann nicht mehr unabh"angig voneinander
betrachtet werden, sondern liefern einen
kollektiven Beitrag. Hier helfen die Normalformen der Erzeugenden
aus Kapitel \ref{kapitel:klassisch} weiter. Wir geben die Beitr"age f"ur
die verschiedenen dort diskutierten
Bifurkationstypen an.
Erneut flie"sen nur die
oben genannten kanonisch invarianten Eigenschaften der periodischen
Bahnen ein. Auch die Familie periodischer Bahnen auf einem rationalen
Torus eines integrablen Systems tr"agt kollektiv 
bei, ebenso die Bahnen auf einem gebrochenen Torus im nahezu
integrablen Fall.

\section{Verkn"upfung des Spektrums mit periodischen Bahnen}

\subsection{Spuren und Spektrum des Floquetoperators}
\label{sec:spsp}

Als Ansatzpunkt f"ur die semiklassische Bestimmung des
Quasienergiespektrums
dienen die Spuren
\beq
t_n\equiv\tr F^n
=\sum_{k=1}^N\exp\left[ -in\varphi_k\right]
\eeq
von Potenzen des Floquetoperators.
Das Spektrum ist durch die Spuren der Potenzen $1\leq n \leq N/2$ festgelegt.
Der Weg f"uhrt "uber das
charakteristische Polynom
\begin{equation}
\det (F-\lambda \hat {1\!\!\!\:\rm I} )=\sum_{n=0}^Na_n(-\lambda)^{N-n}=0\;,
\end{equation}
dessen $N$ Wurzeln $\lambda_k=\exp\left[ -i\varphi_k\right]$ gerade die
Eigenwerte von $F$
sind. Hier gilt unter anderem $a_0=1$, $a_1=t_1$ und $a_N=\dt F$.
Die Koeffizienten lassen sich aus den Spuren $t_n$
"uber die Newtonschen Formeln bestimmen \cite{Mostowski:Stark:1964},
\beq
\label{eq:2}
na_n=-(-1)^nt_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_{n-k}(-1)^kt_k, \quad(1\leq n\leq N)\;.
\eeq
Aus dem angesprochenen Satz Spuren erh"alt man zun"achst nur
die Koeffizienten  mit Index $n=1$ bis $n=N/2$.
Die zweite H"alfte folgt aus der sogenannten Selbstinversit"atsbeziehung
\cite{Bogomolny:Bohigas:1992}
\begin{equation}\label{eq:selbstin}
a^{}_{N-n}=a^{}_Na_n^*\;,
\end{equation}
die eine Konsequenz der Unitarit"at von $F$ ist.
Die $N/2$ komplexen Gr"o"sen $t_n$, $1\leq n \leq N/2$,
bieten also genausoviel Information wie die $N$ reellen Quasienergien
$\varphi_k$.

Die Spur $t_n$ ist mit der Dynamik "uber $n$ Perioden hinweg verkn"upft.
Da"s man das System "uber $N/2$ Perioden verfolgen mu"s, um
das Spektrum zu gewinnen, l"a"st sich auch auf eine andere Art und
Weise verstehen,
n"amlich in Form einer
Energie--Zeit--Unsch"arferelation $\Delta t \Delta E\approx 2\pi$.
Hier hat man als Entschl"usselungsstrategie 
die Bestimmung der spektralen Zustandsdichte 
\beq
d(\varphi)=\sum_{k=1}^N\delta(\varphi-\varphi_k)
\eeq
mittels einer
Fourierreihenentwicklung
\beq\label{eq:zustandsdichte}
d(\varphi)=
\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty t_n\exp\left[ in\varphi\right]=
\frac N{2\pi}+\frac 1 \pi \sum_{n=1}^\infty t_n\cos(n\varphi)
\eeq
im Hinterkopf.
Wir haben bereits die Unitarit"at von $F$ "uber die Beziehung
$t_{-n}=t_n^*$ einflie"sen lassen. Man sieht so der
Summe rechts direkt an, da"s sie --- in "Ubereinstimmung  mit der Definition
von $d(\varphi)$ --- eine reelle Gr"o"se beschreibt.
Ferner gilt
$\frac{1}{2\pi}\tr F^0= \frac{1}{2\pi}\tr
\hat {1\!\!\!\:\rm I} =N/2\pi$.
Dieser
konstante Untergrundterm zur spektralen Dichte
spiegelt wider, da"s es $N$ Eigenphasen
im Intervall $[0,2\pi)$ gibt. Ihr mittlerer Abstand ist demgem"a"s
$\overline{\Delta \varphi}=2\pi/N$.

Wenn wir  die Summe "uber $n$ auf
ein endliches Zeitintervall $n=1,2,\ldots,n_{\rm max}$ beschr"anken,
was in der urspr"unglichen Summe 
dem Intervall $\Delta t=2 n_{\rm max}+1$
entspricht,
erhalten wir anstelle der Deltafunktionen Terme der Form
\beq
\frac{\sin [(n_{\rm max}+\frac 12)(\varphi-\varphi_k)]}{
\sin [\frac 12 (\varphi-\varphi_k)]}\;.
\eeq
Diese Beitr"age haben im Einklang mit der Unsch"arferelation Peaks der Breite
$\Delta \varphi \approx \pi/(n_{\rm max}+\frac 12)$. 
Will man individuelle Eigenphasen
identifizieren, ben"otigt man ein Auf\-l"o\-sungs\-verm"ogen mindestens von der
Genauigkeit des mittleren Phasenabstands $\overline{\Delta \varphi}$.
Es ergibt sich in der Tat $n_{\rm max} \approx N/2$.


\subsection{Die Spuren als Phasenraumintegral}

Die Spuren lassen sich in der Form eines Phasenraumintegrals schreiben,
welches als Ansatzpunkt f"ur die semiklassische Behandlung von
Nutzen sein wird. Der Ausdruck hat die Form
\beq
\tr F^n=\int dq'\int dp\,\langle q'| F^n| p\rangle \langle p| q'\rangle 
\;.
\eeq
Diese Darstellung erh"alt man ohne M"uhe f"ur Systeme, die durch einen
Orts- und einen Impulsoperator mit der
Vertauschungsrelation $[\hat q,\hat p]=i\hbar$ beschrieben werden.
Ein Basiswechsel ist dort bekanntlich mit einer
Fouriertransformation verbunden,
\beq\label{eq:pqtrafo}
\langle p|q\rangle=(2\pi\hbar)^{-1/2}
\exp\left[ - \frac i\hbar  pq\right]
\;.
\eeq
Bei einem Drehimpulssystem mu"s dieser Zusammenhang leicht modifiziert werden.
Hier geht der klassische Impuls aus dem Operator $J_z$ hervor.
Es gibt nun allerdings keinen quantenmechanischen "`Winkeloperator"' $\hat
\varphi$ mit $[\hat \varphi,J_z]=i$.
Die grundlegende Ursache ist die diskrete Natur der Quantenzahl $m$.
Sie steht im Zusammenhang mit der Tatsache,
da"s man klassisch Winkel, die sich um
Vielfache von $2\pi$ unterscheiden, miteinander identifizieren mu"s.
Dies spiegelt sich auch in dem Ausdruck f"ur die Spur wider, zu dessen
Herleitung wir nun kommen.

Dazu notiert man die Spur zun"achst explizit in der "ublichen
$|j,m\rangle$--Basis,
\beq
\tr F^n=\sum_{m=-j}^j\langle j,m|F^n|j,m\rangle\;.
\eeq
Dem angek"undigten Resultat n"ahert man sich nun durch eine Reihe von
Umformungen, zu deren Beginn man in
\bea
\tr F^n&=&
\sum_{k=-\infty}^\infty
\int_{-J}^{J}dm\,
\int_{-J}^{J}dm'\,
\langle j,m'|F^n|j,m\rangle
\delta(m-k) \delta(m-m')
\eea
(mit erneut $J=j+\frac 12$)
eine Deltafunktion mittels der Poissonschen Summationsformel
\beq\label{eq:poissonsum}
\sum_{l=-\infty}^\infty \delta(m-l)=\sum_{l=-\infty}^\infty \exp\left[2\pi i
m l\right]
\eeq
darstellt
und f"ur die andere die Form $\delta(p)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^\infty
\exp\left[ ipq\right]\,dq$ verwendet.
Ist $j$ halbzahlig, so sind es auch die urspr"unglichen Stellen in den Summen
"uber $m$ bzw. $k$. Der Summationsindex $l$ sei aber ganzzahlig.
Dies f"uhrt wegen
\beq
\sum_{k=-\infty\ldots -\frac 12}^{\frac 12 \ldots \infty}
\delta(m-k)=
\sum_{l=-\infty}^\infty \delta\left(m+\frac 12-l\right)=
\sum_{l=-\infty}^\infty \exp\left[2\pi i
m l\right]\exp\left[i\pi l\right]
\eeq
zu zus"atzlichen Faktoren $(-1)^l$. Sie k"onnen als Ausdruck
der Tatsache angesehen werden, da"s f"ur halbzahliges $j$
die Drehung um $2\pi$ und die damit verbundene
Erh"ohung des Winkels $q$ einen Vorzeichenwechsel
der Wellenfunktion
liefert und erst
die Erh"ohung um $4\pi$ der Identit"atsoperation entspricht.
Diese Deutung erh"artet sich im n"achsten Abschnitt.
 Zur Fallunterscheidung
verwenden wir $\sigma_j\equiv\exp[i2\pi j]=\pm1$.
Wir f"uhren zugleich den klassischen
Impuls $p= m/J$ ein, der als kontinuierliche Gr"o"se
aufgefa"st werden soll.
Damit erh"alt man
\bea\label{eq:phasenraumint}
\tr F^n&=&
\int_{-1}^{1}dp\,
\int_0^{2\pi} dq'\,
\langle p|q'\rangle
\langle q' | F^n| p \rangle
\eea
mit den Definitionen
\beq\label{eq:fgemischt}
\langle q' | F^n| p \rangle
\equiv
J 
\int_{-1}^{1}dp'\,
\langle q'|p'\rangle
\langle j,Jp'|F^n|j,Jp\rangle
\eeq
und
\beq
\label{eq:pqtrafo2}
\langle p|q\rangle\equiv\sqrt{\frac{J}{2\pi}}
\sum_{l=-\infty}^\infty
\exp[- iJ p(q+2\pi l)]
\sigma_j^l 
\;.
\eeq
Die Darstellungen mittels der 
Gr"o"sen $q$ und $p$ h"angen anscheinend "uber
eine modifizierte Fouriertransformation zusammen. Wir
k"onnen $q$ daher als den klassischen Ort auffassen.
Vergleicht man (\ref{eq:pqtrafo2}) mit (\ref{eq:pqtrafo}), so erkennt
man, da"s $1/J$ an die Stelle der Planckschen
Konstanten getreten ist.
Dies wissen wir bereits aus der Diskussion des klassischen Grenzfalls
in Abschnitt \ref{sec:klassischerGrenzfall}.
Die Summe "uber $l$ f"uhrt zu einer koh"arenten "Uberlagerung
der quantenmechanischen
Amplituden aller $q$--Werte, die sich nur um
Vielfache von $2\pi$ unterscheiden.
Dies gilt
sowohl f"ur die Amplituden der Fourierentwicklungen
$\langle q' | F^n| p \rangle$ und $\langle p | q \rangle$
als auch letztlich f"ur jene im Phasenraumintegral (\ref{eq:phasenraumint}).

\subsection{Semiklassische Matrixelemente}
\label{sec:scmatrix}

Man kann die Matrixelemente
\beq
\langle  q'|F^n|p\rangle \equiv \psi_p(q',nT)
\eeq
wie angedeutet als die Ortsdarstellung
einer Wellenfunktion auffassen. Sie geht durch Propagation "uber $n$
Perioden aus der Anfangsbedingung $\psi_p(q',0)=\langle q'|p\rangle$
hervor. Setzt man den "ublichen WKB--Ansatz \cite{Berry:Mount:1972}
\beq
\psi_p(q',nT)=A(q',p;nT)\exp\left[ iJ\hat S(q',p;nT)\right]
\eeq
in die Schr"odingergleichung ein und betrachtet
die f"uhrende Ordnung in $1/J$, so wird man auf die
Hamilton--Jacobi--Gleichung
\beq
H\left(q',\parfrac {\hat S} {q'};t\right)+\parfrac {\hat S}t=0
\eeq
gef"uhrt. Dies ist eine partielle Differentialgleichung f"ur $\hat
S(q',p;t)$ mit der
Anfangsbedingung $\hat S(q',p;0)=q'p$.
Gel"ost wird sie durch die erzeugende Funktion der klassischen
Dynamik; sie gehorcht also den Gleichungen (\ref{eq:hatserz}). Den 
Vorfaktor
$A(t)$ erh"alt man  aus der n"achsten Ordnung der Schr"odingergleichung in
$1/J$ (oder der Erhaltung der Norm der Wellenfunktion).
Es kann mehrere L"osungen des Randwertproblems $q(nT)=q'$, $p(0)=p$
geben. Die verschiedenen Beitr"age "uberlagern sich koh"arent, wobei
ihre relative Phase durch den Morseindex $\hat\mu$
aus Abschnitt  \ref{sec:morse} bestimmt wird.
Eine Begr"undung erhalten wir zum Ende des n"achsten Abschnitts
\ref{sec:zusprop}.

Die daraus folgende 
semiklassische N"aherung der Matrixelemente $\langle q'|F^n|p\rangle$
geht auf Van Vleck und Dirac zur"uck \cite{VanVleck:1928,Dirac:1947}
und lautet
\beq\label{eq:vanvleck}
\langle q' | F^n|p\rangle
= \sum^{\rm Wege}_{p\,\leadsto\,q'}\sqrt{\frac J {2\pi}}\left|\parfrac{^2
\hat S(q',p;n)}{q'\partial p}\right|^{1/2}\exp\left[iJ
\hat S(q',p;n)-i\frac \pi 2 \hat \mu\right]\;.
\eeq
Die Summe f"uhrt "uber alle klassischen Trajektorien $(q(t),p(t))$, die den
Randbedingungen $p(0)=p$, $q(nT)=q'$ gen"ugen.

Es sei sogleich vermerkt, da"s die Amplitude
\beq
\parfrac{^2\hat S(q',p;n)}{q'\partial p}
=\left.\parfrac{q}{q'}\right|_p=\frac 1{M_{11}}
\eeq
gem"a"s (\ref{eq:hatskaust})
auf den Kaustiken von $\hat S$ divergiert und 
die semiklassische N"aherung (\ref{eq:vanvleck}) dort zusammenbricht.

Der Ausdruck (\ref{eq:pqtrafo2}) f"ur den Entwicklungskoeffizienten
\beq
\label{eq:kurzprop}
\left\langle q'|p \right\rangle =\left\langle q'| U(0;0) | p \right\rangle
\eeq
kann mit der Identit"at
\beq
\left\langle q'|p \right\rangle =\sigma_j^l\left\langle q'\left| \exp\left[i2\pi l J_z\right]\right| p \right\rangle\;,
\eeq
die f"ur jede Wellenfunktion g"ultig ist, 
ebenfalls in die Form (\ref{eq:vanvleck}) gebracht werden. 
In (\ref{eq:pqtrafo2}) tritt die
"Uberlagerung der Beitr"age aller Winkel auf, die klassisch miteinander
identifiziert werden m"ussen. Sie gehen durch eine Drehung bez"uglich der
$z$--Achse um Vielfache
von $2\pi$ ineinander "uber; im vorliegenden Fall ist $q'=q-2\pi l$.
In Abschnitt
\ref{sec:wirkung} haben wir im Rahmen des Beitrags (\ref{eq:wirkbeitrot}) einer 
reinen Drehung um die $y$--Achse zur Wirkung
gesehen, da"s die zugeh"origen Funktionszweige der Wirkung
den Wert
$S=S(q,q)=2\pi l$ tragen. Dieser Ausdruck entspricht der Wirkung einer
periodischen Bahn und ist somit eine kanonische Invariante, die auch von
der Drehachse nicht abh"angt.
Nach einer Legendretransformation 
ist folglich f"ur die Drehung um die $z$--Achse
\beq
\hat S(q',p)=(q'+2\pi l)p+2\pi l\;.
\eeq W"ahrend der Drehung
trifft man auf zwei Kaustiken und erh"alt $\hat\mu=l$. In der Kombination
\beq
JS-\frac {\pi}2\hat \mu=J(q'+2\pi l)p+j2\pi l
\eeq
kristallisiert sich dann
(\ref{eq:pqtrafo2})  einschlie"slich des
Phasenfaktors $\sigma_j^l$ heraus. Man vergleiche auch die
verwandten Diskussionen in Abschnitt \ref{sec:intkla}
und \ref{sec:reinedrehung}.

Auch andere Matrixelemente lassen sich in "ahnlicher Weise semiklassisch
n"ahern. Der Wechsel von einer Darstellung zu einer
anderen gelingt mittels
einer N"aherung nach der Methode der station"aren Phase. Betrachten wir etwa
das Orts--Orts--Matrixelement
\bea
\langle q'|F^n|q\rangle
&=&\int
\langle q'|F^n|p\rangle\langle p|q\rangle\,dp
\nn
&=& \int \sum_{l=-\infty}^\infty\sum^{\rm Wege}_{p\,\leadsto\,q'}
\frac J {2\pi}\left|\parfrac{^2
\hat S(q',p;n)}{q'\partial p}\right|^{1/2}
\nn
&&\times\exp\left[iJ
\left(\hat S(q',p;n)-(q+2\pi l)p\right)-i\frac \pi 2 \hat \mu\right]\,dp
\nn
&=&
 \sum_{\rm Punkte}^{\rm station"are}\sqrt{\frac J {2\pi}}\left|\parfrac{^2
\hat S(q',p;n)}{q'\partial p}\frac 1 {\hat S''}\right|^{1/2}
\nn
&&\times
\exp\left[iJ
\left(\hat S(q',p;n)-(q+2\pi l)p\right)-i\frac \pi 2 \left(\hat \mu
-\frac 12 \sign \hat S''\right)
\right]\;.
\eea
Die Punkte station"arer Phase erf"ullen
\beq
\parfrac {\hat S(q',p;n)}{p} \bmod 2\pi = q \;.
\eeq
Dies legt $p$ (und $l$) als Funktion von $q$ und $q'$ fest und
macht aus der Summe "uber station"are Punkte
wieder eine Summe "uber klassische Trajektorien, die nun
den Randbedingungen $q(0)=q$, $q(nT)=q'$ gen"ugen.
In die Amplitude und die neue Phase geht weiter die
zweite Ableitung [siehe (\ref{eq:mdds})] 
\beq
\hat S''\equiv
\parfrac{^2\hat S(q',p;n)}{p^2}=-
\frac{M\hoch n_{12}}{M\hoch n_{11}}
\eeq
der Phase ein. 
Im Resultat
\beq\label{eq:vanvleck2}
\langle q' | F^n|q\rangle
= \sum^{\rm Wege}_{q\,\leadsto\,q'}\sqrt{\frac J {2\pi}}\left|\parfrac{^2
\tilde S(q',q;n)}{q'\partial q}\right|^{1/2}\exp\left[iJ
\tilde S(q',q;n)-i\frac \pi 2 \tilde  \mu\right]
\eeq
taucht im Vergleich zum Ausdruck (\ref{eq:vanvleck}) nun konsequenterweise
die Erzeugende $\tilde S$ statt $\hat S$ auf, und in der Phase identifiziert man
den Morseindex $\tilde \mu$ mittels der Beziehung (\ref{eq:muhatmu}).
Den Beitrag $2\pi l p$ haben wir mit in $\tilde S$ hereingenommen, damit $q$ im
Intervall $[0,2\pi)$ verbleibt. Wir haben auch den Faktor $(-1)^l$
f"ur halbzahliges $j$ unterschlagen, der wie zuvor diskutiert
letztlich ebenfalls in der Wirkung und dem Morseindex aufgeht.

Durch eine analoge Rechnung erh"alt man 
\beq\label{eq:vanvleck3}
\langle p'|F^n|p\rangle= \sum^{\rm Wege}_{p\,\leadsto\,p'}
\sqrt{\frac J {2\pi}}\left|\parfrac{^2
\bar S(p',p;n)}{p'\partial p}\right|^{1/2}\exp\left[iJ
\bar S(p',p;n)-i\frac \pi 2  \bar \mu\right]\;.
\eeq
Auf dieser Form beruht die erfolgreiche Bestimmung der Kreiselniveaus in
\cite{Braun:Gerwinski:1996}. 

\subsection{Der zusammengesetzte Propagator}
\label{sec:zusprop}

Wir wollen nun skizzieren, wie sich der Propagator semiklassisch
zusammensetzt, wenn wir die Propagation
mittels der Halbgruppeneigenschaft
\beq
U(t'';t)=U(t'';t')U(t';t)\equiv U\hoch2 U\hoch 1
\eeq
in zwei Teilschritte
zerlegen. Dazu verwenden wir erneut die Methode der station"aren Phase.
Auf diese Weise kann man etwa den Floquetoperator $F$ des Kreisels
aus den Teilschritten
$\tilde F_i$ zusammensetzen,
gleichfalls seine Potenzen $F^n$ iterativ aus den Teilschritten $F$.
Insgesamt vertieft die folgende Diskussion das Verst"andnis
der Van Vleckschen N"aherung ungemein.

Ein
Matrixelement des zusammengesetzten Propagators lautet
\beq\label{eq:kurzzeitprop}
\langle q''| U|p\rangle=
\int
\langle q''| U\hoch 2|q'\rangle
\langle q'| U\hoch 1|p\rangle \,dq'\;.
\eeq
Nun setzen wir (\ref{eq:vanvleck}) und (\ref{eq:vanvleck2}) in
(\ref{eq:kurzzeitprop}) ein
und f"uhren eine N"aherung nach der Methode der station"aren Phase durch,
\bea\label{eq:zuspropstat}
\langle q''| U|p\rangle&=&
\sum_{\rm Punkte}^{\rm station"are}
\sqrt{\frac{J}{2\pi}}\left|M\hoch1_{11}M\hoch2_{12}S''\right|^{-1/2}
\\
&&\times \exp\left[iJ\left[\hat S\hoch1(q',p)+\tilde S\hoch2(q'',q')\right]-
i \frac \pi 2 \left(\hat \mu\hoch1+\tilde\mu\hoch2-\frac 12\sign S''\right)\right]
.\mbox{\hspace*{-.2cm}}
\nonumber
\eea
Die Punkte station"arer Phase erf"ullen
\beq\label{eq:statphas}
\parfrac{\hat S\hoch 1(q',p)}{q'}+
\parfrac{\tilde S\hoch 2(q'',q')}{q'}=0\;.
\eeq
Dies legt $q'$ als Funktion von $q''$ und $p$ fest. Es verbleibt also eine
Summe "uber Wege, die den Randbedingungen $p(t)=p$, $q(t'')=q''$ gen"ugen.
Um den Beitrag der Wege zu bestimmen, ben"otigen wir die
zweite Ableitung 
\beq
S''\equiv
\parfrac{^2 \hat S\hoch 1(q',p)}{q'^2 }+
\parfrac{^2 \tilde S\hoch 2(q'',q')}{q'^2 }
\eeq
der Phase. Sie l"a"st sich wie folgt bestimmen:
Wir setzen in (\ref{eq:statphas}) $q'(q'',p)$ ein und leiten
nach $q''$ ab,
\beq\label{eq:statphas2}
S''
\left.\parfrac{q'}{q''}\right|_p
+\parfrac{^2 \tilde S\hoch 2}{q''\partial q'}=0\;.
\eeq
Wir benutzen
\beq
\left.\parfrac{q'}{q''}\right|_p
=
\left.\parfrac{q'}{q}\right|_p
\left.\parfrac{q}{q''}\right|_p
\eeq
und erhalten unter Verwendung der Beziehungen
(\ref{eq:mdds})
\beq
S''=
\frac{M_{11}}{M\hoch 1_{11}M\hoch 2_{12}}
\;.
\eeq
Dies kann nun in (\ref{eq:zuspropstat}) eingesetzt werden.
Im Endresultat wird man wieder auf (\ref{eq:vanvleck}) gef"uhrt.
Damit setzen sich Amplitude
und Phase der semiklassischen Beitr"age
gem"a"s den Regeln zusammen, die wir f"ur die linearisierte
Abbildung (\ref{eq:linzus}),
den Wert der Erzeugenden (\ref{eq:szus}, \ref{eq:hats})
und den Morseindex (\ref{eq:hatmuzus}) kennengelernt haben. 

Eine weitere Anwendung ist, $F$ iterativ
aus Propagatoren "uber kurze Zeiten zusammenzusetzen.
Da schon der Ausdruck f"ur beliebig kurze Zeiten
(\ref{eq:pqtrafo2}, \ref{eq:kurzprop})
nach der Diskussion des vorigen Abschnitts
in die semiklassische Form (\ref{eq:vanvleck}) gebracht werden kann, 
l"a"st sich dadurch letztere Beziehung 
einschlie"slich des
postulierten Zusammenhangs zwischen der Phase
und dem Morseindex belegen.

\subsection{Semiklassische Spuren und periodische Bahnen}

Setzt man die Van Vlecksche N"aherung (\ref{eq:vanvleck}) des Propagators
in das Phasenraumintegral (\ref{eq:phasenraumint}) ein, 
\beq\label{eq:print}
\tr F^n=\sum^{{\rm Zweige}}_{{\rm von~}\hat S}
\int\frac{dq'\,dp}{2\pi/J}\left|\parfrac{^2\hat S(q',p;n)}{q'\partial
p}\right|^{1/2}\exp\left[iJ\left( \hat S(q',p;n)-q'p\right)
-i\frac \pi2\hat \mu\right]
\;,
\eeq
wobei die Zweige auch die Summe "uber $l$ umfassen,
so ist der erhaltene Ausdruck erneut der Methode der
station"aren Phase zug"anglich.
Die Hauptbeitr"age zum Integral kommen demnach aus der Umgebung jener
Punkte, an denen
\beq
\parfrac{\hat S}{p}=q'\;,\qquad
\parfrac{\hat S}{q'}=p\;,\
\eeq
gilt, an denen also die Fixpunktgleichungen (\ref{eq:fphats}) erf"ullt
sind: 
Die Punkte station"arer Phase sind die
Phasenraumtrajektorien der periodischen Bahnen der L"ange $n$.
Es ist befriedigend, da"s so die station"aren Eigenschaften
des quantenmechanischen Systems, letztlich beschrieben durch die Quasienergien,
mit jenen des klassischen Systems
verbunden sind. Insbesondere leben auf den Phasenraumtrajektorien der
periodischen Bahnen
sogenannte invariante Ma"se. Da wir mit einem Integral "uber den Phasenraum
gestartet sind, ist das Auftreten solcher Ma"se in der Folge 
nicht weiter verwunderlich.

Bevor wir die Form der Beitr"age aus den Umgebungen der periodischen
Bahnen
genauer analysieren, kehren wir kurz zum Ausdruck
(\ref{eq:zustandsdichte}) f"ur die spektrale Dichte
zur"uck, um uns einer beliebten Sichtweise der Rolle
periodischer Bahnen anzuschlie"sen.

Demnach ist die mittlere Dichte der Quasienergien "uber deren Zahl
$N=\tr \hat {1\!\!\!\:\rm I}=\tr
F^0$ gegeben, also gewisserma"sen durch die periodischen Bahnen der
L"ange Null. Jeder Punkt im Phasenraum ist eine solche periodische Bahn.
Setzt man 
$\hat S(q',p;0)=q'p$ in das Phasenraumintegral (\ref{eq:phasenraumint})
ein [in dem in diesem Fall nur
der Term mit $l=0$ aus (\ref{eq:pqtrafo2}) beitr"agt],
so erh"alt man
die wohlbekannte {\em Weylsche Regel}
\beq
N=\frac \Omega{2\pi/J}\;,
\eeq
die die Zahl der Zust"ande mit der Fl"ache $\Omega$
des Phasenraums in Verbindung setzt: Im Mittel liegt in jedem
K"astchen des Fl"acheninhalts $2\pi/J$ ein quantenmechanischer
Zustand. Beim Kreisel ist der Phasenraum die Einheitskugel und
$\Omega=4\pi$. Die
Weylsche Regel sagt also $2J=2j+1$ Zust"ande voraus und ist mithin exakt.

Die Weylsche Regel gilt unabh"angig von der konkreten Dynamik des
Systems; sie ist {\em universeller} Natur.
Die verbleibenden Terme in (\ref{eq:zustandsdichte}) beschreiben
die systemspezifischen
Fluktuationen im Spektrum, d.\,h.\ die exakte Lage der
Quasienergieniveaus;
sie werden durch die periodischen Bahnen nichtverschwindender L"ange
bestimmt. Auch hier gibt es universelle statistische
Eigenschaften, die von der blo"sen Natur der klassischen Dynamik abh"angen und
etwa semiklassisch begr"undet werden k"onnen. F"ur chaotische Systeme
sind sie durch die Zufallsmatrixtheorie zug"anglich
\cite{Haake:1991,Dyson:1962,Mehta:1991,Bohigas:Giannoni:1984}.


\subsection{Die Methode des st"arksten Abklingens und Geisterbahnen}
\label{sec:mdsa}

Die N"aherungsmethode der station"aren Phase ist eine Spielart allgemeinerer
Techniken, die in der Theorie der asymptotischen Entwicklung von 
Integralen mit stark ver"anderlichem Integranden
verbreitete Anwendung finden \cite{Copson:1965,Fedoryuk:1989}.
Auch unser Integral
(\ref{eq:print}) ist von diesem Typ. Wir interessieren
uns f"ur den f"uhrenden (kanonisch invarianten)
Term der asymptotischen Entwicklung f"ur $J\to\infty$
und bedienen uns der Technik des st"arksten Abklingens des Integranden.
Dabei setzt man den Integranden
analytisch ins Komplexe fort und deformiert 
die urspr"ungliche
Integrationsmannigfaltigkeit
so, da"s die Maxima
des Betrags des Integranden an den 
 Punkten station"arer Phase liegen.
Dort liegen zugleich in allgemeinerer Sprechweise {\em S"attel} des Integranden.
Der Betrag des Integranden soll weiter auf
schnellstm"ogliche Weise fallen, wenn man sich von den S"atteln
wegbewegt.
Die Deformation der Kontur soll kontinuierlich geschehen, und es sollen
keine Singularit"aten  "uberschritten werden, damit der Wert des
Integrals unber"uhrt bleibt. Man endet so mit einer Integrationskontur,
die die urspr"unglichen Integrationsgrenzen miteinander verbindet.
Sie zerf"allt in Teilgebiete, auf denen die Phase $\Re (\hat S-q'p)$
des Integranden konstant ist. Auf jedem Gebiet liegt in der Regel genau
ein Maximum.
(Mehrere Maxima kann es nur geben, wenn
der Realteil der Wirkung verschiedener
S"attel "ubereinstimmt.)
Die einzelnen Gebiete
sto"sen an den Nullstellen des Integrand zusammen, an denen ja auch die Phase
nicht wohldefiniert ist.
Den f"uhrenden Term der beschriebenen
asymptotischen Entwicklung erh"alt man
nun, indem man sich auf die
Beitr"age aus den Umgebungen der Maxima
des Integranden
beschr"ankt.

Die Integrationsvariablen nehmen auf der neuen Kontur komplexe Werte an.
Dies entspricht in unserem Fall einem komplexifizierten Phasenraum.
In der Regel f"uhrt die neue Kontur nicht nur "uber die urspr"unglichen
Punkte station"arer Phase, sondern hat weitere Maxima an Sattelpunkten
mit komplexen Koordinaten.
Dort sind die analytisch fortgesetzten
Fixpunktgleichungen erf"ullt. Man nennt diese L"osungen
{\em Geister\/}bahnen, da ihnen keine klassische Bedeutung zukommt.
Sie haben wir bereits in Kapitel \ref{kapitel:klassisch} kennengelernt.




Mit der skizzierten Konstruktionsvorschrift f"ur die neue
Integrationskontur werden aber nicht alle Geisterl"osungen erfa"st. 
Letztlich kann nur die
Konstruktion der Kontur "uber die Relevanz eines Geistes Aufschlu"s
geben.
In der Regel tragen vor allem solche Geister bei, deren Koordinaten beinahe
reell sind. Sie
treten insbesondere in der N"ahe von Bifurkationen auf, und zwar als
Vorl"aufer von Bahnen, die erst jenseits der Bifurkation im (reellen)
klassischen System sichtbar werden.
Wie wir weiter unten sehen werden, wird man zuweilen
auch Geister ber"ucksichtigen, die nicht nicht direkt auf
der Integrationskontur st"arksten Abklingens liegen, aber doch noch
hinreichend in ihrer N"ahe; dies geschieht 
etwa f"ur moderates $J$ oder eben in der N"ahe von Bifurkationen.

Die Wirkung und der Stabilit"atsfaktor von Geistern sind meist komplexe
Gr"o"sen.
Ihr Verhalten in der N"ahe einer Bifurkation ist etwa den
Eigenschaften der komplexen L"osungen aus den Birkhoffschen Normalformen
anzusehen. 
(Es ergibt sich etwa
nach den Abschnitten
\ref{sec:pver2klass} und \ref{sec:pver4klass}, da"s
Geister aus Periodenverdopplungen und Periodenvervierfachungen als Ausnahmen
reelle charakteristische Gr"o"sen besitzen.)

Die Methode des st"arksten Abklingens werden wir auch bei der
numerischen Berechnung mancher Integrale heranziehen. F"ur Beispiele
verschobener Konturen verweisen wir auf
die Abschnitte \ref{sec:m12sc} (Abb. \ref{abb:p21cont}) und \ref{sec:bis}
(Abb. \ref{abb:dtcont}).

Im Falle des Kreisels gelingt die analytische Fortsetzung
der stroboskopischen
Abbildung am einfachsten ausgehend von (\ref{eq:abb1}, \ref{eq:abb2})
mit komplexen kartesischen Koordinaten $\bf X$.
Auch nach der Komplexifizierung gilt ${\bf X}^2=1$.   Als Impuls verwendet
man weiterhin $p=Z$; als Ort fungiert $q=\arg \frac{X+iY}{\sqrt{1-Z^2}}$.
Die Wurzel im Nenner f"uhrt zu zwei
Verzweigungsschnitten entlang der reellen $p$--Achse von $-\infty$ nach $-1$ und
von $1$ nach $+\infty$. Diese Schnitte sind bei der Konstruktion der
Integrationskontur zu beachten.
Der analytisch fortgesetzte
Stabilit"atsfaktor ergibt sich durch Einsetzen der komplexen Koordinaten in
die Stabilit"atsmatrix (\ref{eq:tildem}). F"ur die Wirkung erh"alt man
von jeder Drehung um die $y$--Achse aus (\ref{eq:wirkbeitrot}) den Beitrag 
\beq\label{eq:roterzkom}
S_y=\frac i 2 \left(
\log\frac{YZ'+iX'}{YZ'-iX'} - \log\frac{YZ+iX}{YZ-iX}\right)\;.
\eeq
Die ungestrichenen und gestrichenen
Gr"o"sen bezeichnen die Koordinaten vor und nach der Drehung; dabei gilt $Y=Y'$.
Die nichtlinearen Drehungen um die $z$--Achse liefern unver"andert
Beitr"age der Form (\ref{eq:wirkbeittor}).

Der Maslovindex eines Geistes l"a"st sich als reelle, aber nicht mehr
ganzzahlige Gr"o"se auffassen. Wie der Morseindex
setzt er sich semiklassisch aus den
Phasen der nun komplexwertigen
zweiten Ableitungen bei einer N"aherung der station"aren
Phase zusammen. Um die richtigen Phasen zu erhalten, schreibt
man zun"achst alle Formeln aus den Abschnitten \ref{sec:morse} und
\ref{sec:maslov} so, da"s man Beitr"age der Form
$\sign x$ oder $-\sign x$ erh"alt, multipliziert also alle Vorzeichen vor
den $\sign$--Funktionen aus. Nun ersetzt man "uberall
$-\sign(x)$ durch $-\frac 2\pi\arg(i/x)$ und
$\sign(x)$ durch  $\frac 2\pi\arg(ix)$.
Man beachte, da"s $-\arg(-ix)=\arg(ix)$ nur f"ur
reelles $x$ gilt. Es gilt aber generell $\arg(ix)=-\arg(-i/x)$.
So "ubersetzt sich etwa Formel (\ref{eq:barmuzus}) in 
\beq
\bar \mu=\bar \mu\hoch{2}+\bar \mu\hoch{1}+\frac 1\pi \arg i
\frac{M_{21}}{M\hoch{2}_{21}M\hoch{1}_{21}}\;.
\eeq
In (\ref{eq:maslovkreisel}) tritt jedes Matrixelement $M_{21}$
zweimal auf, und zwar so, da"s 
\beq
\nu- \frac 1 \pi \arg(2-\tr M\hoch n)
\eeq
ganzzahlig ist.

\section{Vorbemerkungen zu den Beitr"agen periodischer Bahnen zur Spur}

Nach der
im vorigen Abschnitt erl"auterten Methode des st"arksten Abklingens 
erh"alt man
von jedem Gebiet $\gebiet$,
in dem periodische Bahnen und gegebenenfalls Geister
der Periode $n$ leben, einen
additiven Beitrag $\beitrag_\gebiet$ zur Spur von $F^n$.
Die semiklassische N"aherung hat also die grobe Gestalt
\beq
\tr F^n=\sum_{\gebiet} \beitrag_\gebiet\;.
\eeq
Wir werden die
Erzeugende $\hat S$ in der Umgebung der periodischen Bahnen entwickeln
und Beitr"age erhalten,
in die nur die kanonisch invarianten
Eigenschaften der Bahnen einflie"sen.
Die konkrete Form der Beitr"age h"angt davon ab, wieviele periodische
Bahnen typischerweise in einem Gebiet schwach ver"anderlicher Phase
liegen und welche Konfiguration man dabei antrifft.
Hier kommt es wiederum auf die Natur der klassischen Dynamik an.
In integrablen Systemen bilden die periodischen Bahnen
Familien. In nichtintegrablen Systemen treten sie punktweise auf.
Unser Ziel ist es, f"ur den gesamten "Ubergang von regul"arem zu
chaotischem Verhalten eine verl"a"sliche semiklassische N"aherung zu
finden. Mathematisch gesprochen suchen wir einen asymptotischen
Ausdruck, der
das Verhalten des exakten Ergebnisses
f"ur $J\to\infty$  {\em gleichf"ormig} in der Kopplungsst"arke $k$
beschreibt.

Das Ma"s an Ver"anderung des Integranden in (\ref{eq:print})
ist durch den Wirkungsunterschied in
Einheiten der Planckschen Konstanten gegeben, also durch die typische
Gr"o"senordnung von $J\Delta S$. Zwei im Phasenraum benachbarte
Bahnen sind hinreichend isoliert,
wenn dieses Abstandsma"s mindestens von der Gr"o"senordnung eins ist.
Es sei daran erinnert, da"s wir zwar den semiklassischen Grenzfall
$J\to\infty$ betrachten, f"ur die Gewinnung der Quasienergien
aber auch die
Dynamik "uber immer l"angere stroboskopische Zeiten bis $n\approx J$
verfolgen m"ussen. Damit wird zwar die typische Wirkungsdifferenz zweier
Bahnen gegebener L"ange mit wachsendem $J$ immer gr"o"ser, die skalierte
Wirkungsdifferenz der hinzukommenden Bahnen gr"o"serer Periode kann jedoch sehr
wohl klein sein.
Das genaue Wechselspiel dieser Grenzf"alle $J,n\to\infty$ ist noch
l"angst nicht verstanden; in der Literatur finden sich nur Ans"atze
\cite{Berry:Balasz:1979,Heller:Tomsovic:1992}.

Bei hyperbolischen Systemen steigt die Zahl der periodischen
Bahnen mit der Periode exponentiell an. Damit r"ucken die Bahnen im
Phasenraum immer enger aneinander. Dennoch lassen sich die Bahnen
der Periode $n<J$ nach aller Erfahrung
als isoliert betrachten, da die Erzeugende
an sich eine stark fluktuierende Funktion ist.

In Systemen mit gemischtem Phasenraum liegen die periodischen
Bahnen h"aufig in so enger
Nachbarschaft zueinander, da"s der Bereich station"aren Verhaltens
des Integranden mehrere Bahnen erfa"st. 
Insbesondere die Wirkungsdifferenz von beinahe bifurkierenden
Bahnen ist klein. Auch die Zahl der Bifurkationen in einem gegebenen 
Intervall der Kopplungsst"arke  w"achst exponentiell mit der Periode.
(Die metrische Entropie und die damit verbundene topologische Entropie
l"a"st sich mit der Torsionsst"arke zu
$\ln k$ absch"atzen, es gibt also in der Gr"o"senordnung von $k^n$ Bahnen
der Periode $n$, die abgesehen von den Nachfolgern der trivialen 
Bahnen bei $k=0$
alle durch Bifurkationen entstanden sein m"ussen.)
Und insbesondere
Kaskaden von Bifurkationen f"uhren zu immer komplexeren Anh"aufungen.
Es stellt sich heraus, da"s man in der Regel die Beitr"age eng
benachbarter
periodischer Bahnen nicht mehr trennen kann, sondern vielmehr
Beitr"age kollektiver Natur erh"alt.
Wir nennen eine Menge eng benachbarter periodischer Bahnen einen
{\em Cluster}.
Dabei
treten auch die bereits erw"ahnten
Geisterbahnen auf, welche hier
Vorl"aufer periodischer Bahnen sind, die
erst jenseits der Bifurkation als reelle L"osungen der
Fixpunktgleichungen sichtbar werden.
In den Beitrag eines Clusters gehen die
Eigenschaften aller beteiligten Bahnen ein.


\section{Der Beitrag isolierter periodischer Bahnen}

In hyperbolischen Systemen sind die periodischen Bahnen hinreichend
isoliert, so da"s es ausreicht, 
die Erzeugende in der Phase des
Integranden von (\ref{eq:print})
in zweiter Ordnung zu entwickeln und die semiklassische
Amplitude als Konstante vor das Integral zu ziehen.
Die Entwicklung der Erzeugenden lautet
\beq
\hat S(q',p;n)-q'p=S+\frac 12 (G_{11}q'^2+G_{22}p^2+2G_{12}pq')
+\order(p^{3-k}q'^k)\;.
\eeq
Wir haben die 
periodische Bahn in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt.
Der f"uhrende Term ist unter Benutzung von (\ref{eq:wirkhats})
die Wirkung der periodischen Bahn. 
Die Matrix $G$ der zweiten Ableitungen der Erzeugenden ist in
(\ref{eq:g}) gegeben.
Setzt man die Entwicklung in das Phasenraumintegral ein,
verbleibt ein Gau"ssches Integral.
Zu dessen Auswertung ben"otigen wir
\beq
\dt G=\frac{2-\tr M\hoch n}{M\hoch n_{11}}\;.
\eeq
F"ur eine periodische Bahn der primitiven Periode $n_0$ gibt es 
$n_0$ Punkte station"arer Phase, die alle den gleichen Beitrag liefern.
F"ur den Beitrag einer isolierten periodischen Bahn erh"alt man
dann mit (\ref{eq:maslovmorse}) und (\ref{eq:g}) 
\bea
\beitrag\rmhoch {isol}&=&n_0
\left|\parfrac{^2\hat S(q',p;n)}{q'\partial p}\dt G 
\right|^{-1/2}\exp\left[iJS
-i\frac\pi 2\left(\hat \mu-\frac 12 \sign G\right)\right]
\nn
&=&A\exp\left[iJS-i\frac \pi 2 \nu\right]
\label{eq:isolbeitrag}
\;.
\eea
Die semiklassische Amplitude
\beq\label{eq:scamp}
A\equiv \frac{n_0}{\sqrt{|2-\tr M\hoch n|}}
\eeq
ist durch den Stabilit"atsfaktor $\tr M\hoch n$ aus
Abschnitt \ref{sec:stabfactor} und die primitive Periode gegeben,
in die Phase gehen die Wirkung
$S$ aus Abschnitt \ref{sec:wirkung} und der Maslovindex $\nu$ aus Abschnitt
\ref{sec:maslov} ein. Sonst treten keine weiteren
Gr"o"sen auf. Der Beitrag ist damit invariant unter
kanonischen Transformationen. Dies gilt auch
f"ur die weiter unten hergeleiteten Beitr"age nicht hinreichend isolierter
periodischer Bahnen, da in sie ebenfalls
nur die genannten Gr"o"sen einflie"sen.

\section{Isolierte Geister und Stokes"uberg"ange}
\label{sec:stokes}

Der Beitrag eines isolierten Geistes auf der Integrationskontur
ist genau von der Form
(\ref{eq:isolbeitrag}). Da $2-\tr M$ nun jedoch eine komplexe Gr"o"se
ist, kommt zum Maslovindex noch eine weitere Phase
$\frac 1 2 \arg (2-\tr M)$ hinzu. In diesem Ausdruck ist nicht
klar, welchen Funktionszweig der $\arg$--Funktion man nehmen mu"s.
Eine eindeutige Rechenvorschrift erh"alt man, wenn man den Maslovindex
gem"a"s (\ref{eq:maslovkreisel}) berechnet, wobei man in der Formel "uberall
$-\sign(x)$ durch $-\frac 2\pi\arg(i/x)$ und
$\sign(x)$ durch  $\frac 2\pi\arg(ix)$
 ersetzt.
Dann mu"s man in (\ref{eq:scamp}) weiterhin die Betragsstriche 
beibehalten.

Die Beitr"age isolierter
Geister werden f"ur wachsendes $J$ exponentiell wie $e^{-J\Im S}$
unterdr"uckt. F"ur gegebenes $J$ findet man jedoch h"aufig
Geister, f"ur die der Imagin"arteil der Wirkung klein und 
deren Beitrag somit wichtig ist.

Wie in Abschnitt \ref{sec:mdsa} bereits erw"ahnt kann es auch vorkommen,
da"s ein Geist sehr nahe an der deformierten
Integrationsfl"ache liegt und nicht vernachl"assigt werden kann.
Sein Beitrag
erf"ahrt jedoch im Vergleich zu einem Geist auf der  Integrationsfl"ache
eine Unterdr"uckung. Dem zugrundeliegenden Mechanismus
wenden wir uns nun zu.

Wir steuern das System mit einem Kontrollparameter $k$ und untersuchen,
wie ein Geist, der urspr"unglich auf der Integrationskontur liegt,
von ihr wegwandern kann. Man nennt dies einen Stokes"ubergang
\cite{Berry:1989,Boasman:Keating:1995}.
Er tritt auf, wenn die Integrationsgebiete
zweier Bahnen $\pm$
f"ur einen bestimmten Wert von $k=k_0$
aufeinanderfallen. 
Der Realteil der Wirkungen der Bahnen stimmt dann "uberein,
$\Re S_+=\Re S_-$.
Wir w"ahlen die Bezeichnung so, da"s
$\Im S_+<\Im S_-$ gilt. Die Bahn $+$ nennt man auch
dominant.
Da sich die beiden Bahnen im Phasenraum nicht treffen, sondern nur
die Integrationsgebiete aufeinanderfallen,
spricht man von einer globalen Bifurkation.
Auf den beiden Seiten des Stokes"uberganges verbinden die 
Integrationsgebiete verschiedene Nullstellenmannigfaltigkeiten des
Integranden. Dies f"uhrt im allgemeinen dazu,
da"s jenseits des Stokes"uberganges
das Gebiet, auf dem die Bahn $-$ liegt, nicht mehr ben"otigt wird, um
die Integrationsgrenzen zu verbinden. Diese Bahn liefert dann in
f"uhrender Ordnung in $J\to\infty$ keinen Beitrag mehr.
Es scheint dann so, als ob der Beitrag schlagartig abgeschaltet wird,
\beq
\beitrag\rmhoch {isol}_{\rm Stokes}
=\Theta(\varepsilon)A\exp\left[iJS-i\frac \pi 2 \nu\right]
\eeq
mit $\varepsilon>0$ auf der Seite, auf der der Geist beitr"agt, und
$\varepsilon<0$ auf der anderen.
F"ur gegebenes, endliches  $J$ wird man selbstverst"andlich eine sanfte
Unterdr"uckung des Beitrags erwarten.
Um sie herzuleiten, mu"s man sich der
m"achtigsten Methoden aus der Theorie der asymptotischen Entwicklungen
bedienen. Berry \cite{Berry:1989}
sucht zun"achst die vollst"andige asymptotische
Entwicklung in $1/J$ auf und resummiert dann den formal divergierenden
Schwanz der Beitr"age h"oherer Ordnung. Dies f"uhrt auf
\beq\label{eq:isolstokes}
\beitrag\rmhoch {isol}_{\rm Stokes}
={\stokesfac}(s)A\exp\left[iJS-i\frac \pi 2 \nu\right]\;.
\eeq
Im sogenannten {\em Stokesfaktor}
\beq\label{eq:stokesfaktor}
{\stokesfac}(s)=\frac 1
{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^s dz\,\exp\left[ -z^2\right]
\eeq
erkennt man ein Gau"ssches Fehlerintegral, in dem die Integrationsgrenze
durch den {\em Stokesparameter}
\beq
 s=
\sign(\varepsilon)
\sqrt{J}\frac{{\rm Re}\,
|S_+-S_-|}{\sqrt{2\,{\rm Im}\,(S_--S_+)}}\
\eeq
festgelegt ist. Diesseits des Stokes"uberganges ist
$s>0$ und damit
die Integrationsgrenze
in (\ref{eq:stokesfaktor}) positiv. F"ur $J\to\infty$ geht sie nach
$+\infty$ und der Stokesfaktor nach eins. Jenseits des "Ubergangs
ist $s<0$, und der Stokesfaktor verschwindet f"ur $J\to\infty$.
F"ur betragsm"a"sig gro"ses $s$ ist ${\stokesfac
}(s)-\Theta(s)=\order(J^{-1/2})$.
Der Ausdruck (\ref{eq:isolstokes}) hat
auch sehr nahe des "Ubergangs seine G"ultigkeit und
beschreibt insgesamt das asymptotische
Verhalten im semiklassischen Grenzfall gleichf"ormig in $k$.

\section{Kollektive Beitr"age bifurkierender Bahnen}

Um den Beitrag einer isolierten periodischen Bahn zu berechnen, haben
wir die Phase des Integranden in (\ref{eq:print}) um den Punkt
station"arer Phase entwickelt und sind dabei bis zur zweiten Ordnung in
den Koordinaten gegangen. Die Amplitude haben wir als 
Konstante vor das Integral gezogen, f"ur sie haben wir also
nur den f"uhrenden Term einer Entwicklung in den Koordinaten behalten. 
Damit verblieb eine kleine Zahl von Koeffizienten, in denen nur die
kanonisch invarianten Eigenschaften der periodischen Bahn auftraten.

Man k"onnte auch mit dem vollen
Ausdruck f"ur die Erzeugende
starten und Terme h"oherer Ordnung durch kanonische Transformationen
wegzuschaffen versuchen. 
Aus Kapitel \ref{kapitel:klassisch} wissen wir, da"s dies nur solange gut geht,
wie man sich nicht in der N"ahe von Resonanzen befindet, nicht also etwa
in der N"ahe von Bifurkationen,
bei denen ja mehrere Bahnen in enger Nachbarschaft zueinander liegen.
Wir m"ussen sonst mit
einer lokalen Form der Erzeugenden arbeiten,
in der
Terme h"oherer Ordnung in den Koordinaten auftreten und die dabei
 zwangsl"aufig weitere periodischen
Bahnen mitbeschreibt.
Dazu werden wir entsprechend
der vorgefundenen Konfiguration der periodischen Bahnen die
passende 
Birkhoffsche Normalform heranziehen.

Betrachten wir die Amplitude
\beq
A(q',p)\equiv
\left|\parfrac {^2\hat S}{q'\partial p}\right|^{1/2}
\eeq
im Integranden von (\ref{eq:print}) 
in der Umgebung der periodischen Bahnen als unver"anderlich, so k"onnen
wir sie wieder als Konstante
vor das Integral (\ref{eq:print}) ziehen.
Dr"ucken wir ferner die Koeffizienten der Normalform
durch die 
bekannten kanonisch
invarianten Charakteristika der periodischen Bahnen aus, so erhalten wir
f"ur jede Bifurkation
die sogenannte {\em lokale N"aherung} des kollektiven Beitrags der
beteiligten Bahnen \cite{Ozorio:1988,Ozorio:Hannay:1987}. 
Die einzelnen Ausdr"ucke h"angen vom jeweiligen Bifurkationstyp ab.

Auch in der Amplitude $A(q',p)$ k"onnen aber
Koordinatenabh"angigkeiten zur"uckbleiben, die man durch Transformationen nicht
mehr wegschaffen kann. Dadurch l"ost man sich von den in Kapitel
\ref{kapitel:klassisch}
diskutierten Beziehungen 
zwischen den Stabilit"atsfaktoren, die zwar aus den Birkhoffschen
Normalformen folgen, jedoch in einiger Entfernung
von der betrachteten Bifurkation zusammenbrechen.
Wir haben f"ur die Tangentenbifurkation bereits gesehen, wie sich dies
mittels der Einbeziehung
h"oherer Terme der St"orungsentwicklung behandeln l"a"st (Abschnitt
\ref{sec:tanbifkl}). Mit dieser
Technik l"a"st
sich auch eine {\em Normalform der Amplitude}
herleiten.

Die verbleibenden
Koeffizienten in der Amplitude lassen sich ebenfalls durch die kanonisch
invarianten Gr"o"sen ausdr"ucken. Man erh"alt dann die {\em
gleichf"ormige N"aherung} des kollektiven Beitrags der an einer
Bifurkation beteiligten Bahn. Sie ist auch in weiterer Entfernung zur
Bifurkation g"ultig und zerf"allt asymptotisch f"ur $J\to\infty$ in die
isolierten Beitr"age (\ref{eq:isolbeitrag}) der Bahnen. Sie stellt eine
gleichm"a"sige Beschreibung zweier einander widersprechender
Grenz"uberg"ange dar: Im semiklassischen Grenzfall $J\to\infty$ wird
das Abstandsma"s $J\Delta S$ gro"s; im Grenzfall immer
st"arkerer Resonanz $\varepsilon\to 0$ [mit dem Bifurkationsparameter aus
Gleichung (\ref{eq:bifbed})] verschwindet es.

F"ur die Tangentenbifurkation 
werden wir die Herleitung der Normalform der  Amplitude ausf"uhrlich besprechen.
Ab der Periodenverdreifachung wird die Herleitung ein umfangreiches
technisches Unterfangen. Man wird jedoch in allen F"allen auf ein 
einfaches (sogar erratbares) Ergebnis gef"uhrt. Dies l"a"st eine
Darstellung der technischen Details in der Herleitung
unsinnig erscheinen. Nach der Ma"sgabe der Katastrophentheorie reicht es
im "ubrigen aus, die Gleichf"ormigkeit
des asymptotischen Verhaltens
unserer N"aherungen
nachzuweisen, was eine leichte "Ubung ist. 
Wir begn"ugen uns daher erneut mit
einem Hinweis auf die Arbeiten \cite{Schomerus:Sieber:1997a,%
Sieber:Schomerus:1997a,Sieber:1996a}.

\subsection{Tangentenbifurkationen ($m=1$)}

In der lokalen N"aherung ist $A(q',p)=1$.
Setzt man die Normalform
(\ref{eq:nformm1}) in (\ref{eq:print}) ein, so faktorisiert der Integrand.
Das
Integral "uber $p$ ist Gau"ssch, w"ahrend das Integral "uber $q'$ 
vom Typ
\beq\label{eq:intj13}
\int_{-\infty}^\infty \exp\left[-i(\varepsilon q'+aq'^3)\right]\,dq'
\eeq
ist und
Besselfunktionen der Ordnung $\pm 1/3$ liefert (Formeln 3.695.1 und
3.695.2 in \cite{Gradshteyn:1994}).
Wir betrachten zun"achst den Fall reeller Bahnen,
$\sign\varepsilon=-\sign a$.
Man erh"alt dann
\bea
\beitrag\hoch{1}_{\rm lokal}&=&n_0\sqrt{\frac{2\pi J}{27}
\left|\frac {\varepsilon}{a\sigma}\right|}
\exp\left[iJS_0-i\frac \pi 2\left(\hat\mu+\frac 12 \sign \sigma\right)\right]
\nn
&&\times
\left[
{\bf J}_{-1/3}\left( J\left|
\frac {2\varepsilon}3 \sqrt{-\frac
{\varepsilon}{3a}}
\right|\right)
+
{\bf J}_{-1/3}\left( J\left|
\frac {2\varepsilon}3 \sqrt{-\frac
{\varepsilon}{3a}}
\right|\right)
\right]
\;.
\eea
Wir
dr"ucken die Koeffizienten der Normalform (\ref{eq:nformm1})
durch die Wirkungsdifferenz (\ref{eq:sm1})
\beq
\Delta S\equiv \frac {S_+-S_-}2=
\frac {2\varepsilon}3 \sqrt{-\frac
{\varepsilon}{3a}}\;,
\eeq
die mittlere Wirkung 
\beq
\bar S\equiv
\frac {S_++S_-}2=S_0
\eeq
und die mittlere semiklassische Amplitude (\ref{eq:scamp}, \ref{eq:mm1})
\beq
\bar A\equiv \frac {A_++A_-}2=
n_0|12\sigma^2 a\varepsilon|^{-1/4}
\eeq
aus und erhalten die lokale N"aherung
\beq\label{eq:lokm1}
\beitrag\hoch{1}_{\rm lokal}=
\left|\frac{2\pi J\Delta S}{3}\right|^{1/2}
 \bar A \, \exp \left[ iJ \bar S
- i\frac{\pi}{2} \bar{\nu} \right]
\left[ {\bf J}_{-1/3} \left(J|\Delta S|\right)
+      {\bf J}_{ 1/3} \left(J|\Delta S|\right) \right]\;.
\eeq
Hier ist 
\beq
\bar \nu\equiv\frac{\nu_++\nu_-}2=\hat\mu+\frac 12 \sign\sigma
\eeq
der mittlere Maslovindex (\ref{eq:num1}).

F"ur gro"ses Argument verhalten sich die Besselfunktionen wie
\beq\label{eq:jasym}
{\bf J}_\nu(x)= \sqrt\frac{2}{\pi x}\cos\left(x-\frac{\nu\pi}2-\frac\pi 4\right)
+\order(x^{-3/2})\;.
\eeq
Bei festen Werten der Koeffizienten in der Normalform
zerf"allt daher der Ausdruck im semiklassischen Limes in zwei Beitr"age,
\beq
\beitrag\hoch{1}_{\rm lokal} \sim \bar A \exp\left[iJS_+-i\frac\pi 2\nu_+\right]
+ \bar A \exp\left[iJS_--i\frac\pi 2\nu_-\right]
\;.
\eeq
Dies entspricht den Beitr"agen (\ref{eq:isolbeitrag})
zweier isolierter periodischer Bahnen.
Die semiklassischen Amplituden sind jedoch in "Ubereinstimmung mit
der Beziehung (\ref{eq:stabbez}) gleich gro"s. Daher kann man
(\ref{eq:lokm1})
nur in der N"ahe der Bifurkation benutzen, also f"ur kleine Werte
von $\varepsilon$.

Um eine gleichf"ormige N"aherung zu erhalten, die f"ur beliebiges
$\varepsilon$ g"ultig ist,
verwenden wir die erweiterte Normalform (\ref{eq:erwm1}). Wir
betrachten
nur den Einflu"s des zus"atzlichen Terms $-bq'^4$ auf die
Eigenschaften der beiden bifurkierenden Bahnen in der n"achsth"oheren
Ordnung in $\varepsilon$ und ber"ucksichtigen
nicht die mit ihm verbundene
zus"atzliche Fixpunktl"osung (dies geschieht jedoch in
den Abschnitten
\ref{sec:m11} und \ref{sec:m11sc}).
Nach dem Einsetzen der erweiterten Normalform in
(\ref{eq:print})
kann man durch die
Variablentransformation
\bea \label{m1i}
q' &=& \frac{\varepsilon b}{9a^2} + Q' - Q'^2 \frac{b}{3a}\;, \nn
p &=& \frac P{1-\frac 23 \frac ba Q'}
\eea
die Phase des Integranden vereinfachen,
\begin{equation} \label{m1j}
\hat{S}(q',p,E) - q' p = \bar{S} - \varepsilon Q' - a Q'^3 -
\frac{\sigma}{2}P^2\left(1-\frac 23 \frac ba Q\right)^{-2}
+ \order(|\varepsilon|^{5/2}) \;.
\end{equation}
Bez"uglich $Q'$
hat man die urspr"ungliche Normalform mit der Ersetzung von $S_0$ durch
die mittlere Wirkung $\bar S=S_0-\frac{b\varepsilon^2}{9a^2}$ aus 
(\ref{m1c}) zur"uckerlangt.
Die Jacobische Determinante
der Transformation ist eins. Die Transformation ist also
fl"achenerhaltend. Sie ist aber
nur f"ur $|Q'|<\frac 3 2 \left|\frac a b\right|$,
also (im Einklang mit unserer Zielsetzung) an den bifurkierenden Bahnen,
nicht aber
am zus"atzlichen Fixpunkt g"ultig. Als Konsequenz
verbleiben nach der Transformation nur noch zwei Fixpunkte.
F"uhrt man die Gau"ssche Integration aus, so erkennt man, da"s das
Integral seinen Wert beh"alt, wenn wir mit der urspr"unglichen Normalform
\begin{equation} \label{eq:m1nf2}
\hat{S}(q',p,E) - q' p = \bar{S} - \varepsilon q' - a q'^3 -
\frac{\sigma}{2}p^2
+ \order(|\varepsilon|^{5/2})
\end{equation}
f"ur die Erzeugende mit $\bar S$ anstelle von $S_0$
arbeiten
und f"ur den Vorfaktor die Normalform
\beq
A(q',p)=
1-\frac 2 3 \frac b a q'
\eeq
verwenden. Zu diesem einfachen Ergebnis kann man etwas
direkter gelangen, indem man nur die Variable $q'$, nicht aber $p$
transformiert und
dann im Integral
die nun von eins verschiedene Jacobische Determinante ber"ucksichtigt.

Es verbleiben zwei Integrale. Der konstante Term in $A(q',p)$ liefert
gerade die lokale N"aherung. Hinzu kommt eine Korrektur, f"ur die wir
ein Integral vom Typ
\beq\label{eq:intj23}
\int_{-\infty}^\infty
q' \exp\left[-i\left(\varepsilon q'+aq'^3\right)\right]\,dq'
\eeq
zu l"osen haben. Es entspricht der Ableitung
von (\ref{eq:intj13}) nach $-i\varepsilon$ und 
f"uhrt auf Besselfunktionen der Ordnung $\pm 2/3$. 
Als neuer Koeffizient taucht im Endresultat $b$ auf. Er l"a"st sich
aus der Differenz der semiklassischen Amplituden
\beq
\Delta A\equiv\frac{A_+-A_-}2=
-\frac 2 3 \frac b a \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}}\bar A
\eeq
bestimmen.
Das Endresultat lautet
\bea\label{eq:m1unif}
\beitrag\hoch{1}_{\rm gleichf}
&=&
\left|\frac{2\pi J\Delta S}{3}\right|^{1/2}
\exp \left[ iJ\bar S - i\frac{\pi}{2} \bar{\nu} \right]
\bigg\{ \bar A \,
\left[ {\bf J}_{-1/3} \left(J|\Delta S|\right)
+      {\bf J}_{ 1/3} \left(J|\Delta S|\right) \right]
 \nn 
 && 
\qquad- i\,\mbox{sign}\,(\Delta S) \, \Delta A \,
\left[ {\bf J}_{-2/3} \left(J|\Delta S|\right)
-      {\bf J}_{ 2/3} \left(J|\Delta S|\right) \right]
\bigg\} \;.
\eea
Das asymptotische Verhalten der Besselfunktionen (\ref{eq:jasym}) 
ergibt, da"s der Ausdruck
f"ur $J\to\infty$
und $\varepsilon\neq 0$ in die beiden Beitr"age
\beq
\beitrag\hoch{1}_{\rm gleichf} \sim A_+ \exp\left[iJS_+-i\frac\pi 2\nu_+\right]
+ A_- \exp\left[iJS_--i\frac\pi 2\nu_-\right]
\eeq
der isoliert betrachteten Bahnen zerf"allt. Er erf"ullt damit
wie erw"unscht die
Kriterien einer gleichf"ormigen N"aherung
und ist
auch in gr"o"serer Entfernung zur Bifurkation g"ultig.

Der Beitrag (\ref{eq:m1unif}) hat auf der Seite der
Bifurkation seine G"ultigkeit, auf der beide Bahnen reell sind.
Auf der anderen Seite gibt es zwei Geisterl"osungen mit komplexen
Koordinaten. Auch die Wirkungen der beiden Bahnen sind komplex.
Wir bezeichnen
den Orbit mit positivem Imagin"arteil der Wirkung mit $+$, den anderen
mit $-$. Eine nach der Methode des st"arksten Abklingens gew"ahlte 
Integrationskontur f"uhrt nur "uber den Sattel von $+$. Dies ist sinnvoll,
da sich der Beitrag eines isolierten Geistes
im Limes $J\to\infty$ wie $\exp[-J \Im S]$ verh"alt, er aber
nicht "uber alle Grenzen wachsen kann. 

Die semiklassischen Amplituden bezeichnen wir in diesem Fall mit
\beq
A_\pm=\left[i(\sign \Im \tr M_\pm) (2-\tr M_\pm)\right]^{-1/2}\;.
\eeq
Der Radikand hat positiven Realteil.
Die Wurzel ist so zu nehmen, da"s $\arg A$ in $(-\pi/4,\pi/4]$ liegt.
In f"uhrender Ordnung in $\varepsilon$
ist $2-\tr M$ rein imagin"ar. Dies
entspricht der Stabilit"atsbeziehung (\ref{eq:stabbez}).
Erst in der n"achsten Ordnung erh"alt man wieder einen reellen Term.
Dementsprechend ist
die Amplitude in der N"ahe der Bifurkation reell und positiv.
Wie die Wirkungen und die Stabilit"atsfaktoren der Geister sind auch
ihre Amplituden zueinander konjugiert komplex.
Damit gilt $\bar A=\Re A$ und $\Delta A= i\Im A$.

Die Integrale (\ref{eq:intj13}, \ref{eq:intj23})
ergeben nun ${\bf K}$--Besselfunktionen der Ordnung $1/3$ und $2/3$.
Der kollektive Beitrag der Geister lautet schlie"slich
\bea\label{eq:m1unif2}
\beitrag\hoch{1}_{\rm gleichf}
&=&
\left|\frac 2\pi J\Delta S\right|^{1/2}
\exp \left[ iJ\bar S - i\frac{\pi}{2} \nu_+
\right]
\nn
&&\times
\bigg\{ \bar A {\bf K}_{1/3} \left(J|\Delta S|\right)
+ \Delta A
{\bf K}_{2/3} \left(J|\Delta S|\right)
\bigg\} \;.
\eea
Hier ist $\nu_+=\hat \mu+\frac 12 \sign \sigma$ halbzahlig,
wobei sich der Morseindex
$\hat\mu$ etwa durch eine reelle Trajektorie bestimmen l"a"st, die
den Anfangsimpuls $\Re p$ und den Endort $\Re q'$ hat,
sofern die Geister beinahe reelle Koordinaten haben. 
F"ur gro"ses Argument ist ${\bf K}(x)\sim \sqrt{\pi/(2x)}\exp[-x]$.
Damit bleibt f"ur $J\Delta S\to\infty$ gem"a"s
\beq
\beitrag\hoch{1}_{\rm gleichf}\sim
A_+\exp\left[iJS_+-i\frac \pi 2 \nu_+\right]
\eeq
nur der exponentiell unterdr"uckte isolierte
Beitrag des Geistes mit $\Im S>0$ "ubrig.

\subsection{Periodenverdopplungen ($m=2$)}

In der lokalen N"aherung setzt man die Normalform (\ref{eq:nformm2})
in das Phasenraumintegral (\ref{eq:print}) ein und zieht $A(q',p$) als 
Konstante vor das Integral. Das Integral faktorisiert erneut in ein
Gau"ssches Integral "uber
$p$ und ein Integral "uber $q'$, welches auf Besselfunktionen f"uhrt. In
diesem Fall sind sie von der Ordnung $\pm 1/4$
(Formeln 3.696.1--4 in \cite{Gradshteyn:1994}).
Ber"ucksichtigt man den Einflu"s von Termen h"oherer Ordnung in einer
erweiterten Normalform der Erzeugenden, so wird man auf die Normalform
\beq
A(q',p)=1-\frac34\frac ba q'^2
\eeq
des Vorfaktors gef"uhrt. Zur lokalen N"aherung kommt dann ein
Korrekturterm hinzu, in dem Besselfunktionen der
Ordnung $\pm 3/4$ auftreten.
Der Koeffizient $b$ ist durch die
semiklassischen Amplituden festgelegt,
\beq
A_1=\sqrt 2 A_0\left(1+\frac 3 8 \frac {b\varepsilon} {a^2}\right)\;.
\eeq
Wir verwenden die Abk"urzungen 
\beq\label{eq:abk}
\bar S=\frac{S_0+S_1}2\;,\quad
\Delta S=\frac{S_0-S_1}2\;,\quad
\bar \nu=\frac{\nu_0+\nu_1}2
\eeq
und dr"ucken die Koeffizienten im Endresultat durch diese
Gr"o"sen und $A_{0,1}$ aus.
Damit erhalten wir
\begin{eqnarray} \label{sec5e}
\beitrag\hoch{2}_{\rm gleichf}
&=&
\left|\frac{\pi J \Delta S}{2}\right|^{1/2}
\exp \left[iJ \bar{S}
- i\frac{ \pi}{2} \bar \nu
\right]  \\
&&\times \left\{\left(\frac{A_1}{2}+\frac{A_0}{\sqrt{2}}\right)
\left[\sigma_2 {\bf J}_{1/4}\left(J|\Delta S|\right)
e^{i\sigma_1\pi/8}
+{\bf J}_{-1/4}\left(J|\Delta S|\right)
e^{-i\sigma_1\pi/8}
\right]\right.
\nonumber\\
&& \left.
+\left(\frac{A_1}{2}-\frac{A_0}{\sqrt 2}\right)\left[
{\bf J}_{3/4}\left(J|\Delta S|\right)
e^{i\sigma_1 3\pi/8}
 +\sigma_2{\bf J}_{-3/4}\left(J|\Delta S|\right)
 e^{-i\sigma_1 3\pi/8}
 \right]
 \right\} \nonumber
 \;.
 \end{eqnarray}
Hier ist $\sigma_1=\mbox{sign}\,(\Delta S)$. Weiter
gilt $\sigma_2=1$ auf der
Seite der Bifurkation, auf der der Satellit
reelle Koordinaten hat; auf der anderen Seite ist $\sigma_2=-1$.

Beschr"ankt man sich auf die Terme mit
Besselfunktionen der Ordnung $\pm 1/4$, so erh"alt man
die lokale
N"aherung
\begin{eqnarray} \label{eq:m2lok}
\beitrag\hoch{2}_{\rm lokal}
&=&
\left|\frac{\pi J \Delta S}{2}\right|^{1/2}
\exp \left[iJ \bar{S}
- i\frac{ \pi}{2} \bar \nu
\right]  \\
&&\times \left(\frac{A_1}{2}+\frac{A_0}{\sqrt{2}}\right)
\left[\sigma_2 {\bf J}_{1/4}\left(J|\Delta S|\right)
e^{i\sigma_1\pi/8}
+{\bf J}_{-1/4}\left(J|\Delta S|\right)
e^{-i\sigma_1\pi/8}
\right] 
\nonumber
\;.
\end{eqnarray}
Ist der Satellit reell, so hat sie
das asymptotische Verhalten
\beq
\label{eq:lokalm2}
\beitrag\hoch{2}_{\rm lokal}\sim
\left(\frac{A_0}{2}+\frac{A_1}{2\sqrt2}\right)
\exp\left[iJ S_0-i\frac\pi 2\nu_0\right]
+
\left(\frac{A_0}{\sqrt 2}+\frac{A_1}{2}\right)
\exp\left[iJ S_1-i\frac\pi 2\nu_1\right]
\eeq
f"ur $J\to\infty$.
Die semiklassischen Amplituden der dann isoliert
erscheinenden Bahnen sind also miteinander verkn"upft: Der Beitrag eines
reellen Satelliten ist um $\sqrt 2$ gr"o"ser als der des zentralen Orbits.
Dies ist eine Konsequenz der Stabilit"atsbeziehung (\ref{eq:stabbez}).
Die gleichf"ormige N"aherung verh"alt sich hingegen bei einem reellen
Satelliten wie
\beq\label{eq:asym2r}
\beitrag\hoch{2}_{\rm gleichf}\sim
A_0\exp\left[iJS_0-i\frac\pi 2 \nu_0\right]
+
A_1\exp\left[iJS_1-i\frac\pi 2 \nu_1\right]\;.
\eeq
Sie f"uhrt demnach auf v"ollig unabh"angige Beitr"age der beiden Bahnen.

Es zeigt sich ferner in beiden N"aherungen,
da"s ein Geistersatellit
im betrachteten Grenzfall
g"anzlich irrelevant ist.
Asymptotisch tritt n"amlich auf der anderen Seite der Bifurkation
nur der erste Term in
(\ref{eq:lokalm2}) und (\ref{eq:asym2r}) auf; so hat man etwa
\beq\label{eq:asym2g}
\beitrag\hoch{2}_{\rm gleichf}\sim
A_0\exp\left[iJS_0-i\frac\pi 2 \nu_0\right]\;.
\eeq
Ein anderes Verhalten ist nicht zu erwarten,
da der Geist aus einer Periodenverdopplung
eine reelle Wirkung besitzt und sein isolierter
Beitrag nicht unterdr"uckt werden w"urde. Der Satellit erf"ahrt also an der
Bifurkation zugleich seinen Stokes"ubergang.

\subsection{Periodenverdreifachungen ($m=3$)}

Zur Herleitung der
Normalform der Amplitude benutzt man am besten kartesische Koordinaten
$q'$, $p$ und erh"alt
\beq
A(q',p)=1+\frac b2 (q'^2+p^2)
\eeq
mit
\beq
b=
\frac{27}{4}\frac{a^2}{|\varepsilon|}\left(\frac{A_1}{\sqrt 3}-A_0\right)\;.
\eeq
Nach der Variablentransformation
$q'=\sqrt{2I}\sin\varphi'$, 
$p=\sqrt{2I}\cos\varphi'$ erh"alt man
\beq
\beitrag\hoch{3}_{\rm gleichf}=
\int\frac{dI\,d\varphi'}{2\pi/J}(1+bI)\exp\left[
-iJ\left[\varepsilon I+aI^{3/2}\cos(3\varphi')\right]
-i\frac\pi 2 \hat \mu\right]
\;.
\eeq
Hier
ergibt die Integration "uber $\varphi'$ ein Besselfunktion ${\bf J}_0$.
Auch das verbleibende Integral
\beq
\beitrag\hoch{3}_{\rm gleichf}=J
\int_0^\infty dI\,(1+bI){\bf J}_0\left(JaI^{3/2}\right) \exp\left[
-iJ\varepsilon I
-i\frac\pi 2 \hat \mu\right]
\eeq
l"a"st sich auswerten und ergibt erneut Besselfunktionen. Der
konstante Term in $A(I,\varphi')$ f"uhrt auf Besselfunktionen
der Ordnung $\pm 1/6$. Der ver"anderliche Term liefert einen Beitrag in
der Form einer Ableitung des 
ersten Terms nach $\varepsilon$, wodurch Besselfunktionen der Ordnung $\pm
5/6$ hinzukommen.
Das Endresultat lautet mit den Abk"urzungen analog zu
(\ref{eq:abk}) und $\sigma=\mbox{sign}\,(\Delta S)$
\begin{eqnarray} \label{sec5f}
\beitrag\hoch{3}_{\rm gleichf}
 &=&
\sqrt{2 \pi J|\Delta S|} \,
\exp \left[ iJ \bar{S}
- i\frac{\pi}{2} \nu_0 \right] \, 
\nonumber \\ &&
\times \left\{
\left( \frac{A_0}{2} + \frac{A_1}{2 \sqrt{3}} \right)
\left[ {\bf J}_{-1/6}
\left( J|\Delta S|\right)
+ i \sigma {\bf J}_{1/6}
\left( J|\Delta S|\right)
\right] \right.
\nonumber \\ &&
\left. -
\left( \frac{A_0}{2} - \frac{A_1}{2 \sqrt{3}} \right)
\left[ {\bf J}_{-5/6}
\left( J|\Delta S|\right)
+ i \sigma {\bf J}_{5/6}
\left( J|\Delta S|\right)
\right] \right\}
\;.
\end{eqnarray}
Es zerf"allt erneut f"ur $J\to\infty$ in die gew"unschte Summe dreier
Beitr"age (\ref{eq:isolbeitrag}).


\subsection{Periodenvervierfachungen ($m=4$)}

Die Periodenvervierfachung ist die einzige Bifurkation mit Kodimension
eins, f"ur die sich die gleichf"ormige und die lokale
N"aherung des kollektiven Beitrags der bifurkierenden Bahnen
nicht in geschlossener Form angeben l"a"st.
Die auftretenden 
Integrale lassen sich nur numerisch l"osen, indem man etwa auf eine
der
unten angegebenen Reihendarstellungen zur"uckgreift.

Die Normalform der Erzeugenden ist in (\ref{eq:nformm4}) angegeben.
Die Koeffizienten $\varepsilon$, $a$, $b$ und $S_0$ sind durch die Wirkungen
der drei Orbits und den Stabilit"atsfaktor der zentralen Bahn festgelegt.
Nach
einer seitenf"ullenden
Rechnung, in der man zun"achst aus den Termen h"oherer Ordnung
in der Normalform der Hamiltonfunktion die erweiterte 
Form der Erzeugenden bestimmt und
dann die zus"atzlichen Terme in der Umgebung der bifurkierenden Bahnen
wieder wegtransformiert, 
erh"alt die Amplitude 
die einfache Gestalt
\beq
A(q',p)=1+\frac c2  (q'^2+p^2) + \frac d 4 (q'^2+p^2)^2\;.
\eeq
Mit der Ersetzung
$q'=\sqrt{2I}\sin\varphi'$, 
$p=\sqrt{2I}\cos\varphi'$
lautet der kollektive Beitrag also
\beq\label{eq:m4gleichf}
\beitrag\hoch{4}_{\rm gleichf}=J
\int_0^\infty dI\,(1+cI+dI^2){\bf J}_0\left(J|b|I^2\right) \exp\left[
iJ(S_0-\varepsilon I-aI^2)-i\frac\pi 2 \hat \mu\right]\;.
\eeq
Im
Grenzfall gro"ser skalierter Wirkungsdifferenzen
$J\Delta S\to\infty$ f"uhrt er
auf eine Summe dreier isolierter Beitr"age
(\ref{eq:isolbeitrag}). Die semiklassischen Amplituden der Satelliten
sind 
\beq\label{eq:m4satamp}
A_\pm=(1+cI_\pm+dI_\pm^2)\left|8b\frac{\varepsilon^2}{a\pm b}\right|^{-1/2}
\eeq
mit $I_\pm$ aus (\ref{eq:m4koor}). Setzt man dies mit den
Ausdr"ucken (\ref{eq:scamp}) gleich, kann man
$c$ und $d$ durch die L"osung des daraus folgenden
linearen Gleichungssystems gewinnen und hat damit alle Koeffizienten
durch die kanonisch invarianten Gr"o"sen der periodischen Bahnen
festgelegt. Dies gelingt auch f"ur 
komplexe Satelliten, die im Falle der Periodenvervierfachung
reelle Wirkungen und Stabilit"atsfaktoren
haben.

Das Integral (\ref{eq:m4gleichf}) l"a"st sich nur in Sonderf"allen
in geschlossener
Form angeben
\cite{Sieber:Schomerus:1997a}.
Man kann es jedoch numerisch auswerten. Als n"utzlich haben
sich Reihendarstellungen erwiesen.
F"ur $|a|>|b|$ entwickeln wir das Integral vom Typ
\beq
{\frak K}_\nu
\equiv \int_0^\infty x^\nu {\bf J}_0(\beta x^2) \exp[i \gamma x+i\alpha x^2]
\,dx
\eeq
mit $\nu=0,1,2$ in einer zweiparametrigen Taylorreihe um
$\gamma=0$, $\beta/\alpha=b/a=0$. 
Die Entwicklung um $\gamma=0$ f"uhrt auf
\begin{eqnarray}
{\frak K}_\nu=\sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty \frac{(i\gamma)^nx^{n+\nu}}{n!}
{\bf J}_0(\beta x^2)
\exp[i\alpha x^2]
\,dx
\end{eqnarray}
und damit auf Integrale, die sich mittels einer analytischen Fortsetzung
mit $\delta=-i\alpha$ "uber die Formel 6.621.1 in \cite{Gradshteyn:1994}
auswerten lassen,
\begin{eqnarray}
&&\int_0^\infty x^n {\bf J}_0(\beta x^2)\exp[-\delta x^2]
\,dx\,=\,
\frac12\int_0^\infty z^{\frac{n-1} 2} {\bf J}_0(\beta z)\exp[-\delta z]\,dz
\nn
&&\qquad=\,\frac12\Gamma\left(\frac{n+1}2\right)
\delta^{-\frac{n+1}2}F\left(\frac{n+1}4,\frac{n+3}4;1;
-\frac{\beta^2}{\delta^2}\right)
\nn
&&\qquad=\,
\frac12
\delta^{-\frac{n+1}2}\sum_{m=0}^\infty2^{-2m}\left(-\frac{\beta^2}{\delta^2}
\right)^m
\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}2+2m\right)}{(m!)^2}
\;.
\label{eq:m4tay1}
\end{eqnarray}
Es treten hier Gau"ssche hypergeometrische
Funktionen 
\beq
F(\alpha,\beta;\gamma;z)=\sum_{m=0}^\infty\frac{(\alpha)_m(\beta)_m}{
(1)_m(\gamma)_m}z^m
\eeq
mit den Pochhammerpolynomen 
\beq
(x)_m=\prod_{l=0}^{m-1}(x+l)=\frac{\Gamma(m+x)}{\Gamma(x)}
\eeq
auf.
Im letzten Schritt von (\ref{eq:m4tay1}) haben wir die Eigenschaft
\beq
\Gamma(2x)=\frac{2^{2x-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(x)\Gamma\left(\frac 12 +x\right)
\eeq
der Gammafunktion benutzt.
Das Endresultat lautet 
\begin{equation}
{\frak K}_\nu
=
\frac 12 \sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty
\frac{(i\gamma)^n}{(-i\alpha)^{\frac{n+\nu+1}2}}
\left(\frac{\beta}{2\alpha}\right)^{2m}
\frac{\Gamma\left(\frac{n+\nu+1}2+2m\right)}{n!(m!)^2}\;.
\end{equation}
Der Konvergenzradius ist $|\beta/\alpha|=|b/a|<1$.
Man kann oben auch
\beq
F\left(\frac{n+1}4,\frac{n+3}4;1;
\frac{\beta^2}{\alpha^2}\right)
=
\left(1-\frac{\beta^2}{\alpha^2}\right)^{-(n+1)/4}P_{(n-1)/2}
\left(\left(1-\frac{\beta^2}{\alpha^2}\right)^{-1/2}\right)
\eeq
heranziehen, mu"s dann aber Legendrefunktionen $P_\nu(x)$ f"ur $x>1$
auswerten. Viele numerische Standardroutinen kann man jedoch nur f"ur
$|x|<1$ verwenden.

Im Falle $|a|<|b|$ benutzen wir die Formeln 6.699.1 und 6.699.2 in
\cite{Gradshteyn:1994},
{\small
\bea
&&\hspace*{-1cm}
\int_0^\infty x^n {\bf J}_0(x^2)\exp\left[ i\alpha x^2\right]\,dx
\\
&&\hspace*{-1cm}
=2^{(n-3)/2}\frac{\Gamma\left(\frac{1+n}4\right)}{\Gamma\left(\frac{3-n}4\right)}
F\left(\frac{1+n}4,\frac{1+n}4;\frac12;\alpha^2\right)
+i
2^{(n-1)/2}\alpha
\frac{\Gamma\left(\frac{3+n}4\right)}{\Gamma\left(\frac{1-n}4\right)}
F\left(\frac{3+n}4,\frac{3+n}4;\frac32;\alpha^2\right)
\nn
&&\hspace*{-1cm}=
\sqrt{\frac{2^{n-3}}\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{\alpha^{2m}}{m!}
\left[
\sin \left(\frac{1+n}4\pi\right)
\frac{\Gamma^2\left(\frac{1+n}4+m\right)}{\Gamma\left(\frac12+m\right)}
+i\alpha
\cos \left(\frac{1+n}4\pi\right)
\frac{\Gamma^2\left(\frac{3+n}4+m\right)}{\Gamma\left(\frac32+m\right)}
\right]
\nonumber
\;,
\eea
}
und erhalten
\bea
&&\hspace*{-1cm}
\int_0^\infty x^\nu {\bf J}_0(x^2)\exp\left[ i\gamma x+i\alpha x^2\right]\,dx
=
\frac {\sqrt{2^\nu}} {\sqrt{8\pi}}
\sum_{n,m=0}^\infty\frac{(\sqrt 2 i \gamma)^n\alpha^{2m}}{m!n!}
\\
&&\times
\left[
\sin \left({\textstyle\frac{1+n+\nu}4\pi}\right)
\frac{\Gamma^2\left(\frac{1+n+\nu}4+m\right)}{\Gamma\left(\frac12+m\right)}
+i
\alpha
\cos \left({\textstyle\frac{1+n+\nu}4\pi}\right)
\frac{\Gamma^2\left(\frac{3+n+\nu}4+m\right)}{\Gamma\left(\frac32+m\right)}
\right]
\:.
\nonumber
\eea


\subsection{H"ohere Periode--$m$--Bifurkationen}

F"ur Periode--$m$--Bifurkationen mit $m\geq 5$ ist die Wirkungsdifferenz
der beiden Satelliten von gr"o"serer Ordnung in $\varepsilon$ als die
Differenz zum zentralen Orbit. Sie bilden daher eine Art gebrochenen
Torus.
Die
gleichf"ormige N"aherung hat Martin Sieber gefunden \cite{Sieber:1996a}
und lautet
\bea
\beitrag\hoch{m}_{\rm gleichf}&=&
\Theta(\hat\varepsilon)\sqrt{2\pi J\Delta S}
\exp\left[iJ\bar S-i\frac \pi 2 \bar \nu\right]
\left[
\bar A {\bf J}_0(J\Delta S)
+i\Delta A {\bf J}_1(J\Delta S)
\right]
\nn
&&
+i\sign(\hat\varepsilon)\beta
\exp\left[iJ\bar S-i\frac \pi 2 \nu_0\right]
\bar A \sqrt{J|\Delta S|}\int_{\Lambda}^\infty
\frac{dX}{X^2}\exp\left[i\frac{\beta}2X^2\right]
\nn
&&+A_0\exp\left[iJS_0-i\frac\pi 2 \nu_0\right]
\label{eq:m5unif}
\eea
mit $\beta=\sign(S_0-\bar S)$,
$\Lambda=\sqrt{2J\beta(S_0-\bar S)}$, $\bar \nu=\frac 12 (\nu_++\nu_-)$,
\beq
\bar S=\frac{S_++S_-}2\;,\quad
\Delta S=\frac{S_+-S_-}2\;,\quad
\bar A=\frac{A_++A_-}2\;,\quad
\Delta A=\frac{A_+-A_-}2\;.
\eeq
Der Parameter $\hat\varepsilon$ ist positiv, wenn die Satelliten reelle
Koordinaten haben, ansonsten ist er negativ. Ferner sind die Satelliten
$\pm$
so bezeichnet, da"s f"ur reelle Koordinaten $\Delta S>0$ ist.
Der erste Term der gleichf"ormigen N"aherung entspricht dem Beitrag eines
Satellitentorus. Die Heavisidesche Stufenfunktion $\Theta(\hat\varepsilon)$ 
sorgt daf"ur, da"s Geister nicht beitragen.
Der letzte Term ist der  isolierte Beitrag des zentralen Orbits,
dessen Gr"o"sen oben mit dem Index $0$ versehen sind.
Hinzu kommt ein
Interferenzterm, der unter anderem daf"ur sorgt, da"s sich die Divergenz des
letzten Terms f"ur $\varepsilon\to0$ weghebt.

In der Herleitung verwendet man die N"aherung
\cite{Berry:Tabor:1976,Richens:1982,Sieber:1996a}
\bea
&&J\int_0^\infty g(I)e^{iJf(I)}\,dI= -\frac {g(0)}{if'(0)}\exp[iJf(0)]
\\
&&\quad+
g(I^*)\sqrt{\frac{i2\pi J}{f''(I^*)}}
e^{iJf(I^*)}
\left\{
\Theta(I^*)
+\sqrt{\frac{i\beta}{2\pi}} \sign I^*
  \int\limits_{\Lambda}^\infty
\frac{dX}{X^2}\exp\left[i\beta\frac{X^2}2\right]
\right\}
\nonumber
\;,
\label{eq:randunif}
\eea
die Auskunft "uber den Einflu"s einer endlichen Integrationsgrenze
auf den Beitrag eines station"aren Punktes liefert.
Hier ist $I^*$ seine Lage, die
m"oglicherweise auch au"serhalb des Integrationsbereichs sein kann,
$\Lambda=\left|2J[f(0)-f(I^*)]\right|^{1/2}$ und $\beta=\sign f''(I^*)$.
Wir werden diese N"aherung sp"ater noch ben"otigen.

\section{Kollektive Beitr"age zur Kodimension zwei}
Wie schon bei der  Periodenvervierfachung mit Kodimension eins
f"uhren
die Bifurkationen der Kodimension zwei auf lokale und gleichf"ormige 
N"aherungen, die sich nicht mehr in geschlossener Form angeben lassen.
Man bleibt auf der Stufe des Phasen\-raum\-integrals stehen, f"ur welches 
sich aber numerisch handhabbare Reihenentwicklungen finden lassen.
Weiterhin lassen sich aber alle auftretenden Koeffizienten durch die
charakteristischen Eigenschaften der periodischen Bahnen ausdr"ucken,
auch wenn die Bestimmungsgleichungen teilweise nur numerisch
l"osbar sind. Dies wurde etwa in den Abschnitten
\ref{sec:m11} und \ref{sec:m13}
f"ur die Koeffizienten der Normalformen f"ur
zwei benachbarte Tangentenbifurkationen und die Aufeinanderfolge einer
Tangentenbifurkation und einer Periodenverdreifachung besprochen.

Bei den diskutierten
Szenarien ist jeweils eine Periode--$m$--Bifurkation und eine
Tangentenbifurkation der Satelliten im Spiel.
Die
gleichf"ormigen N"aherungen beschreiben nicht nur
die Abfolge dieser lokalen Bifurkationen in enger Nachbarschaft im
Kontrollparameterraum.
Die Normalformen erfassen auch den baldigen Stokes"ubergang
eines an einer Tangentenbifurkation beteiligten Geistes mit $\Im S>0$
mit einem dominanten Orbit $m$--fach k"urzerer L"ange.
Wie bei den lokalen Bifurkationen der Kodimension eins scheint man
das Verh"altnis der Perioden der beteiligten Bahnen zur
Klassifikation verschiedener globaler Bifurkationstypen heranziehen zu
k"onnen.

\subsection{Zwei benachbarte Tangentenbifurkationen}
\label{sec:m11sc}

Die Normalformen (\ref{eq:p11normform}) oder (\ref{eq:p11normform2}) 
beschreiben demnach nicht nur zwei
benachbarte Tangentenbifurkationen, sondern auch den baldigen
Stokes"ubergang eines in einer Tangentenbifurkation involvierten
Geistes mit einem eng benachbarten dominanten Orbit gleicher
Periodenl"ange \cite{Wright:1980}. Mit Gleichung (\ref{eq:wirkm11})
tritt er bei $\tilde q^2=1+2/\sqrt 3$ auf.
Der kollektive Beitrag (\ref{eq:m1unif2})
der Geister hat dann noch nicht
seine asymptotische Form (\ref{eq:isolbeitrag}) angenommen, so da"s sich 
die N"aherung (\ref{eq:isolstokes}) nicht verwenden l"a"st.
Als Amplitude verwenden wir
\beq
A(q',p)=1+cq'+dq'^2\;.
\eeq
Setzt man dies und (\ref{eq:p11normform2})  in (\ref{eq:print}) ein
und f"uhrt ein N"aherung der station"aren Phase durch, so
lassen sich
die zus"atzlichen Koeffizienten $c$ und $d$ mittels eines linearen
Gleichungssystems aus den semiklassischen Amplituden bestimmen.
Weiterhin
erh"alt man bei der exakten Auswertung des Integrals
nach Integration "uber $p$ und
einer Skalierung von $q'$ Integrale der Form
\beq
{\frak K}_\nu=\int_{-\infty}^\infty t^\nu\exp\left[-i(t^4+xt^3+yt^2)\right]\, dt \;.
\eeq
Sie lassen sich durch das Pearceyintegral \cite{Pearcey:1946}
und Ableitungen davon ausdr"ucken.
Man kann diese eindimensionalen Integrale bequem numerisch auswerten,
indem man die Integrationskonturen nach der Methode des st"arksten
Abklingens des Integranden konstruiert.
Die drei S"attel liegen bei
$t=0$, 
\beq
t=-\frac 38x\pm\sqrt{\frac {9}{64}x^2-\frac y4}
\;.
\eeq
Die Konturen "uber
reelle S"attel tragen immer bei,
die Kontur "uber den Geist mit $\Im S<0$ nur diesseits des Stokes"uberganges,
jene des anderen Geistes niemals.
Es lassen sich auch Reihendarstellungen finden, indem man um $x=0$, $y=0$
herum entwickelt und
\beq
\int_{-\infty}^\infty t^n\exp\left[ -it^m\right] \, dt
=\left[1+(-1)^n\right]\frac 1m
\exp\left[-i\pi\frac{1+n}{2m}\right]\Gamma\left(\frac{1+n}m\right)
\eeq
verwendet.

\subsection{Periodenverdopplung und Tangentenbifurkation}
\label{sec:m12sc}

Die semiklassische Amplitude in lokaler N"aherung wurde
auf der Basis der Erzeugenden (\ref{eq:nformm12}) von 
Main und Wunner untersucht \cite{Main:Wunner:1997}.
Die gleichf"ormige N"aherung erh"alt man mit
\beq
A(q',p)=1+cq'^2+dq'^4\;.
\eeq
Die Koeffizienten sind wieder durch die Forderung nach dem richtigen
asymptotischen Verhalten im Limes $J\to\infty$ festgelegt.
Es treten nun Integrale der Form
\beq
{\frak K}_\nu=\int_{-\infty}^\infty x^\nu\exp\left[i(\alpha x^2+\beta x^4+x^6)
\right]\,dx
\eeq
mit $\nu=0,2,4$ auf. F"ur $\nu=0$ ist in \cite{Main:Wunner:1997}
die Reihendarstellung
\beq
{\frak K}_0=\frac 13
\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty
\frac{\alpha^n\beta^m}{n!m!}\Gamma\left(\frac{2n+4m+1}6\right)
\exp\left[i\frac {8n+10m+1}{12}\pi\right]
\eeq
angegeben, aus der die anderen beiden Integrale durch Ableiten nach
$i\alpha$ folgen.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/p21cont.ps}}
\caption[
Integrationskonturen in der komplexen $q$--Ebene f"ur die
Abfolge eines Stokes"uberganges mit dominantem Orbit der L"ange eins
und einer Tangentenbifurkation von Periode--zwei--Orbits
]{Integrationskonturen in der komplexen $q$--Ebene f"ur die
Abfolge eines Stokes"uberganges mit dominantem Orbit der L"ange eins
und einer Tangentenbifurkation von Periode--zwei--Orbits. Der
Beschreibung liegt die Normalform (\protect\ref{eq:nformm12}) zugrunde.
}
\label{abb:p21cont}
\end{figure}


Aber auch durch Konturverschiebung in die komplexe Ebene lassen sich die
Integrale bequem numerisch ausrechnen.
In Abbildung \ref{abb:p21cont} sind Integrationskonturen gezeigt, die sich
ergeben, wenn man den Stokes"ubergang der Bahnen aus der Bifurkation
$[^2/_1]_1$ mittels der Normalform behandelt. Der dominante Orbit ist
hier $[^2/_0]\hoch 2$. Der "Ubergang findet bei $k\approx 3.3$ statt.
Dadurch erh"alt die Kontur zwei weitere Abschnitte, auf denen die beiden
Punkte des relevanten
Geistes liegt. Mit der Bifurkation kommen zwei weitere "Aste hinzu, da
nun alle drei Bahnen reell und relevant sind.

\subsection{Periodenverdreifachung und Tangentenbifurkation}
\label{sec:m13sc}

Den kollektiven Beitrag der beiden Satelliten dreifacher Periodenl"ange
und des zentralen Orbits erh"alt man durch Einsetzen der Erzeugenden
(\ref{eq:nformm13}) und 
\beq
A(\varphi',I)=1+cI+dI^2
\eeq
in (\ref{eq:print}), wobei die Koeffizienten $d$ und $c$ wieder aus
den semiklassischen Amplituden der Satelliten in der
N"aherung
der station"aren Phase folgen. Die gleichf"ormige N"aherung lautet also
\bea
\beitrag\hoch{1+3}_{\rm gleichf}=
\int\!\!\int
\frac{d\varphi^\prime\,dI}{2\pi/J}
(1+cI+dI^2)
\exp\left[\frac i \hbar\left[
-\varepsilon I-aI^{3/2}\cos (3\varphi^\prime)-bI^2\right]-
i \frac
\pi 2 \nu\right]\;.\mbox{\hspace*{-.5cm}}
\nn
\label{eq:unifm13}
\eea
Nach Integration "uber $\varphi'$ wird man in der lokalen N"aherung
auf ein Integral der Form
\beq
{\frak K}(\alpha ,\beta)\equiv
\int_0^\infty {\bf J}_0(I^{3/2}) \exp\left[i(\alpha I+ \beta I^2)\right]\,dI
\eeq
gef"uhrt, f"ur welches sich die Reihendarstellung
\begin{eqnarray}\label{series}
&&{\frak K}(\alpha ,\beta)=
\frac{\sqrt\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty
\frac{(i\alpha )^n}{n!m!}(-i\beta)^{-(n+1)/2}(-4i\beta)^{-3m}
\nn
&&\quad
\times
\left(\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}+3m\right)}{
(2m)!\Gamma\left(\frac1 2 +m\right)}
-\frac{(4\beta/i)^{-3/2}\Gamma\left(\frac n 2 + 2 + 3m\right)}{
(2m+1)!\Gamma\left(\frac 3 2 + m\right)}
\right)
\end{eqnarray}
finden l"a"st.
Darstellungen f"ur 
die beiden
in der gleichf"ormigen N"aherung zus"atzlich ben"otigten Integrale
erh"alt man daraus 
durch Ableiten nach $\alpha$.

Im Grenzfall $\varepsilon/b\to-\infty$ bilden die beiden Satelliten
einen Torus in weiter Entfernung zum zentralen Orbit.
Es ist zur Diskussion dieses Falls n"utzlich,
den Vorfaktor
durch eine partielle Integration in die Form 
\beq
A(\varphi',I)=1+c'I+d'I^{3/2}\cos 3\varphi'
\eeq
zu bringen. Man sieht dann schnell,
da"s dies auf den weiter unten vorgestellten Beitrag
eines einfach gebrochenen
Torus und den isolierten Beitrag des zentralen Orbits f"uhrt.

Befindet man sich dagegen weit auf der anderen Seite der Bifurkation,
so tr"agt nur noch der zentrale Orbit bei, da der Beitrag des
zun"achst relevanten
Geists durch einen Stokes"ubergang ausgeblendet wurde.

\section{Integrable Systeme}

F"ur integrable Systeme ist die Erzeugende durch
(\ref{eq:interz}) gegeben.
Dies stimmt mit der Form 
\beq
U(t)=\exp\left[-iJ H t\right]
\eeq
des Zeitentwicklungsoperators eines autonomen Systems "uberein.
In Winkel- und Wirkungsvariablen ist $\varphi$ nur modulo $2\pi$ bestimmt.
Dies h"angt mit der Quantisierung der Wirkungsvariablen $I$ zusammen, die
nur diskrete Wert $I=m/J$ mit $m\in {\Bbb N}$ annimmt.
 Aus diesem Grund haben
wir bisher bei der Auswertung des Integrals (\ref{eq:print})
in kartesischen
Koordinaten gearbeitet. In der Winkelkoordinate mu"s man eigentlich
das Integral $\int_0^\infty dI f(I)$  durch die  Summe
$\sum_{m=0}^\infty f(I_m)/J$ ersetzen.  Mit der Poissonschen
Summationsregel (\ref{eq:poissonsum}) 
kommt man aber wieder zu einem Integral zur"uck, 
\beq\label{eq:intint}
\tr F^n=\frac J {2\pi}\sum_{m=-\infty}^\infty
\int_0^{2\pi}d\varphi'\int_0^\infty dI\exp\left[-iJ[nTH(I)-2\pi m I]
-i\frac \pi 2 \hat\mu
\right]
\;.
\eeq
Man integriert "uber $\varphi'$ und erh"alt ein Integral "uber $I$ mit
Punkten station"arer Phase bei
\beq
n\omega=m\omega_0
\;.
\eeq
Hier ist wieder $\omega=dH/dI$ und $\omega_0=2\pi/T$.
Ausgew"ahlt werden gerade jene rationalen
Tori,
auf denen periodische Bahnen der stroboskopischen Periode
$n$ leben [vgl. Gl. (\ref{eq:res1})]. Jeder Torus liefert den Beitrag
\cite{Berry:Tabor:1976,Berry:Tabor:1977}
\beq\label{eq:intkont}
\beitrag\rmhoch{rationaler~Torus}=\sqrt{\frac{J\omega_0}{n |\omega'|}}
\exp\left[iJS-i\frac\pi 2 \nu\right]
\eeq
mit $\omega'=d\omega/dI$,
der Wirkung $S=nT(\omega I-H)$ und dem Maslovindex $\nu=\hat\mu
+\frac 12 \sign \omega'$.

Liegt ein Torus sehr nahe an der unteren Integrationsgrenze
des $I$--Integrals in (\ref{eq:intint}), so bricht die N"aherungsmethode
der station"aren Phase zusammen. Stattdessen benutzt man wieder
(\ref{eq:randunif}).
Wir werden diese Situation in Abschnitt \ref{sec:reinetor} beispielshalber
anhand des Falls der reinen Torsion genauer beleuchten.



\section{Beinahe integrable Systeme}
\label{sec:bis}

Den Beitrag eines einfach
gebrochenen rationalen Torus, der durch eine stabile und eine instabile
periodische Bahn der Periode $n$ 
gebildet, haben Tomsovic, Grinberg und Ullmo angegeben
\cite{Tomsovic:Grinberg:1995,Ullmo:Grinberg:1996}.
Man erh"alt ihn aus der Erzeugenden
(\ref{eq:erzt1}) und der Amplitude
\beq\label{eq:amplt1}
A(I,\varphi')=1+c\cos(n\varphi')\;.
\eeq
Der Koeffizient $c$ ist durch das Verh"altnis 
\beq
c=\frac{\Delta A}{\bar A}
\eeq
der Differenz $\Delta A=\frac 12 (A_+-A_-)$
und des Mittelwertes $\bar A=\frac 12 (A_++A_-)$ der semiklassischen
Amplituden der periodischen Bahnen gegeben.
Es sei $S_+>S_-$ und somit $\nu_\pm=\bar\nu\pm 1/2$.
Wir gehen davon aus, da"s der Radius $I$ des Torus
sehr gro"s ist und wir so die untere Grenze der Integration "uber $I$
nach $-\infty$ verschieben k"onnen. F"ur $J\to\infty$ macht man dabei
keinen Fehler. Die Integrale "uber $I$ und $\varphi'$ lassen sich dann
durchf"uhren und ergeben 
\beq
\beitrag\rmhoch{gebr.~Torus}_{\rm gleichf}=
\sqrt{2\pi J\Delta S}
\exp\left[iJ\bar S-i\frac \pi 2 \bar \nu\right]
\left[
\bar A {\bf J}_0(J\Delta S)
+i\Delta A {\bf J}_1(J\Delta S)
\right]\,.
\eeq
Hier haben wir im Vergleich
zum Resultat von Tomsovic, Grinberg und Ullmo 
einen Term vernachl"assigt, der von Ordnung $1/J$ kleiner als die
angegebenen ist. 
N"ahern wir uns mit verschwindender St"orung $\varepsilon\to 0$
dem integrablen System, so wird
$|2-\tr M_\pm|\to |\omega'nT\Delta S|$, $J\Delta S\to 0$, $\Delta A\to 0$,
und man kehrt zum Ausdruck (\ref{eq:intkont}) zur"uck.
Im entgegengesetzten Fall $J\Delta S\to\infty$ zerf"allt der Ausdruck in
die isolierten Beitr"age der beiden Bahnen.

F"ur einen doppelt gebrochenen Torus ben"utzt man die Normalform
(\ref{eq:erzt2}) und die Amplitude
\beq
A(I,\varphi')=1+d\cos(n\varphi'+\varphi_1)
+e\cos(2n\varphi'+\varphi_0)\;.
\eeq
Nachdem man das $I$--Integral ausgef"uhrt hat, ist das
verbleibende $\varphi'$--Integral numerisch mittels der Methode des
st"arksten Abklingens des Integranden zug"anglich,
die auch bei diesem eindimensionalen Integral mit
wenigen S"atteln sehr empfehlenswert ist. In unserem Fall gibt es vier
S"attel, von denen zwei zu Geistern geh"oren k"onnen.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/dtcont.ps}}
\caption[
Integrationskonturen auf dem komplexen $\varphi'$--Torus
f"ur einen doppelt gebrochenen Torus
]{Integrationskonturen auf dem komplexen $\varphi'$--Torus
auf Grundlage der Normalform (\protect\ref{eq:erzt2}) f"ur einen
doppelt gebrochenen Torus. Die rechten und
linken Begrenzungen der einzelnen Teilbilder liegen bei
$\varphi=\pm \pi$ und sind jeweils
miteinander zu identifizieren.
}
\label{abb:dtcont}
\end{figure}

Abbildung \ref{abb:dtcont} zeigt typische Integrationskonturen dies- und
jenseits der Bifurkation des einen Paares. Die Daten, die in die
Konstruktion der Normalform einflie"sen, stammen aus einem Fall,
der in Abschnitt \ref{sec:trf3sc} genauer spezifiziert wird.
Er ist mit der Bifurkation $[^3/_1]_4$ bei $k=3.79\ldots$ verkn"upft.
