\chapter{Regul"ares und irregul"ares Verhalten und periodische Bahnen}
\label{kapitel:klassisch}

Dieses Kapitel vermittelt einen tieferen Einblick in das dynamische
Verhalten unseres Kreiselsystems. 
Wir orientieren uns dabei an den Notwendigkeiten der angestrebten
semiklassischen Bestimmung der Quasienergien und stellen die sp"ater
ben"otigten Kenntnisse bereit.
Es werden aber auch recht allgemeine Aspekte 
getriebener klassischer Systeme mit einem Freiheitsgrad diskutiert
\cite{Ozorio:1988,Meyer:Hall:1992,Lichtenberg:Lieberman:1992,Arnold:1984}.

Unser Interesse gilt insbesondere
dem "Ubergang von regul"arem, integrablem zu irregul"arem, ausgepr"agt
chaotischem Verhalten.
Am deutlichsten spiegelt sich das Systemverhalten in Phasenraumportraits
wider, wie wir sie bereits an Beispielen f"ur den Kreisel diskutiert
haben.
Der angesprochene "Ubergang
l"a"st sich mittels der Betrachtung der periodischen Bahnen
im Phasenraum wesentlich erhellen.  Im 
integrablen Fall treten die periodischen Bahnen in Familien auf.
L"a"st man eine kleine nichtintegrable
St"orung zu, so werden die Familien durch Paare periodischer Bahnen
ersetzt. Ver"andert man die Kopplungskonstanten weiter, 
kommt man schlie"slich in den Bereich ausgepr"agt chaotischen Verhaltens. 
Das Schicksal der periodischen Bahnen auf dem Weg dorthin, einschlie"slich ihres
Entstehens und Vergehens, wird 
vor allem von {\em Bifurkationen} gepr"agt, an denen sie mit anderen
periodischen Bahnen zusammentreffen.

\section{Eigenschaften periodischer Bahnen}

Periodische Bahnen, im folgenden des "ofteren auch Orbits genannt,
sind Trajektorien, auf denen das System
nach einer gewissen (hier: stroboskopischen) Zeit $n$, der Periode der Bahn,
wieder in seinen urspr"unglichen Zustand zur"uckkehrt.
Die primitive Periode $n\hoch 0$ ist die Zeit, nach der das System zum ersten
Mal wieder zu seinem Ausgangspunkt zur"uckgelangt.
Eine periodische
Bahn besteht somit aus $n\hoch 0$ gleichberechtigten
Punkten im Phasenraum.

Die periodischen Bahnen der L"ange $n$ sind die L"osungen der
Fixpunktgleichung
\begin{equation}\label{eq:fixpunktgl}
{\frak F}^{(n)}(q,p)=(q,p)\;.
\end{equation}
Alle Bahnen der L"ange $n$ sind auch Bahnen der L"ange $mn$, $m\in {\Bbb N}$.
Man nennt die Bahn der L"ange $n=mn\hoch0$
auch die $m$--te Wiederkehr der periodischen Bahn.


Periodische Bahnen werden --- abgesehen von ihrer primitiven Periode
--- im wesentlichen durch drei Gr"o"sen charakterisiert,
die alle invariant unter kanonischen Transformationen sind, also von der
speziellen Wahl der Orts- und  Impulskoordinaten nicht
abh"angen. Dies sind die Wirkung $S$, der Stabilit"atsfaktor $\tr M$ und
der Maslovindex $\nu$.
Sie leiten sich aus den erzeugenden Funktionen her.

\subsection{Die erzeugenden Funktionen}
\label{sec:erzfunk}

Man kann die zeitliche Entwicklung des Systems "uber $n$ Perioden
hinweg auch durch eine
kanonische Transformation 
\beq
\label{eq:kantrafo}
(q',p')\equiv {\frak F}^{(n)}(q,p) \to (q,p)
\eeq
beschreiben.
So wird man auf
die sogenannten erzeugenden Funktionen gef"uhrt, von denen es vier
Varianten gibt.
Sie sind alle mit der Formulierung der Bewegungsgleichungen als
Randwertproblem verkn"upft, wobei jeweils ein Anfangsort oder -impuls
und ein Endort oder -impuls vorgegeben sind. 
In dieser Arbeit werden drei Varianten wichtig, die
Funktion $\tilde S(q',q;n)$, die Funktion $\hat S(q',p;n)$ und schlie"slich
die Funktion $\bar S(p',p;n)$. Die vierte Form $\check S(p',q;n)$ spielt
keine Rolle.

Wir betrachten zun"achst die Erzeugende
$\tilde S(q',q;n)$ und damit die L"osungen des Randwertproblems
$q_0=q,\,q_n=q'$ der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
Die Erzeugende beschreibt die L"osungen mittels der Beziehungen
\beq\label{eq:erzeugungqq}
\parfrac{\tilde S}{q'}=p', \quad \parfrac{\tilde S}{q}=-p\;.
\eeq
Der Funktionswert von $\tilde S$ ist durch die Hamiltonsche Wirkungsfunktion
\beq\label{eq:hamiltonint}
\tilde S(q',q;n)=
\int_{t_0}^{t_0+nT} [p\dot q -H(q,p,t)] \,dt
\eeq
gegeben,
wobei entlang einer Trajektorie
integriert wird, die den erw"ahnten Randbedingungen gen"ugt.
Gem"a"s ihres Funktionswerts setzt sich die Erzeugende
$\tilde S(q',q;n)$ additiv aus
$\tilde S(q',q;1)$ zusammen,
\beq\label{eq:szus}
\tilde S(q',q;n)=\tilde S(q_n,q_{n-1};1)+\tilde S(q_{n-1},q_{n-2};1)+\ldots+
\tilde S(q_1,q_0;1)\;.
\eeq
Hier gehen als Hilfsgr"o"sen
die Zwischenkoordinaten $q_i(q,q')$ entlang der Trajektorie ein.
Tats"achlich erf"ullt $\tilde S(q',q;n)$ in dieser Form die Beziehungen
(\ref{eq:erzeugungqq}). Dies zeigt man  unter Verwendung der Identit"at
\beq
p_i=\parfrac{\tilde S(q_i,q_{i-1};1)}{q_i}=-\parfrac{\tilde S(q_{i+1},q_i;1)}{q_i}\;.
\eeq
Sie gilt unter der hier erf"ullten Bedingung,
da"s die $q_i$ auf einer Trajektorie liegen.

Die Funktion
$\hat S(q',p;n)$ l"ost das Randwertproblem
$p_0=p,\,q_n=q'$
vermittels
\beq\label{eq:hatserz}
\parfrac{\hat S}{q'}=p', \quad \parfrac{\hat S}{p}=q\;.
\eeq
Man erh"alt $\hat S$ aus $\tilde S$ durch eine
Legendretransformation,
\beq\label{eq:hats}
\hat S(q',p;n)=\tilde S(q',q(q',p);n)+q(q',p)p\;.
\eeq
Wir werden im folgenden bei der konkreten Anwendung auf den Kreisel
auch mit der Erzeugenden
\beq
\bar S(p',p;n)=
\hat S(q'(p',p),p;n)-q'(p',p)p'
\eeq
arbeiten, die aus $\hat S$ durch eine weitere Legendretransformation
hervorgeht und die L"osungen des Randwertproblems $p_0=p$, $p_n=p'$ beschreibt,
\beq
\parfrac{\bar S}{p'}=-q', \quad \parfrac{\bar S}{p}=q\;.
\eeq
Sie ist, wie sich noch zeigen wird, semiklassisch
aufs Engste mit der Wahl der Eigenzust"ande $|j,m\rangle$ von
${\bf J}^2$ und $J_z$ als Basis
im Hilbertraum verkn"upft (vgl. Abschnitt \ref{sec:scmatrix}).

Auch f"ur den Fall, da"s eine Abbildung aus der Abfolge
mehrerer Teilschritte
besteht, setzt sich der Wert der Erzeugenden additiv aus Beitr"agen
der Teilschritte zusammen. Wir wollen das ausnutzen, indem wir
f"ur unsere Kreiselvariante
nur die einfachere Abbildung $\tilde {\frak F}$
(\ref{eq:tildefkla}--\ref{eq:tildeqkla})
betrachten, f"ur die die Erzeugende
bereits in anderen Arbeiten \cite{Braun:Gerwinski:1996}
hergeleitet wurde.
Man erh"alt
\bea\label{eq:kreiselerz}
\bar S(p',p)=
-\sigma\sign
(\sin \beta)\arccos\frac{\cos \beta-p'p}{\sqrt{1-p^2}\sqrt{1-p'^2}}+
\frac k 2 p'^2-q'p'+qp
\eea
mit
\bea
q&=&\sigma\arccos\frac{p\cos \beta-p'}{\sin \beta\sqrt{1-p^2}}\;,
\\
q'&=&\sigma\arccos\frac{p-p' \cos \beta }{\sin \beta\sqrt{1-p'^2}}+kp'+\alpha\;.
\eea
Es gibt zwei Funktions"aste, die sich durch $\sigma=\sign Y$
unterscheiden und auf diese Weise durch das Vorzeichen
der kartesischen $Y$--Koordinate des skalierten Drehimpulsvektors
vor dem Teilschritt festgelegt sind.

Von geringerem praktischen Nutzen erscheint auf den ersten Blick
die rein ortsabh"angige Wirkung
\bea\label{eq:ortserztop}
\tilde S(q',q) &=&
 -\sigma \sign (\sin\beta) \arccos\Big[\cos (q'-\alpha-kp') \cos q
 \nn
 &&\qquad\qquad
 + \sin (q'-\alpha-kp') \sin q \cos\beta\Big]+\frac k {2}p'^2
\eea
zu sein, da $p'(q',q)$
nur als L"osung einer impliziten Gleichung
bestimmt ist. Will man aber blo"s den Wert von $\tilde S$ f"ur
eine konkrete
Trajektorie wissen, ist also $p'$ bereits bekannt, so kann man ohne
weiteres auf die angegebene Form zur"uckgreifen.

Kommen wir nun wieder zu den periodischen Bahnen zur"uck.
Die Fixpunktgleichungen $q=q'$, $p=p'$ [vgl. Gln. (\ref{eq:fixpunktgl})
und (\ref{eq:kantrafo})] lassen sich in der Form
\beq
p'(q',q)-p(q',q)=\parfrac {\tilde S} {q'} + \parfrac {\tilde S} q =0\;, \qquad  q=q'\;
\eeq
schreiben. 
Die linke Seite der ersten Gleichung wird dabei als Funktion der beiden
nat"urlichen Ver"anderlichen $q$ und $q'$ von ${\tilde S}$ aufgefa"st, die gem"a"s
der zweiten Beziehung gleichgesetzt werden m"ussen.
Man kann $q$ und $q'$ auch direkt in ${\tilde S}$ gleichsetzen und erh"alt dann
\beq
\label{eq:fps}
\frac{d{\tilde S}(q,q;n)}{dq}=0\;.
\eeq
Analog erh"alt man die "aquivalenten Bestimmungsgleichungen
\beq
\parfrac {\bar S} {p'} + \parfrac {\bar S} p =0\;, \qquad  p=p'\;,
\eeq
oder auch 
\beq
\label{eq:fpbars}
\frac{d \bar S(p,p;n)}{dp}=0\;,
\eeq
sowie
\beq\label{eq:fphats}
\parfrac {\hat S} p=q'\;, \qquad \parfrac {\hat S} {q'}=p\;.
\eeq
Die periodischen Bahnen stellen sich somit als Extrema der Funktionen
${\tilde S}(q,q;n)$, $\bar S(p,p;n)$ und $\hat S(q',p;n)-q'p$ dar.

\subsection{Die Wirkung periodischer Bahnen}
\label{sec:wirkung}

Die Wirkung $S$ einer periodischen Bahn
ist durch das Integral (\ref{eq:hamiltonint}) gegeben, wobei entlang ihrer
Trajektorie integriert wird. Dadurch erh"alt man eine kanonisch
invariante Gr"o"se.
Per Definition ist die Wirkung gleich dem
Wert der Erzeugenden ${\tilde S}(q,q;n)$ an der Stelle des
Fixpunkts.
Es gilt dort $\bar S(p, p;n)={\tilde S}(q,q;n)$,
man kann also auch den Wert der Erzeugenden $\bar S(p',p;n)$ benutzen.
Auch aus der Erzeugenden $\hat S$ kann man die Wirkung gewinnen,
\beq\label{eq:wirkhats}
S=\hat S(q,p;n)-qp\;.
\eeq
Wir bezeichnen die Wirkung f"ur die primitive Periodenl"ange mit
$S\hoch0$. Dann ist
die Wirkung f"ur die $m$--te Wiederkehr $S=mS\hoch0$.

Um f"ur den Kreisel die Wirkung einer periodischen Bahn zu bestimmen,
ziehen wir etwa die Erzeugende ${\tilde S}(q',q;n)$ heran.
Dabei steht es uns frei,
geeignetere Koordinaten anstelle von Anfangs- und Endort zu w"ahlen, um ein
kompakteres Resultat als (\ref{eq:ortserztop}) f"ur den Beitrag eines
jeden Teilschritts $\tilde {\frak F}$ zu erhalten. Wir werden
dies hier sogleich herleiten:
Teilen wir das Integrationsintervall im  definierenden Zeitintegral
\beq
S\hoch 0=\int_0^{n\hoch 0 T}(p\dot q-H)\,dt
\eeq
mit der Hamiltonfunktion (\ref{eq:konthamkl}) in die bekannten vier 
Teilst"ucke f"ur jeden Abbildungsschritt ${\frak F}\hoch1$ ein, so setzt sich die Wirkung additiv
aus Beitr"agen von Drehungen um die $y$- und Torsionen um die
$z$--Achse zusammen. Man
bestimmt nun $\dot q$ aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
und setzt eine L"osung dieser Gleichungen in den Integranden ein. 
Eine Drehung um die $y$--Achse liefert dann den Beitrag
\bea
S_y&\equiv&-Y\int_0^\beta\frac{1}{1-(Z\cos t-X\sin t)^2}\,dt
\nonumber
\\ &=& \arctan\left(\frac{X}{YZ}\right)-\arctan\left(\frac{X'}{Y'Z'}\right)
\;,
\label{eq:wirkbeitrot}
\eea
wobei die ungestrichenen Gr"o"sen die Koordinaten vor und die
gestrichenen
jene nach dem Teilschritt bezeichnen. Dabei
ist $Y=Y'$.  Der Drehwinkel taucht in dieser Schreibweise nur implizit
auf. F"ur verschwindenden Drehwinkel verschwindet auch der Beitrag zur
Wirkung, w"ahrend er etwa f"ur eine Drehung um $2\pi$ gerade $-2\pi\sign Y$
betr"agt. 
Damit ist ein Wechsel des Funktionszweiges des Arkustangens
verbunden.
Den richtigen Zweig erh"alt man in jedem Fall,
indem man den Winkel kontinuierlich von Null bis auf seinen Endwert hochdreht.
Torsionen liefern Beitr"age
\beq
\label{eq:wirkbeittor}
S_z\equiv\frac k 2 Z^2\;,
\eeq
wobei 
ein linearer
Drehwinkel um die $z$--Achse nicht in Erscheinung tritt.
Dr"uckt man die Koordinaten in den entsprechenden Anfangs- und Endorten
bzw. -impulsen
aus, so ergeben sich aus diesen Ergebnissen auch die
Erzeugenden  (\ref{eq:ortserztop}) und (\ref{eq:kreiselerz}).

\subsection{Die linearisierte Abbildung}

Die linearisierte Abbildung lautet
\beq
M=\frac{\partial {\frak F}(q,p)}{\partial(q,p)}\;.
\eeq
Wir fassen diese $2\times2$--Matrix als Funktion der Anfangswerte
$p$ und $q$ auf und notieren ganz allgemein
\beq
M
=
\left(\begin{array}{cc}
M_{11}
&
M_{12}
\\
M_{21}
&
M_{22}
\end{array}\right)
\;.
\eeq
Die Fl"achenerhaltung der Abbildung ${\frak F}$ schl"agt sich
in der Eigenschaft $\dt M=1$ nieder.
Die linearisierte Fassung der Abbildung "uber $n$ Perioden
schreibt sich mithilfe der Kettenregel als Matrixprodukt
\beq\label{eq:linzus}
M^{(n)}(q,p)=\frac{\partial {\frak F}\hoch n (q,p)}{\partial(q,p)}
=M\left({\frak F}^{(n-1)}(q,p)\right)\cdot M\left({\frak F}^{(n-2)}(q,p)\right)\cdots
M(q,p)\;.
\eeq
Auch
$M(q,p)=\tilde M\left(\tilde {\frak F}_1(q,p)\right)\cdot \tilde M(q,p)$
selbst setzt sich auf "ahnliche Weise aus den linearisierten
Fassungen
\beq\label{eq:linzus2}
\tilde M
=
\left(\begin{array}{cc}
\displaystyle
\left.\parfrac{\tilde q}{q}\right|_p
&
\displaystyle
\left.\parfrac{\tilde q}{p}\right|_q
\\
{}
\\
\displaystyle
\left.\parfrac{\tilde p}{q}\right|_p
&
\displaystyle
\left.\parfrac{\tilde p}{p}\right|_q
\end{array}\right)
\eeq
der Teilabbildungen $\tilde {\frak F}(\alpha,k;\beta)$
(\ref{eq:tildefkla}--\ref{eq:tildeqkla}) zusammen.
Wir erinnern daran, da"s $\tilde {\frak F}_1$ den ersten Teilschritt bezeichnet.

In der Darstellung des Ergebnisses f"ur den Kreisel
erweist es sich als angebracht,
die kartesischen Koordinaten $\bf X$ vor und $\bf X'$ nach dem
Teilschritt
hinzuzuziehen, um kompakte Formeln zu erhalten.
Sie lauten
\bea
\nonumber
\tilde M_{22}
&=&\cos \beta+\frac{XZ}{1-Z^2}\sin \beta\;,
\\
\tilde M_{21}
&=&
Y\sin \beta\;,
\nonumber
\\
\tilde M_{12}
&=&kM_{22}-\frac{M_{21}}{(1-Z^2)(1-Z'^2)}\;,
\nonumber
\\
\tilde M_{11}
&=&kM_{21}+\frac{\cos \beta-ZZ'}{1-Z'^2}\;.
\label{eq:tildem}
\eea
Es f"allt auf, da"s die Ausdr"ucke explizit unabh"angig von $\alpha$ sind,
dieser Parameter also nur "uber die Trajektorie einflie"st.

Die linearisierte Abbildung l"a"st sich auch durch die
zweiten Ableitungen der erzeugenden Funktionen ausdr"ucken.
Die Beziehungen lauten
\bea\label{eq:mdds}
M_{11}&=&-
\parfrac{^2{\tilde S}}{q^2}
\left(\parfrac{^2{\tilde S}}{q'\partial q}\right)^{-1}
=\left(\parfrac{^2\hat S}{q' \partial p}\right)^{-1}
=-
\parfrac{^2\bar S}{p'^2}
\left(\parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}\right)^{-1}
\\
M_{12}&=&-\left(\parfrac{^2{\tilde S}}{q'\partial q}\right)^{-1}
=-
\parfrac{^2\hat S}{p^2}
\left(\parfrac{^2\hat S}{q'\partial p}\right)^{-1}
=
\parfrac{^2\bar S}{p'^2}
\parfrac{^2\bar S}{p^2}
\left( \parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}\right)^{-1}
- \parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}
\nonumber\\
M_{21}&=& \parfrac{^2{\tilde S}}{q'\partial q}-
\parfrac{^2{\tilde S}}{q'^2}
\parfrac{^2{\tilde S}}{q^2}
\left( \parfrac{^2{\tilde S}}{q'\partial q}\right)^{-1}
=
\parfrac{^2\hat S}{q'^2}
\left(\parfrac{^2\hat S}{q'\partial p}\right)^{-1}
=\left(\parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}\right)^{-1}
\nonumber\\
M_{22}&=&
-
\parfrac{^2{\tilde S}}{q'^2}
\left(\parfrac{^2{\tilde S}}{q'\partial q}\right)^{-1}
\!
= \parfrac{^2\hat S}{q'\partial p}-
\parfrac{^2\hat S}{q'^2}
\parfrac{^2\hat S}{p^2}
\left( \parfrac{^2\hat S}{q'\partial p}\right)^{-1}
\!
=-\parfrac{^2\bar S}{p^2}\left(\parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}\right)^{-1}
\!.
\nonumber
\eea



\subsection{Die Stabilit"at periodischer Bahnen}
\label{sec:stabfactor}

F"ur Systeme mit einem Freiheitsgrad gibt es zwei Typen isolierter
periodischer Bahnen, stabile und instabile. Sie unterscheiden sich durch das
Verhalten der Trajektorien, die im Phasenraum unmittelbar benachbart
sind. Zur Diskussion ziehen wir die linearisierte 
$n$--Schritt--Abbildung
$M^{(n)}$ zurate und f"uhren eine klassische Stabilit"atsanalyse durch.
Am Phasenraumpunkt
einer periodischen Bahn nennt man die linearisierte Abbildung
auch die Stabilit"ats- oder Monodromiematrix.

Da die Abbildung ${\frak F}\hoch n$ fl"achenerhaltend ist und somit
$\dt M\hoch n=1$ gilt, sind die beiden Eigenwerte von $M\hoch n$
zueinander reziprok.
Die S"akulargleichung 
\beq
\dt(M\hoch n-\lambda)=1 -\lambda \tr M\hoch n + \lambda^2 =0
\eeq
ist ein reelles Polynom zweiten Grades mit den beiden Wurzeln
\begin{equation}
\lambda_{\pm}=\frac 12 \tr M\hoch n \pm \sqrt{\frac14 (\tr M\hoch n)^2 -1}\;.
\end{equation}
Das dynamische Verhalten in unmittelbarer Nachbarschaft der periodischen
Bahn wird also durch den {\em Stabilit"atsfaktor}
\beq
\tr M\hoch n=\left.\parfrac{q'}q\right|_p+\left.\parfrac{p'}p\right|_q
\eeq
bestimmt. 
Er ist invariant unter kanonischen Transformationen.
Von Nutzen werden noch die Beziehungen
\bea \label{m1e}
\tr M\hoch n &=&
-\left(\parfrac{^2{\tilde S}}{q'\partial q}\right)^{-1}\left(
\parfrac{^2{\tilde S}}{q'^2}
+
\parfrac{^2{\tilde S}}{q^2}
\right)
\\
\label{m1e2}
&=&
\left(
\frac{\partial^2 \hat{S}}{\partial q' \, \partial p}
\right)^{-1} \, \left( 1 +
\frac{\partial^2 \hat{S}}{\partial q' \, \partial p}
\frac{\partial^2 \hat{S}}{\partial q' \, \partial p} -
\frac{\partial^2 \hat{S}}{\partial q'^2}
\frac{\partial^2 \hat{S}}{\partial p^2}
\right) 
\\
\label{m1e3}
&=&
-\left(\parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}\right)^{-1}\left(
\parfrac{^2\bar S}{p'^2}
+
\parfrac{^2\bar S}{p^2}
\right)
\eea
sein, in denen der Stabilit"atsfaktor durch die erzeugenden Funktionen
ausgedr"uckt wird.
Damit ist die Stabilit"at der periodischen Bahnen mit dem Kr"ummungsverhalten
der Funktionen $\tilde S(q,q;n)$, $\bar S(p,p;n)$ und $\hat S(q',p;n)-q'p$ an den
Extrema (\ref{eq:fps}, \ref{eq:fpbars}, \ref{eq:fphats}) verkn"upft.
Es ergibt sich unter anderem, da"s an den Minima und Maxima
der noch zu besprechenden Normalformen 
f"ur $\hat
S(q',p;n)-q'p$ f"ur den Stabilit"atsfaktor $\tr M\hoch n< 2$
gilt, w"ahrend man an den S"atteln $\tr M\hoch n > 2$ hat.

\subsubsection{Stabile periodische Bahnen}

F"ur $|\tr M\hoch n| < 2$ sind die beiden Eigenwerte komplex und vom Betrag
eins, man kann also
$\lambda_{\pm}=\exp[i\alpha]$ schreiben und erh"alt dann $\tr M\hoch n=2\cos \alpha$.
Auch die Eigenvektoren sind komplex und zueinander konjugiert.
Die klassische Stabilit"atsanalyse ergibt,
da"s die im  Phasenraum benachbarten Trajektorien auf Ellipsen um die
periodische Bahn springen, und zwar mit der stroboskopischen 
Frequenz $\alpha$, die man auch den Stabilit"atswinkel nennt.
Alle Stabilit"atsinseln haben daher einen stabilen
periodischen Orbit in ihrem
Mittelpunkt.
Man spricht bei diesen Orbits auch von elliptischen periodischen Bahnen.

\subsubsection{Instabile periodische Bahnen}

F"ur $|\tr M\hoch n| > 2$ sind die beiden Eigenwerte und die zugeh"origen
Eigenvektoren reell. Es gibt zwei
F"alle: Die Eigenwerte einer gew"ohnlichen instabilen Bahn sind positiv,
$\lambda_\pm=\exp[\pm \gamma]$, und es gilt $\tr M\hoch n = 2 \cosh \gamma$.
Bei einer invers instabilen Bahn sind sie negativ, lassen sich also
in der Form $\lambda_\pm=-\exp[\pm \gamma]$ schreiben, und man hat
$\tr M\hoch n=-2\cosh\gamma$.
Wir w"ahlen den Instabilit"atsexponenten 
$\gamma$ positiv. In enger Umgebung der periodischen Bahn verl"auft die
Dynamik auf Hyperbeln. Man spricht daher auch von hyperbolischen Bahnen.
In Richtung  des Eigenvektors zu $\lambda_-$
laufen Trajektorien auf den Orbit zu. Alle Punkte, die f"ur $t\to
+\infty$ asymptotisch den Orbit erreichen, bilden die sogenannte
stabile Mannigfaltigkeit.
Der genannte Eigenvektor tangiert diese Mannigfaltigkeit am
Orbit.  In 
Richtung des anderen Eigenvektors laufen die Trajektorien vom Orbit weg.
Er tangiert die sogenannte instabile Mannigfaltigkeit, die von jenen
Punkten gebildet wird, von denen ausgehend der Orbit f"ur $t\to
-\infty$ asymptotisch erreicht wird.

Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten k"onnen sich schneiden. Startet
man von einem Schnittpunkt, so erreicht man sowohl f"ur $t\to +\infty$
als auch f"ur $t\to-\infty$ einen Orbit. Ist dies beidemale derselbe,
so spricht man von einem homoklinen Orbit, 
ansonsten von einem heteroklinen.
Jeder weitere Punkt auf der Trajektorie ist ebenfalls ein Schnittpunkt der stabilen
und instabilen Mannigfaltigkeiten.
Das Verst"andnis der sich ergebenden
komplizierten Topologie der Mannigfaltigkeiten
durch Poincar\'e stand am Anbeginn der Erforschung
chaotischer Systeme. 
Dies f"uhrt auf
die bekannten Hufeisenstrukturen sich immer
st"arker windender Mannigfaltigkeiten
und auf irregul"ares, ausgedehntes Verhalten, also zum
Auftreten chaotischer Seen in Phasenraumportraits.
Man begreift den Gegensatz zu den geschachtelten
Ellipsen in der N"ahe stabiler Bahnen, die quasi
eindimensionales dynamisches Verhalten beschreiben.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/manifold.ps}}
\vspace{.6cm}
\caption{Phasenraumportrait (links) sowie stabile und instabile
Mannigfaltigkeiten (rechts) in der Umgebung einer Stabilit"atsinsel}
\label{abb:manifold}
\end{figure}

Abbildung \ref{abb:manifold} zeigt links einen Ausschnitt des
Phasenraumportraits vom Kreisel f"ur $k=3.6$. Dort leben eine instabile und eine
stabile Bahn der L"ange drei und eine stabile Bahn der L"ange eins.
Man erkennt deutlich die Inseln um die stabilen Orbits, mit der des
Periode--eins--Orbits im Zentrum.  Rechts sind die stabilen und
instabilen Mannigfaltigkeiten des instabilen Periode--drei--Satelliten
eingezeichnet. Auf den direkten Verbindungslinien seiner
Phasenraumtrajektorie liegen beide Mannigfaltigkeiten praktisch
aufeinander. Die Teilst"ucke, die den stabilen Satelliten umschlie"sen,
falten sich mit der R"uckkehr zum instabilen Orbit.
Dabei f"ullen sie den im Phasenraumportrait sichtbaren 
chaotischen Bereich allm"ahlich aus.

\subsection{Kaustiken und der Morseindex}
\label{sec:morse}

Zu vorgegebenen Randwerten k"onnen
keine, eine oder mehrere Trajektorien existieren,
die Erzeugenden sind daher im allgemeinen mehrwertige Funktionen.
Die Funk\-tions"aste sto"sen auf den sogenannten Kaustiken zusammen,
die Gebiete mit verschiedener Zahl von L"osungen im Definitionsbereich
der Erzeugenden
voneinander abgrenzen. Dieser Begriff ist in Anlehnung an gewisse
optische Ph"anomene gew"ahlt,
bei denen  die
L"osungen Lichtstrahlen sind und die Kaustiken etwa
auf einem Schirm als  Licht--Schattengrenzen sichtbar gemacht werden
k"onnen
\cite{Poston:Stewart:1978,Berry:Upstill:1980}.

Auf der Kaustik sind mehrere L"osungen entartet, die
abseits davon verschieden voneinander sind oder zum Teil
gar nicht existieren.
Wir wollen dies zun"achst anhand der Erzeugenden $\tilde S(q',q;t)$ diskutieren.
Man kann die Situation auf der Kaustik
in diesem Fall folgenderma"sen beschreiben: Gegeben 
sei eine Trajektorie mit Randwerten $q$ und $q'$ sowie mit dem
Anfangsimpuls $p$. "Andert man $p$ infinitesimal und h"alt $q$ konstant,
so bleibt $q'$ unver"andert --- die infinitesimal benachbarte
Trajektorie erf"ullt ebenfalls die Randbedingungen.
Man stellt sich auch gerne ein B"undel von Trajektorien vor, die sich im
Anfangsimpuls unterscheiden und im Konfigurationsraum zun"achst
auseinanderlaufen,
schlie"slich aber wieder aufeinandertreffen. In diesem Sinne
spricht man auch von einem Brennpunkt der Trajektorie.

Fa"st man die gerade geschilderte infinitesimale
Verr"uckungsvorschrift in eine Formel, so leitet
sich daraus die Bedingung
\beq
\left.\parfrac{q'}{p}\right|_q=M_{12}=
-\left(\parfrac{^2 \tilde S}{q'\partial q}\right)^{-1}=0
\label{eq:vervor}
\eeq
her. Hier ist $M$ die Matrix der linearisierten Abbildung.
Dies bedeutet in einer anderen Lesart,
da"s die nat"urlichen Koordinaten $q$ und $q'$ von $\tilde S$
lokal nicht unabh"angig voneinander sind.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/caust.ps}}
\caption[
Links:
Teilst"uck der aus $q=\protect\const$ zur Zeit Null
hervorgegangenen Linie $p'(q')$ zu einer sp"ateren Zeit $t$.
Rechts: Die zugeh"orige funktionale Form der Erzeugenden
]%
{Links:
Teilst"uck der aus $q=\protect\const$ zur Zeit Null
hervorgegangenen Linie $p'(q')$ zu einer sp"ateren Zeit $t$.
Rechts: Die zugeh"orige funktionale Form der Erzeugenden. Die
Umkehrpunkte der Linie links entsprechen den Falten der Erzeugenden 
rechts.}
\label{abb:caustic}
\end{figure}

Der Impuls $p'$ der infinitesimal benachbarten Trajektorie wird gleichfalls
infinitesimal verschoben sein. Dies f"uhrt auf die
"aquivalente Bedingung
\beq
\left.\parfrac{p'}{q'}\right|_q=\frac{M_{22}}{M_{12}}=
\parfrac{^2 \tilde S}{q'^2}=\infty\;.
\eeq
Nat"urlich wollen wir fordern, da"s Matrixelemente von $M$ beschr"ankt
bleiben, und stellen so die Gleichwertigkeit zu (\ref{eq:vervor}) sicher.
Folgende Interpretation ist "ublich:
F"ur gegebenes $q$ und $t$ beschreibt die Funktion $\tilde S(q',q;t)$ eine st"uckweise
mit $q'$ parametrisierte 
Linie im Phasenraum, $(q',p'=\parfrac{\tilde S}{q'})$.
(Bei mehreren Freiheitsgraden
erh"alt man eine Lagrangesche Mannigfaltigkeit.) Sie geht dynamisch 
durch Propagation aus der Linie $q=\const$ zur Zeit Null hervor.
In Abbildung \ref{abb:caustic} ist links ein typisches Teilst"uck 
der Linie gezeichnet. Sie hat dort die implizite funktionale Form $q'=p'^3-p'$.
Die Punkte, an denen die Steigung dieser Linie divergiert,
bilden dann unter Projektion auf die $q'$--Achse und Variation der
Anfangsbedingung $q$
die Kaustik.
Sie ist also eine eindimensionale Struktur im $q$-$q'$--Raum.

In der N"ahe der Kaustik gilt 
$\frac{\partial \tilde S}{\partial q'}=p' \sim \pm q'^{1/2}$. Dies f"uhrt zu
einer $q'$--Abh"angigkeit der Erzeugenden gem"a"s der
{\em Normalform} $\tilde S(q')\sim \pm q'^{3/2}$
f"ur festes $q$ und $t$.
Die Funktions"aste der Erzeugenden sto"sen,
wie in Abbildung \ref{abb:caustic} rechts dargestellt, 
in einer "`Falte"'
aufeinander. Betrachtet man Kurvenscharen $\tilde S(q')$ mit Scharparameter
$q$ oder $t$, so sto"sen die
Falten in einer anderen Art
von Singularit"at zusammen, den sogenannten "`Spitzen"'.
Allgemein lassen sich die verschiedenen
Singularit"aten anhand ihrer Kodimension klassifizieren,
der Differenz der Dimensionen der betrachteten Mannigfaltigkeit und der
singul"aren Untermannigfaltigkeit. Die Falte hat Kodimension eins, die
Spitze Kodimension zwei. Diese Sprechweisen stammen aus der
Katastrophentheorie \cite{Poston:Stewart:1978,Arnold:1994}.

Das
lokale Verhalten der Erzeugenden in der N"ahe der Singularit"aten 
der Lagrangeschen Mannigfaltigkeit kann auch in den anderen F"allen
auf 
Normalformen zur"uckgef"uhrt werden \cite{Ozorio:1988,Arnold:1984}.
Verwandte Konzepte werden bei der Behandlung von
Bifurkationen von Bedeutung sein.

Man f"uhrt gerne eine topologische Gr"o"se ein, die das "Uberschreiten
von Kaustiken z"ahlt, den {\em Morseindex} $\tilde \mu$.
Dabei h"alt man die Anfangswerte 
$q$ und $p$ einer Trajektorie fest und betrachtet die daraus resultierende
Entwicklung $q(t)$, $p(t)$.
Jedesmal, wenn die Trajektorie
eine Kaustik kreuzt, "andert sich der Index
um $\pm 1$, und zwar entsprechend dem
Vorzeichenwechsel von $M_{12}/M_{22}$: Der Morseindex vergr"o"sert sich
um eins, wenn diese Gr"o"se an der Kaustik positiv wird; im umgekehrten
Fall verkleinert er sich entsprechend. Keinen Beitrag erh"alt man
jedoch, wenn sich das Vorzeichen aufgrund von $M_{22}=0$ ver"andert, da
dort keine Kaustik liegt. Man kann die Orientierung "ubrigens auch aus
einer Abbildung bestimmen, die in einem 
infinitesimalen Schritt "uber die Kaustik f"uhrt. 
Der Morseindex ver"andert sich dann entsprechend
der linearisierten Abbildung $M$ des kleinen
Schritts um $\sign M_{12}$.
Die Vorzeichenkonvention wird bei der Behandlung semiklassischer Matrixelemente
des Floquetoperators in Abschnitt \ref{sec:scmatrix} mit Sinn erf"ullt werden.

Der Morseindex ist keine kanonisch
invariante Gr"o"se. Auch ist die Lage der Kaustiken f"ur jede
Erzeugende verschieden. Die Bedingung ist jeweils, da"s die
gemischten Ableitungen divergieren, 
\beq
\label{eq:hatskaust}
\left(\parfrac{^2\hat S}{q'\partial p}\right)^{-1}=M_{11}=0
\eeq
sowie
\beq
\left(\parfrac{^2\bar S}{p'\partial p}\right)^{-1}=M_{21}=0\;.
\eeq
Der Morseindex $\hat \mu$ zu $\hat S$ z"ahlt jede Kaustik entsprechend
dem Vorzeichenwechsel von $M_{11}/M_{21}$, der Morseindex $\bar \mu$ zu
$\bar S$ entsprechend dem Vorzeichenwechsel von $-M_{21}/M_{11}$.
Betrachtet man wieder einen kleinen Schritt "uber die Kaustik, so ist
als Inkrement $\sign M_{12}$ bzw.\ $-\sign M_{21}$ zu nehmen.

Es verbleibt, den Morseindex zu Beginn der Trajektorie festzulegen.
Eine spezielle Kaustik ist der gesamte Definitionsbereich
f"ur $\tilde S(q',q;0)\equiv 0$. Dies liegt daran, da"s man die identische Abbildung
nicht mittels der Koordinaten $q$ und $q'$ beschreiben kann,
da sie in diesem Fall nicht unabh"angig voneinander sind.
Die Erzeugende
$\hat S(q',p;0)=q'p$ hat dagegen keine Kaustiken. Der Morseindex $\hat
\mu$ verschwindet hier per Definition. Die anderen Indizes ergeben sich
zu
\beq\label{eq:muhatmu}
\tilde\mu=\hat \mu-\frac 12 \sign\left. \parfrac q p\right|_{q'}
=\hat \mu+\frac 12 \sign \frac{M_{12}}{M_{11}}
\eeq
und
\beq\label{eq:barmuhatmu}
\bar \mu=\hat \mu-\frac 12 \sign\left. \parfrac {p'}{q'}\right|_{p}
=\hat \mu-\frac 12 \sign \frac{M_{21}}{M_{11}}\,.
\eeq
Diese Beziehungen sind leicht einzusehen, wenn man sich vor Augen
h"alt, da"s der rechte Term sowohl an den Kaustiken von $\hat S$ als auch
von $\tilde S$ (bzw. $\bar S$) sein Vorzeichen wechselt. Dies geschieht so,
da"s die Beitr"age der Kaustiken zu $\hat \mu$ gerade kompensiert werden:
F"ur $M_{11}=0$ gilt n"amlich wegen $\det M=1$ die Beziehung
$M_{12}=-(M_{21})^{-1}$. Andererseits ist an den Kaustiken von $\tilde S$ oder
$\bar S$ die Beziehung
$M_{11}=(M_{22})^{-1}$ erf"ullt, so da"s dort der Vorzeichenwechsel des letzten
Terms f"ur das richtige Verhalten von $\tilde\mu$ und $\bar \mu$ sorgt.

Mit diesen Regeln ist $\hat \mu$ ganzzahlig; $\tilde\mu$ und $\bar\mu$ sind
halbzahlig.
Durch die Beziehungen (\ref{eq:muhatmu}) und (\ref{eq:barmuhatmu})
erh"alt man die Morseindizes $\tilde\mu$ und
$\bar \mu$ f"ur kleine Zeiten und kann dann die Kaustiken z"ahlen.
Sie gelten aber auch f"ur beliebige Zeiten, so da"s es reicht,
einen Index und die linearisierte Abbildung zu bestimmen; die anderen
Indizes sind dann festgelegt.

Wie noch zu diskutieren sein wird,
ist die linearisierte Abbildung $M$ auch
in der N"ahe von Bifurkationen periodischer Bahnen nahe an der
Identit"at. Man befindet sich also bei Kaustiken von $\tilde S$ und $\bar S$.
Wir werden dann erneut $\hat S$ den Vorzug geben.

Auch der Morseindex zusammengesetzter Abbildungen l"a"st sich --- wie
schon die Wirkung und die linearisierte Abbildung --- aus den Gr"o"sen
der einzelnen Teilschritte bestimmen.
Wir bezeichnen mit dem hochgestellten Symbol ${}^{(i)}$ Morseindex und
linearisierte Abbildung der Teilabbildungen 
eines zusammengesetzten Schritts ${\frak F}=
{\frak F}\hoch2\circ {\frak F}\hoch1$, wobei die Abbildungen ${\frak F}\hoch i$ beliebig
sein k"onnen. 
Der Morseindex $\bar \mu$ des zusammengesetzten Schritts ist dann zum
Beispiel
\beq\label{eq:barmuzus}
\bar \mu=\bar \mu\hoch{2}+\bar \mu\hoch{1}+\frac 12 \sign 
\frac{M_{21}}{M\hoch{2}_{21}M\hoch{1}_{21}}\;.
\eeq
Der dritte Term "andert sein Vorzeichen an den Kaustiken der beiden
Teilschritte und an denen des zusammengesetzten Schritts. Dies geschieht
so, da"s die Beitr"age
zu $\bar\mu\hoch i$ beim "Uberschreiten der
Kaustiken in den Teilschritten
 gerade kompensiert werden.
Betrachten wir dazu eine Kaustik im zweiten
Teilschritt:
In der Regel ist dort
keine Kaustik des zusammengesetzten Schritts;
f"ur $M\hoch2_{21}=0$
gilt 
$M_{21}=M\hoch1_{21} M\hoch2_{11}$. Der dritte Term hat damit tats"achlich
die ben"otigte Form $\frac 12\sign M\hoch2_{11}/M\hoch2_{21}$.
Bei einer Kaustik des zusammengesetzten Schritts gilt weiter
\beq
M_{21}=M\hoch1_{21} M\hoch2_{11}+M\hoch1_{22} M\hoch2_{21}=0\;.
\eeq
Man rechnet nun nach, da"s
der Vorzeichenwechsel von $M_{21}/M_{11}$ unter Ber"ucksichtigung
dieser Beziehung
tats"achlich mit dem des dritten Terms "ubereinstimmt. 
(In die Rechnung flie"st erneut $\dt M\hoch i=1$ ein.)
Auf "ahnliche Weise zeigt man weitere Beziehungen wie etwa die sp"ater noch
ben"otigte Formel
\beq\label{eq:hatmuzus}
\hat \mu = \hat \mu\hoch 1+\tilde\mu\hoch 2-\frac 12 \sign \frac{M_{11}}{M\hoch
1_{11}M\hoch 2_{12}}\;.
\eeq
(Hier gehen die beiden Teilschritte formal nicht gleichberechtigt ein.)

Mit der Beziehung (\ref{eq:barmuzus}) kann man eine handliche
Formel f"ur das Kreiselsystem erhalten.
Betrachten wir zun"achst die Abbildung $\tilde {\frak F}$ und die ihr
zugrundeliegende zeitlich kontinuierliche Dynamik mit der
Hamiltonfunktion (\ref{eq:konthamkl}) f"ur $t\in[0,T_2)$:
Das Matrix\-element $M_{21}(t)=Y\sin(\beta t/T_1)$ verr"at,
da"s w"ahrend der Drehung ($t\in [0,T_1)$) f"ur $|\beta|<\pi$
keine Kaustik "uberschritten
wird; dies gilt auch w"ahrend der folgenden Torsion,
da das Matrixelement in $t\in[T_1,T_2)$ konstant ist.
Es verbleibt die triviale Kaustik bei $t=0$. Der
Morseindex f"ur den Teilschritt lautet daher
\beq
\bar \mu(t\to 0^+)=\bar \mu(t=T_1)=-\frac 12 \sign \tilde M_{21}\;.
\eeq
Nun kann man den Morseindex
f"ur einen Schritt ${\frak F}\hoch 1=\tilde {\frak F}_2\circ
\tilde {\frak F}_1$ berechnen und weiter
den gesamten Morseindex f"ur ${\frak F}\hoch n$ zusammensetzen.
Um das Ergebnis zu formulieren,
bezeichnen wir die Koordinaten entlang der
Trajektorie mit $(q_i,p_i)={\frak F}\hoch i(q_0,p_0)$,
$i=0,1,\ldots,n$. 
F"ur periodische Bahnen gilt $q_0=q_n$, $p_0=p_n$.
Weiter 
f"uhren wir die "`Zwischenkoordinaten"'
$(Q_i,P_i)\equiv\tilde {\frak F}_1(q_i,p_i)$ ein.
Dann erh"alt man 
\bea
2\bar \mu&=&-\sum_{i=0}^{n-1} \left(\sign \tilde M_{21}(q_i,p_i)
+\sign \tilde M_{21}(Q_i,P_i)
-\sign \frac{M_{21}\hoch1(q_i,p_i)}{\tilde M_{21}(Q_i,P_i)\tilde
M_{21}(q_i,p_i)}\right)
\nonumber
\\
&&
+\sum_{i=1}^{n-1}\sign
\frac{M_{21}\hoch{i+1}(q_0,p_0)}{M_{21}\hoch1(q_{i},p_{i})
M_{21}\hoch i(q_0,p_0)}\;.
\eea

\subsection{Der Maslovindex}
\label{sec:maslov}

Der Maslovindex ist eine kanonisch invariante 
Gr"o"se topologischer Natur und steht
im Zusammenhang mit sogenannten Windungszahlen \cite{Ruelle:1985,%
Dressler:Lautenborn:1990,Eckhardt:Wintgen:1991,Robbins:Littlejohn:1987,%
Robbins:1991,Robbins:1992,Eckmann:Seneor:1976,%
Percival:1977,Maslov:Fedoriuk:1981,Berry:Mount:1972,Gutzwiller:1971}. 
Dazu denkt man sich einen Tangentenvektor, der
entlang einer periodischen Bahn mitgef"uhrt wird und nach einem Umlauf
wieder die anf"angliche Orientierung haben soll.
Man erh"alt dadurch eine
Trajektorie im Tangentialraum des Phasenraums.
Wir betrachten nur die 
Projektion senkrecht zur Trajektorie.
Identifiziert man die Tangentialr"aume entlang der Trajektorie durch
eine geeignete Vorschrift des Paralleltransports,
so dreht sich der Vektor im Kreise. Die
Zahl der Umdrehungen ist die Windungszahl. 
Im Falle einer instabilen Bahn ist der Maslovindex das Doppelte der
Windungszahl der
Tangente an die stabile oder instabile Mannigfaltigkeit
\cite{Creagh:Robbins:1990}. (Beide
Windungszahlen sind gleich.) Er w"achst demnach linear mit der $m$--ten
Wiederkehr des Orbits.

Bei stabilen Bahnen ist der Maslovindex mit dem Stabilit"atswinkel $\alpha$
verkn"upft. Der genaue Zusammenhang ist recht
kompliziert, insbesondere auch sein Verhalten
f"ur die $m$--te Wiederkehr. Wir verzichten auf die
Darstellung von Details (eine
semiklassische Interpretation findet sich etwa in
\cite{Gutzwiller:1971}).
Der Maslovindex l"a"st sich n"amlich bequem aus dem Morseindex und der
Stabilit"atsmatrix berechnen.
Wir geben hier eine Vorschrift an, die unabh"angig von
der Natur der Bahn und f"ur beliebige Wiederkehr gilt.
Sie lautet unter Benutzung von (\ref{eq:mdds})
\bea
\nu&=&\tilde\mu+\frac 12 \sign\frac{(2-\tr M)}{M_{12}}
=\tilde\mu-\frac 12 \sign\frac{d^2\tilde S(q,q)}{dq^2}
\nonumber
\\
&=& \hat \mu -\frac 12 \sign G\nn
&=& \bar \mu-\frac 12 \sign\frac{(2-\tr M)}{M_{21}}
=\bar \mu-\frac 12 \sign\frac{d^2\bar S(p,p)}{dp^2}
\label{eq:maslovmorse}
\;.
\eea
Hier ist $G$ die Matrix
\beq\label{eq:g}
G =
\left(\begin{array}{c@{\qquad}c}
\displaystyle
\parfrac{^2\hat S}{q'^2} &
\displaystyle
1-\parfrac{^2\hat S}{q' \partial p} \\[1cm]
\displaystyle
1-\parfrac{^2\hat S}{q' \partial p} &
\displaystyle
\parfrac{^2\hat S}{p^2}
\end{array}
\right)
=\frac 1 {M_{11}}
\left(\begin{array}{c@{\qquad}c}
M_{21} &
M_{11}-1 \\[1cm]
M_{11}-1 &
-M_{12}
\end{array}
\right)\;,
\eeq
und
\bea
\sign G&=&\sign\frac{2-\tr M}{M_{21}}+\sign\frac{M_{21}}{M_{11}}
\nonumber\\
&=&-\sign\frac{2-\tr M}{M_{12}}-\sign\frac{M_{12}}{M_{11}}
\label{eq:signg}
\eea
bezeichnet die Differenz der Zahl ihrer positiven und negativen
Eigenwerte. Diese Beziehungen ergeben sich aus der Kombination der
Gleichungen (\ref{eq:muhatmu}, \ref{eq:barmuhatmu})
mit (\ref{eq:maslovmorse}).

Den Ausdr"ucken sieht man zwar nicht an, da"s sie kanonisch invariant
sind, sie sind jedoch von gro"sem praktischen Nutzen.

F"ur den Kreisel bestimmt man den Maslovindex etwa
aus dem  Morseindex $\bar \mu$.
Dann erh"alt man mit dem Ergebnis und der Notation des vorigen
Abschnitts
\bea
2\nu&=&-\sum_{i=0}^{n-1} \left(\sign \tilde M_{21}(q_i,p_i)
+\sign \tilde M_{21}(Q_i,P_i)
-\sign \frac{M_{21}\hoch1(q_i,p_i)}{\tilde M_{21}(Q_i,P_i)\tilde
M_{21}(q_i,p_i)}\right)
\nonumber
\\
&&
+\sum_{i=1}^{n-1}\sign
\frac{M_{21}\hoch{i+1}(q_0,p_0)}{M_{21}\hoch1(q_{i},p_{i})
M_{21}\hoch i(q_0,p_0)}
-\sign\frac{2-\tr M\hoch n}{M\hoch{n}_{21}(q_0,p_0)}\;.
\label{eq:maslovkreisel}
\eea
Sind alle Matrixelemente $M_{21}$ positiv, so ist
$\nu=-\frac 12[1+\sign(2-\tr M\hoch n)]$. Jedes Element geht in zwei Terme
der Form $\frac 12 \sign x$ ein. "Andert man das Vorzeichen eines beliebigen
Matrixelements, so "andert sich $\nu$ um zwei. Deshalb ist der
Maslovindex von instabilen Bahnen mit $\tr M>2$ eine gerade und der von
stabilen und invers instabilen Bahnen eine ungerade Zahl.

\section{Periodische Bahnen bei Integrabilit"at}
\label{sec:intkla}

Die Zahl der Fixpunktgleichungen in (\ref{eq:fixpunktgl})
ist identisch mit der
Zahl der Unbekannten. Im
allgemeinen sind Orbits also isoliert. Gibt es jedoch
Erhaltungsgr"o"sen, so findet man im allgemeinen Familien von L"osungen:
Nach dem Noetherschen Theorem erzeugen die Erhaltungsgr"o"sen
eine kontinuierliche Klasse
kanonischer Transformationen, die das Systemverhalten nicht ber"uhren;
mittels dieser Transformationen
erh"alt man aus einer L"osung viele weitere.
Dies hat Konsequenzen insbesondere f"ur integrable Systeme, bei denen
es genausoviele unabh"angige Erhaltungsgr"o"sen $E_i(q,p)$ wie
Freiheitsgrade $f$ gibt, wobei ihre Poissonklammern sowohl 
mit der Hamiltonfunktion als auch untereinander alle verschwinden,
$\{H,E_i\}=\{E_i,E_j\}=0$.
Die Phasenraumtrajektorien sind dann auf $f$--dimensionale 
Mannigfaltigkeiten 
eingeschr"ankt, die durch einen geeigneten Satz von $f$
Gleichungen $I_i=\const$ beschrieben werden k"onnen.
Die Mannigfaltigkeiten  haben in der Regel die Topologie eines
Torus  und k"onnen dann mit $2\pi$--periodischen
Winkeln $\varphi_i$ parametrisiert werden.
Auf jedem dieser invarianten 
Tori ist die Dynamik quasiperiodisch, $\varphi_i(t)=\varphi_i(0)+
\omega_i({\bf I}) t$. Die Frequenzen $\omega_i$
h"angen im allgemeinen von den Konstanten $I_i$
ab, sind also von Torus zu Torus verschieden.
Sind die Frequenzen kommensurabel, so ist der gesamte Torus von
periodischen Bahnen ausgef"ullt, die damit eine $f$--dimensionale
Familie bilden. Einen solchen Torus nennt man einen rationalen invarianten
Torus.

Eine spezielle Symmetrie ist die Energieerhaltung autonomer Systeme.
Alle autonomen Systeme mit einem Freiheitsgrad sind daher integrabel,
mit der Hamiltonfunktion $H(q,p)$ als der ben"otigten Konstanten der Bewegung.
Die oben erw"ahnten Eigenschaften wollen wir nun f"ur diesen speziellen
Fall konkretisieren.
So wollen wir die kanonische Transformation
$(q,p)\to (\varphi,I)$ finden,
nach der die Hamiltonfunktion nur vom neuen Impuls in Gestalt der
{\em Wirkungsvariablen} $I$ abh"angt, w"ahrend die sogenannte
{\em Winkelvariable} $\varphi$ zyklisch ist.
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind dann trivial:
Die Wirkung $I$ bleibt zeitlich konstant,
w"ahrend der Winkel mit gleichfalls
konstanter, durch die Wirkung festgelegter Rate
\beq\label{eq:torusfreq}
\dot\varphi=\parfrac{H}{I}\equiv\omega(I)
\eeq
anw"achst.
Ist das zug"angliche Phasenraumvolumen beschr"ankt
(etwa aufgrund von Energieerhaltung in einem Potentialtopf),
so sind es auch die Koordinaten
$p(I,\varphi)$ und $q(I,\varphi)$.
Der Winkel $\varphi$
w"achst mit der Zeit jedoch unbegrenzt an,
so da"s $q$ und $p$ periodisch in $\varphi$ sein m"ussen,
solange man nicht auf einer Separatrix sitzt, d.\,h. solange man
nicht asymptotisch f"ur betragsm"a"sig gro"se Zeiten 
in einen instabilen Fixpunkt hineinl"auft.
Als Periode kann man $2\pi$ w"ahlen.
Wie im allgemeinen $f$--dimensionalen Fall hat
die Linie konstanter
Energie also die Topologie eines (nun eindimensionalen) Torus.
Alle Trajektorien folgen diesen Linien und sind zeitlich periodisch.
Wir bezeichnen die Umlaufdauer mit ${\tumlauf}$. Sie
ist in der Regel von Torus zu Torus verschieden und kann als Funktion
der Energie aufgefa"st werden.

Die Torusfrequenz $\omega(I)$ wird bei der Diskussion der 
periodischen Bahnen und
ihrer Bifurkationen von zentraler Bedeutung sein.

Die Wirkungsvariable $I=W/(2\pi)$ ist durch die verk"urzte Wirkung
\beq\label{eq:verkwirk}
W(E)=\oint p\,dq=S+E{\tumlauf}
\eeq
gegeben,
wobei das Integral entlang der erw"ahnten geschlossenen Linie f"uhrt.
Hier ist $S$
der Wert der "ublichen Hamiltonschen Wirkungsfunktion
(\ref{eq:hamiltonint})
f"ur einen Umlauf der Trajektorie.
Die Beziehung zu $I$
folgt aus $\int_0^{{\tumlauf}} I \dot\varphi \,dt={\tumlauf}\omega I=2\pi I$
und der Invarianz des Fl"acheninhalts $W$ des durch den Torus
eingeschlossenen Gebiets unter kanonischen Transformationen.
Es gilt weiter
\beq
\parfrac H I = \omega = \frac{2\pi}{{\tumlauf}}
\eeq
in "Ubereinstimmung mit der bekannten Beziehung $\parfrac W E={\tumlauf}$.

In einer stroboskopischen Betrachtungsweise mit
Beobachtungsperiode $T$ gelangt man 
im Falle eines integrablen Systems nach $n$ stroboskopischen 
Schritten zum Ausgangspunkt zur"uck, falls die Frequenz (\ref{eq:torusfreq})
des Torus, auf dem man startet,
der Beziehung $nT=m \tumlauf$ oder auch
\beq\label{eq:res1}
\omega n=\omega_0 m
\eeq
gen"ugt. Dabei haben wir die Bezeichnung $\omega_0=2\pi/T$ eingef"uhrt.
Der gesamte invariante Torus 
ist dann durch periodische Bahnen der L"ange $n$ ausgef"ullt.
Setzen wir f"ur die stroboskopische
Periode $T=1$, so mu"s $\omega=2\pi\frac m n$
ein rationales Vielfaches von $2 \pi$ sein.
Man spricht auch in diesem Fall von einem rationalen invarianten Torus.


Aus (\ref{eq:verkwirk}) folgt
\beq
2\pi I=S+H(I){\tumlauf}
\eeq
und daraus die Erzeugende
\beq
\tilde S(\varphi',\varphi;t)=\frac t {{\tumlauf}}S=\omega(I)It-H(I) t
\;.
\eeq
Nach einer Legendretransformation
erh"alt man die Erzeugende $\hat S$ in gemischten Variablen
\beq\label{eq:interz}
\hat S(\varphi',I;nT)=I(\varphi'+2\pi m)-nTH(I)\;.
\eeq
Sie beschreibt tats"achlich die richtige stroboskopische
Zeitentwicklung,
\beq
I'=\parfrac {\hat S} {\varphi'}=I\;,\qquad
\varphi =\parfrac {\hat S} I =\varphi'-nT\omega+2\pi m\;.
\eeq
Hier ist $m$ so festgelegt, da"s $\varphi'$ wie $\varphi$
in $[0,2\pi)$ verbleibt.

Der Stabilit"atsfaktor f"ur einen geschlossenen Umlauf ist $\tr M=2$.
Wir wollen nun noch den Morseindex bestimmen.
Parametrisiert man den Torus in kartesischen Koordinaten
$q=\sqrt{2I}\sin\varphi$,
$p=\sqrt{2I}\cos\varphi$, so ist auf dem Torus $H=\frac \omega 2
(p^2+q^2)$. Der harmonische Oszillator hat Kaustiken von $\hat S$ zu den Zeiten
$\cos(\omega t)=0$, also zwei je Umlauf. Jede tr"agt mit $\sign \omega$
zum Morseindex bei. Die Zahl der Uml"aufe ist gerade durch $|m|$ gegeben,
und so ist $\hat\mu=2m$. (Dies gilt wohl unter der Voraussetzung, da"s
man den Torus wie beim harmonischen Oszillator auf einen Punkt
zusammenziehen kann. Ansonsten sind Beitr"age
geometrischer Phasen denkbar \cite{Berry:1984,Hannay:1985}.)

Im integrablen Fall $k=0$ unserer Kreiselvariante ist die Umlauffrequenz
$\omega$
f"ur jeden Torus gleich dem Drehwinkel $\Omega$ (\ref{eq:p0})
und f"ur die gew"ahlten Parameter $\alpha_i$, $\beta_i$
kein rationales
Vielfaches von $2\pi$. F"ur die beiden Fixpunkte $\pm \tilde {\bf
X}$ ist die Frequenz jedoch nicht definiert, da sich der Torus dort auf
einen Punkt zusammengezogen hat --- diese entarteten Tori sind die
einzigen periodischen Bahnen des integrablen Kreisels.
Mit den Eigenschaften dieser Bahnen besch"aftigen wir uns eingehend
in Abschnitt \ref{sec:reinedrehung}.

\section{Das Auseinanderbrechen von Tori}
\label{sec:tori}

Nichtautonome Systeme sind in der Regel nicht integrabel,
selbst wenn sie nur einen Freiheitsgrad besitzen. 
Ein regul"ares Systemverhalten wie das gerade geschilderte wird
man dann nicht mehr vorfinden.
St"ort man ein integrables System, so verschwinden in der Regel
die Familien
periodischer Bahnen auf den rationalen Tori
und werden f"ur eine zeitlich periodische St"orung 
in der stroboskopischen Abbildung
durch Ketten stabiler und instabiler
isolierter periodischer Bahnen 
abgel"ost. Dies ist die zentrale Aussage des
Poincar{\'e}--Birkhoff--Theorems \cite[Kapitel
3.2b]{Lichtenberg:Lieberman:1992}.
Es beruht auf rein geometrischen "Uberlegungen und stellt kein
Kriterium bereit, wieviele periodische Bahnen dabei im Spiel sind.
Einen Einblick in den genauen Mechanismus erh"alt
man mittels der klassischen
St"orungstheorie, in die wir hier, auf unsere speziellen
Bed"urfnisse zugeschnitten, kurz einf"uhren wollen.
Das Vorgehen ist auch
f"ur das Verst"andnis von Bifurkationen von grundlegender Bedeutung;
insbesondere gilt dies f"ur das Auftreten sogenannter Resonanzen
und das Konzept der Normalform,
aus der die grundlegenden Eigenschaften periodischer Bahnen abgelesen
werden k"onnen.

Wir starten mit einem autonomen System und schalten
eine zeitlich periodische St"orung der St"arke $\varepsilon$ ein.
In Winkel--Wirkungskoordinaten $J$, $\Theta$ liest sich das wie folgt,
\beq
H=H_0(J)+\varepsilon V(J,\Theta,t)
\;.
\eeq
Es gelte dabei $V(t+T)=V(t)$. Wir bezeichnen erneut
$\omega_0=2\pi/T$.
Mittels einer kanonischen Transformation zu neuen Koordinaten $I$,
$\Phi$ soll nun die St"orung --- so weit m"oglich ---
wegtransformiert werden.
Dazu f"uhrt man zun"achst eine Fourierentwicklung in den beiden periodischen 
Gr"o"sen $t$ und $\Theta$ durch,
\beq
V(J,\Theta,t)=\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty
V_{nm}(J)\cos(n\Theta-m\omega_0 t+\Theta_{nm})
\;.
\eeq
F"ur die Erzeugende $G(I,\Theta)$ der Transformation macht man den
Ansatz
\beq
G(I,\Theta)=I\Theta+\varepsilon 
\sum_{m,n=-\infty}^\infty
G_{nm}(I)\sin(n\Theta-m\omega_0 t+\Theta_{nm})\;.
\eeq
Die kanonische Transformation wird durch 
\beq
\parfrac{G}{I}=\Phi\;,\quad
\parfrac{G}{\Theta}=J\;,\quad
H'=H-\parfrac G t
\eeq
beschrieben. L"ost man die beiden ersten Gleichungen in f"uhrender
Ordnung von $\varepsilon$ nach den alten Koordinaten $J$ und $\Theta$
auf und setzt diese in den Ausdruck f"ur die neue Hamiltonfunktion ein,
so erh"alt man bis zur ersten Ordnung in $\varepsilon$
\beq
H'=H_0+\varepsilon
\sum_{m,n=-\infty}^\infty
[(\omega n-\omega_0m)G_{nm}+V_{nm}]\cos( n\Phi-m\omega_0 t+\Theta_{nm})
\;.
\eeq
Hier ist $\omega=\parfrac {H_0}I$ die schon diskutierte Torusfrequenz
(\ref{eq:torusfreq}).
W"ahlt man nun
\beq
G_{nm}=\frac{V_{nm}}{\omega_0 m-\omega n}\;,
\eeq
so verbleiben nur noch Terme der Ordnung $\varepsilon^2$.
Dies geht jedoch nur, solange nicht die {\em Resonanzbedingung}
\beq\label{eq:resonanzbed}
\omega n =\omega_0 m
\;
\eeq
erf"ullt ist. Folglich verbleibt zum Beispiel der Term mit $m=n=0$. Er
h"angt nur von $I$ ab und st"ort nicht die Integrabilit"at; wir k"onnen
ihn daher in $H_0$ vereinnahmt denken.
Aber auch
auf einem rationalen Torus bei $I\equiv I_0$ ist die Resonanzbedingung
wegen (\ref{eq:res1}) erf"ullt.
Dies f"uhrt auf die von Poincar{\'e} und
Birkhoff beschriebene Weise zu seinem Aufbrechen.
Die st"orungstheoretische Behandlung ist nun in der Lage, eine Aussage
"uber die Zahl der dabei beteiligten periodischen Bahnen zu liefern:
Beschr"ankt man sich auf die engste Nachbarschaft eines rationalen Torus,
so h"angt das dort beobachtete Verhalten  qualitativ nur
davon ab, welche resonante Harmonische der St"orung
dominiert. Wir besprechen die beiden einfachsten F"alle.
Beim einfachen Aufbrechen treten zwei Bahnen die Nachfolge des
rationalen Torus an, beim doppelten Aufbrechen sind es vier.

\subsection{Einfach gebrochene Tori}

In vielen F"allen dominiert in der N"ahe des betrachteten Torus
mit Frequenz $\omega=\frac m n \omega_0$ und teilerfremdem $\frac mn$
der resonante St"orterm  $\cos(n\Phi-m\omega_0 t)$.
Terme der Form  $\cos(kn\Phi-km\omega_0 t)$
mit ganzzahligem $k>1$ sind also vernachl"assigbar. (Der
Bedeutung des Terms mit $k=2$ werden wir uns im n"achsten Abschnitt
zuwenden.)
Es gen"ugt in diesem Fall, eine Hamiltonfunktion der Form
\beq
H=H_0(I)+\varepsilon V(I) \cos(n\Phi-m\omega_0 t)
\eeq
zu betrachten.
In einem rotierenden Koordinatensystem
$\psi= \Phi-\frac m n\omega_0t=\Phi-\omega(I_0)t$
lautet sie
\beq
H=H_0(I)-\omega(I_0) I +\varepsilon V(I) \cos (n\psi)\;.
\eeq
Dies ist ein autonomes System; in der N"ahe des Torus
ist das System daher quasi integrabel. Man kann nun die periodischen Bahnen
der stroboskopischen Abbildung bestimmen. Sie liegen bei 
\bea
&&\psi\hoch l =\frac l n\pi\;,\quad l=0,1,\ldots,2n-1 \;,\\
&&\omega(I\hoch l)-\omega(I_0)+\varepsilon V'(I\hoch l)\sigma\hoch l=0\;,
\qquad\mbox{mit}\quad \sigma\hoch l=\cos (l \pi) = (-1)^l\;.
\label{eq:itorus}
\eea
Der Strich an $V$ (und weiter unten
auch an $\omega$) bezeichnet die Ableitung nach $I$.
Durch R"ucktransformation auf das ruhende
System erkennt man, da"s in der stroboskopischen Betrachtungsweise
die jeweils $n$ Punkte zu geradem oder ungeradem $l$ zu einer
Bahn der primitiven
L"ange $n\hoch0=n$ geh"oren: In jedem Abbildungsschritt wird der $l$--te Punkt 
in den  $2m+l$--ten (modulo $2n$) "uberf"uhrt.
Unter Ber"ucksichtigung der Teilerfremdheit von $m$ und $n$
kommt man erst nach $n$ Schritten wieder zum Ausgangspunkt zur"uck.
Die beiden Bahnen kann man mittels des Werts
der Gr"o"se $\sigma\equiv\sigma\hoch l=\pm 1$ voneinander unterscheiden.
Linearisiert man (\ref{eq:itorus}) in
\beq
\Delta\equiv I-I_0\;, 
\eeq
so liegen
die Wirkungsvariablen der periodischen Bahnen bei
$I_\sigma=I_0+\Delta_\sigma$ mit
\beq
\Delta_\sigma=-\sigma \varepsilon\frac{V'(I_0)}{\omega'(I_0)}\;.
\eeq
Linearisiert man die Bewegungsgleichungen um eine periodische Bahn herum
in $\tilde \Delta=I-I_\sigma$ und $\delta\psi=\psi-\psi\hoch l$
und beh"alt dabei nur die f"uhrende Ordnung in $\varepsilon$,
\bea
\delta \dot{\psi}&\approx&\omega'(I_0)\tilde \Delta\;,\nn
\dot {\tilde \Delta}&\approx&\sigma\varepsilon Vn^2 \delta\psi\;,
\eea
so folgt der Stabilit"atsfaktor
\beq\label{eq:trMinte}
\tr M_\sigma\hoch n=2+\sigma\varepsilon\omega'(I_0)V(I_0)n^4T^2\;.
\eeq
Eine weitere Vereinfachung gelingt,
indem man von vornherein um den Torus herum in $\Delta$
entwickelt und nur noch
\beq
H=\frac 12 \omega'(I_0)\Delta^2+\varepsilon V(I_0)\cos (n\psi)
\eeq
betrachtet. Dies ist die {\em Normalform} zur Beschreibung des
einfachen Aufbrechens rationaler Tori und hat die Gestalt der Hamiltonfunktion
eines Pendels. Auch f"ur die Erzeugende $\hat S(\Delta,\psi';nT)$ in
Winkel--Wirkungsvariablen kann man eine Normalform angeben.
In den Ordnungen von $\varepsilon$ und $\Delta$ wollen wir
so weit gehen, da"s sich aus der
Normalform der Stabilit"atsfaktor (\ref{eq:trMinte}) reproduzieren l"a"st.
Dazu l"osen wir die Bewegungsgleichungen
\bea\label{eq:rek1}
\dot\psi(t)&=&\omega'(I_0)\Delta(t)\;,\\
\dot\Delta(t)&=&n\varepsilon V(I_0) \sin [n\psi(t)]
\label{eq:rek2}
\eea
iterativ und beginnen mit 
\beq
\psi(t)=\psi(0)+\omega'(I_0)\Delta (0)t\;.
\eeq
Dies setzen wir in (\ref{eq:rek2}) ein und integrieren auf. Das Ergebnis
$\Delta(t)$ setzen wir in (\ref{eq:rek1}) ein und erhalten ein
verbessertes $\psi(t)$. Diese beiden Iterationsschritte reichen f"ur
unsere Bed"urfnisse aus.
Im Endergebnis kann man nun geschickt in der Anfangsbedingung
$\Delta\equiv\Delta(0)$ entwickeln und erh"alt mit
$\psi\equiv\psi(0)$
\bea
\psi'\equiv\psi(nT)&=&\psi+n \omega' T\Delta +\frac 12\varepsilon V n^3\omega'
T^2\sin \left(n\psi+\frac 12n^2\omega'T\Delta \right)\;,
\label{eq:bewloesung1}
\\
\Delta'\equiv\Delta(nT)&=&
\Delta +\varepsilon V n^2 T\sin\left(n\psi+\frac 12n^2\omega'T\Delta\right)\;.
\label{eq:bewloesung2}
\eea
Im Argument des Sinus haben wir $\Delta$ beibehalten und nicht
weiterentwickelt. Mit diesem  Trick erreicht man, da"s
in der vorliegenden Form exakt $\det
M\hoch n=1$ gilt und man auf dem Weg zur Erzeugenden keine weiteren
N"aherungen mehr ben"otigt. 
Verschiebt man die $\psi$--Koordinate in einer kanonischen
Transformation, 
\bea
\varphi&=&\psi-\frac 12 n\omega' T \Delta\;,
\nonumber\\
\varphi'&=&\psi'-\frac 12 n\omega' T \Delta'\;,
\eea
so kann man
(\ref{eq:bewloesung1}, \ref{eq:bewloesung2})
nach 
\beq
\Delta'(\Delta ,\varphi')=\Delta+\varepsilon V n^2 T \sin(n \varphi')
\eeq
und 
\beq
\varphi(\Delta ,\varphi')=\varphi'-n \omega' T \Delta 
\eeq
aufl"osen. Aus den Bestimmungsgleichungen
\beq
\parfrac {\hat S} \Delta  =\varphi\;,\qquad\parfrac {\hat S} {\varphi'}=\Delta'
\eeq
ergibt sich  die Erzeugende
\beq\label{eq:erzt1}
\hat S(\Delta ,\varphi';n)=S_0+
\varphi'\Delta -nT H(\Delta ,\varphi')=S_0+
\varphi'\Delta -a \Delta ^2-\varepsilon b \cos (n\varphi')\;.
\eeq
Die Koeffizienten
\beq
a=\frac12 \omega'(I_0) nT\;,\qquad b=V(I_0)nT
\eeq
h"angen in einfacher Weise mit denen in der
Hamiltonfunktion zusammen.
In dieser Beschreibungsweise liegen die 
beiden Bahnen erneut bei $\varphi=\frac l n \pi$, haben aber 
identische Wirkungsvariablen $I_\sigma=I_0$.
Ihre Wirkung ist
\beq
S_\sigma=S_0-\sigma \varepsilon b\;.
\eeq
Die Stabilit"atsfaktoren ergeben sich aus (\ref{m1e2}) zu
\beq
\tr M_\sigma\hoch n=2+2\sigma \varepsilon n^2ab\;,
\eeq
in "Ubereinstimmung mit (\ref{eq:trMinte}).
Damit ist die eine Bahn stabil, die andere instabil.
Weiter gilt in der
angegebenen Ordnung eine feste Relation
zwischen den beiden Stabilit"atsfaktoren,
\beq\label{eq:stabbeztb}
\tr M_+\hoch n+\tr M_-\hoch n=4+\order(\varepsilon^2)\;.
\eeq
Auf solche Beziehungen werden wir in der Folge noch einige Male treffen.
Sie sind nicht streng g"ultig, sondern werden mit wachsendem $\varepsilon$
immer st"arker verletzt. Man kann sich von ihnen l"osen, indem man
Terme h"oherer Ordnung in der Hamiltonfunktion bzw.\ der Erzeugenden
beibeh"alt und sich so
gen"ugend freie Koeffizienten f"ur unabh"angige Wirkungen und
Stabilit"atsfaktoren verschafft.
Darauf werden wir in Abschnitt \ref{sec:tanbifkl} am Beispiel der
Tangentenbifurkation n"aher eingehen.


Die Morseindizes der beiden eng benachbarten Trajektorien sind gleich,
$\hat\mu_\sigma\equiv\hat\mu$.
Der Maslovindex bestimmt sich aus den zweiten Ableitungen der Wirkung.
Dies wird durch die Gleichungen (\ref{eq:maslovmorse}) und
(\ref{eq:signg}) beschrieben.
Man erh"alt
\beq
\nu_\sigma=\hat\mu+\frac 12 (\sign a-\sigma \sign \varepsilon b)
\eeq
und die Beziehung
\beq
\nu_\sigma -\nu_{-\sigma}=\sign(S_\sigma-S_{-\sigma})\;.
\eeq

\subsection{Doppelt gebrochene Tori}

Die Situation wird komplizierter, wenn
der St"orterm $\cos(2n\Phi-2m\omega_0 t)$ nicht vernachl"assigt werden kann.
Um das Geschehen zu analysieren, benutzen wir sogleich
die Erzeugende der stroboskopischen Abbildung und
betrachten die Normalform
\beq\label{eq:erzt2}
\hat S(\varphi',\Delta ;n)=S_0+\varphi'\Delta -a\Delta ^2-
\varepsilon[b\cos (n\varphi') + c \cos (2n\varphi'+\varphi_0)]\;.
\eeq
Die periodischen Bahnen gen"ugen den Fixpunktgleichungen
\bea
\Delta &=&\parfrac {\hat S} {\varphi'}=
\Delta +\varepsilon n[b \sin (n\varphi')+2c\sin(2n\varphi'+\varphi_0)] \;,\\
\varphi'&=&\parfrac {\hat S} \Delta  =\varphi' -2a\Delta \;.
\eea
Daraus folgt $\Delta =0$ und 
\beq
b \sin (n\varphi')+2c\sin(2n\varphi'+\varphi_0)=0\;.
\eeq
Es h"angt nun von den Parametern ab, ob $2n$ oder $4n$ L"osungen
existieren. 
Den ersten Fall haben wir bereits im vorigen Abschnitt
abgehandelt. Treten $4n$ L"osungen auf,
so geh"oren sie
zu vier periodischen Bahnen der primitiven L"ange $n\hoch 0=n$.
Wir unterscheiden sie
mit dem Index $i=1,2,3,4$ und
greifen uns f"ur jeden Orbit einen Punkt bei $\varphi_i$ heraus.
Die weiteren Punkte entlang der Trajektorie liegen 
bei $\varphi_i+2\pi\frac l n $ mit $l=1,\ldots n-1$.
Die Wirkungen sind
\beq
S_i=S_0- \varepsilon[b\cos (n\varphi_i) + c \cos (2n\varphi_i+\varphi_0)]\;.
\eeq
Die Bahnen haben  die Stabilit"atsfaktoren
\beq
\tr M_i=2+2a\varepsilon n^2
\left[b\cos (n\varphi_i) + 4c \cos (2n\varphi_i+\varphi_0)\right]\;.
\eeq
Zwei Bahnen sind stabil, die anderen beiden instabil.
Die vier Koeffizienten $\varepsilon b$, $\varepsilon c$,
$\varphi_0$ und $S_0$ lassen sich aus
den vier Wirkungen der Bahnen bestimmen. Die Kenntnis eines
Stabilit"atsfaktors legt den verbleibenden Koeffizienten $a$ in der
Normalform fest, so da"s die anderen Stabilit"atsfaktoren nicht
unabh"angig sind; ihre wechselseitigen Beziehungen
lassen sich allerdings nicht in einer solch
einfachen Form wie in (\ref{eq:stabbeztb}) formulieren.
F"ur den Maslovindex erh"alt man 
\bea
\nonumber
\nu_i&=&\hat \mu+\frac 12 \sign a -\frac 12 \sign \left[\varepsilon b \cos
(n\varphi_i)+4\varepsilon c\cos(2n\varphi_i+\varphi_0)\right]\\
&=&
\left\{
\begin{array}{ll}
\hat \mu & \mbox{instabile Orbits}\\
\hat \mu +\sign a& \mbox{stabile Orbits}
\end{array}
\right.
\;.
\eea

\section{Bifurkationen im gemischten Phasenraum}

Der Zusammenhang zwischen den stabilen periodischen Bahnen und den
Stabilit"atsinseln sowie den instabilen Bahnen 
und den irregul"aren Bereichen im Phasenraum (vgl. Abschnitt
\ref{sec:stabfactor})
l"a"st die Bedeutung der periodischen Bahnen
f"ur die Natur des dynamischen Verhaltens eines Systems erkennen.
In Abbildung \ref{abb:1} gibt es etwa f"ur $k=2.5$
unten links
einen regul"aren Bereich,
der im Vergleich zu den Abbildungen mit kleinerem $k$
neu hinzugekommen ist. Er r"uhrt von einem neuen stabilen
Orbit her, der zusammen mit einem instabilen Partner bei
$k=2.45\ldots$ entstanden ist. Bei $k=5$ ist die Insel bereits wieder
verschwunden.

Eine besondere Rolle f"ur den "Ubergang regul"ar/irregul"ar
spielen alle Ereignisse, in denen periodische Bahnen
neu entstehen, verschwinden, ihre Stabilit"at wechseln
oder sich ihre Konfiguration in anderer Weise qualitativ "andert.
All die genannten Ereignisse sind ausnahmslos mit Bifurkationen verkn"upft.
Mit diesem Wort
kennzeichnen wir die Situationen, in denen in Abh"angigkeit von einem
Kontrollparameter periodische Bahnen im Phasenraum
aufeinandertreffen; in unmittelbarer Nachbarschaft
der Bifurkation liegen die beteiligten Bahnen eng beieinander.

Wir wollen nun der Frage nachgehen, welche Typen von Bifurkationen wir
f"ur unseren Kreisel zu erwarten haben.
Es spielt dabei eine Rolle, da"s er keine diskreten
Symmetrien besitzt und nicht zeitumkehrinvariant ist.
Die typischerweise auftretenden Bifurkationen h"angen auch von der
Zahl der Parameter ab, mit denen man das System steuert.
Die Zahl der Parameter, die man im allgemeinen kontrollieren mu"s, um
einen Bifurkationstyp einzustellen, nennt man seine Kodimension.
Dies entspricht der Sprechweise f"ur Kaustiken aus Abschnitt \ref{sec:morse}.
Da wir nur die Kopplungskonstante $k$
ver"andern, interessieren wir uns
zun"achst einmal f"ur Bifurkationen der Kodimension eins.
F"ur Systeme ohne jede Symmetrie
wurden sie von Meyer und Bruno bestimmt
\cite{Ozorio:1988,Meyer:Hall:1992,Meyer:1970,Bruno:1970,Bruno:1972}.
Bei diskreten Symmetrien und bei Zeitumkehrinvarianz treten die in
\cite{Rimmer:1983,Golubitsky:Stewart:1987,Aguiar:Malta:1987,Aguiar:Malta:1988%
,Ozorio:Aguiar:1990}
beschriebenen zus"atzlichen F"alle auf, auf die wir aber nicht
n"aher eingehen werden. 

\subsection{Normalformen}

Um die verschiedenen Bifurkationstypen
zu identifizieren, untersuchen wir die allgemeine lokale Form
der Hamiltonfunktion des zugrundeliegenden zeitlich
kontinuierlichen Systems in der Umgebung einer periodischen Bahn der primitiven
Periode $n_1$ und die daraus resultierende stroboskopische Zeitentwicklung.
Wir
setzen die Beobachtungsperiode $T=1$.
Als Technik w"ahlen wir wie in Abschnitt \ref{sec:tori} die
St"orungstheorie.
Der f"uhrende Term einer Entwicklung im Abstand zur Bahn
ist durch die
linearisierte Abbildung bestimmt. 
So hat man in der Umgebung
einer instabilen Bahn
mit $\tr M\hoch{n_1}= 2\cosh(\lambda_1)$ 
\beq
\label{eq:h0instab}
H_0=\frac{\lambda_1 }{n_1}p q\;,
\eeq
w"ahrend eine stabiler Orbit mit
$\tr M\hoch {n_1}=2\cos\alpha_1$
durch
\beq
\label{eq:h0stab}
H_0=\frac {\alpha_1} {2n_1} (p^2+q^2)
\eeq
beschrieben wird. Zu diesen autonomen Ausdr"ucken gelangt man, indem man
sich auf die periodische Bahn setzt und nur die effektive Dynamik zu den
Wiederkehrzeiten betrachtet.
Die periodische Bahn erscheint dann als Fixpunkt im Ursprung des
Koordinatensystems.
(Invers instabile Bahnen lassen sich mit
einer transversalen Drehung des Koordinatensystems in jedem Umlauf um
$\pi$ wie gew"ohnliche instabile Bahnen behandeln). 
In erster N"aherung ist das System in der Umgebung der Bahn integrabel.
Entfernt man sich vom Fixpunkt, so kommen zeitlich
periodische Terme h"oherer Ordnungen in $p$ und $q$ hinzu, die man
st"orungstheoretisch behandeln kann. Im Falle einer instabilen
Bahn treten dabei keine Resonanzen auf. Sie ist ja auch nicht von
Tori umgeben, wie wir bereits in der Stabilit"atsanalyse festgestellt
haben. F"ur einen stabilen Fixpunkt sind die Winkel--Wirkungsvariablen
des ungest"orten Systems (\ref{eq:h0stab}) die
{\em kanonischen Polarkoordinaten} $I$, $\Phi$ mit
\beq
q=\sqrt{2I}\sin\Phi\,,\qquad
p=\sqrt{2I}\cos\Phi\,.
\eeq
Der Ausgangspunkt der St"orungstheorie ist eine Fourierreihe
in der Zeit und der Winkelvariablen sowie eine
Taylorentwicklung im Abstand $I^{1/2}$ zum Fixpunkt,
\beq
H=\frac{\alpha_1}{n_1} I+\sum_{k=3}^\infty
\sum_{l=-\infty}^\infty \sum_mV_{klm}I^{k/2}
\cos\left(m\Phi-2\pi \frac l{n_1}t+\Phi_{klm}\right)\;.
\eeq
Die Summe "uber $m$ l"auft von $-k$ in Zweierschritten bis $k$, da nur solche Terme
bei der Zerlegung eines Monoms $p^{k-m}q^m$ der Ordnung $I^{k/2}$ auftreten.
Man geht nun genauso vor wie bei der St"orung eines integrablen Systems.
Die St"arke der St"orung steigt jetzt allerdings
mit wachsender Entfernung zur periodischen Bahn, weshalb man Ordnungen
von $I$ statt Ordnungen eines Parameters $\varepsilon$ betrachtet.
Durch kanonische Transformationen kann man in der lokalen Hamiltonfunktion
betr"achtliche Vereinfachungen vornehmen.
Dabei transformiert man
schrittweise alle winkelabh"angigen
Terme einer gewissen Ordnung $I^{k/2}$ weg. Es verbleiben zun"achst
nur rein $I$--abh"angige Terme $I^{k/2}$ mit geradem $k$.
Ist die Resonanzbedingung
\beq\label{eq:bifbed}
\varepsilon\equiv\alpha_1-2\pi\frac lm=0
\eeq
hinreichend gut erf"ullt,  l"a"st sich also $\alpha_1/2\pi$ gut durch
den Bruch $l/m$ approximieren, 
so
bricht die St"orungstheorie f"ur den Term
\beq
\cos\left(m\Phi-2\pi \frac l {n_1} t+\Phi_{klm}\right)
\eeq
zusammen.
Wie nun zu zeigen ist,
h"angt die Form der verbleibenden Resonanzterme
von den sich in unmittelbarer Nachbarschaft befindlichen
periodischen Bahnen ab. Diese Bahnen
nennt man auch Satelliten. Eine Rolle spielen
dabei nur jene Satelliten, deren
Periode $n_2$ ein nat"urliches
Vielfaches der Periode des zun"achst betrachteten
"`zentralen"' Orbits ist, $n_2=m n_1$ mit $m \in {\Bbb N}$.
Ausgehend vom ungest"orten, integrablen System (\ref{eq:h0stab})
liegen sie auf gebrochenen rationalen Tori
mit stroboskopischer Frequenz $\omega_2=2\pi\frac l{n_2}$.
Abseits einer Bifurkation bleibt das lokale Verhalten nahezu unber"uhrt.
Unter Ver"anderung eines beliebigen Parameters
"andern sich nun die Koeffizienten der lokalen Hamiltonfunktion.
F"ur isolierte Parameterwerte ziehen sich rationale Tori auf den zentralen
zusammen --- es
treten Bifurkationen auf, bei denen Satelliten mit dem zentralen Orbit
zusammenfallen.
Die Torusfrequenz $\omega_1=\frac{\alpha_1}{n_1}$ am zentralen Orbit
mu"s dazu mit $\omega_2$ identisch sein. Die Bifurkation tritt somit
gerade dann auf, wenn die Resonanzbedingung 
(\ref{eq:bifbed}) erf"ullt ist.

F"ur den Stabilit"atsfaktor der zentralen Bahn gilt an der Bifurkation
\begin{equation}
\label{eq:bifbedm}
\tr M^{(n_1)}=2\cos\left(2\pi \frac l m\right)
\end{equation}
und 
\begin{equation}\label{univbifbed}
\tr M^{(n_2)}=2.
\end{equation}
Diese universelle Bedingung f"ur das Auftreten einer Bifurkation 
in der $n_2$--Schritt--Abbildung l"a"st sich folgenderma"sen verstehen:
In der N"ahe einer Bifurkation
gibt es in einem kleinen Bereich des Phasenraums mehrere Punkte, f"ur die die
Abbildung ${\frak F}^{(n_2)}$ beinahe die Identit"at ist.
Wir folgern, da"s die
linearisierte Abbildung in mindestens einer Richtung wie die Identit"at
wirkt. In diese Richtung zeigt mit anderen Worten ein
Eigenvektor mit Eigenwert
eins. Wegen der Fl"achenerhaltung mu"s auch der zweite Eigenwert eins
sein, in "Ubereinstimmung zu
(\ref{univbifbed}).

Wegen der Entartung der Eigenwerte ist der Eigenraum
f"ur $m=1,2$ im Regelfall nur eindimensional.
$M\hoch{n_2}$ kann dann in die Jordannormalform
gebracht werden und beschreibt eine Scherung. Ist allerdings $m>2$, so
sind die Eigenwerte von $M\hoch{n_1}$  laut (\ref{eq:bifbedm})
voneinander verschieden, und es gilt $M\hoch{n_2}={1\!\!\!\:\rm I}$.

Betrachtet man in der N"ahe einer
Bifurkation nur die an ihr beteiligten Orbits, erf"ahrt die
Hamiltonfunktion eine weitere Vereinfachung.
F"ur Bifurkationen der Kodimension eins bedeutet dies, da"s man nur den
f"uhrenden Resonanzterm mitnimmt. 
Bei gegebenem $m$ in (\ref{eq:bifbed}) ist er von Ordnung $I^{m/2}$.
Die Struktur des Normalform h"angt in der Folge
nicht direkt von den primitiven Perioden der bifurkierenden
Bahnen ab, sondern nur von ihrem 
Verh"altnis $m$. Wir k"onnen uns auf den Fall $n_1 =1$ beschr"anken.
Geht man in ein rotierendes Koordinatensystem 
$\varphi=\Phi-2\pi\frac lm t$ "uber, f"uhrt dies auf
\beq
H\hoch m =\varepsilon I+\sum_{k=2}^{[m/2]}a_kI^k+bI^{m/2}\cos(m\varphi)\;.
\eeq
Dies sind die Birkhoffschen Normalformen
\cite{Ozorio:1988,Ozorio:Hannay:1987,Birkhoff:1927}.
Hier ist $\varepsilon$ gerade der Bifurkationsparameter
(\ref{eq:bifbed}).  Der Ausdruck 
$[m/2]$ bedeutet $m/2$ f"ur gerades $m$ und $(m-1)/2$ f"ur ungerades
$m$.

Es ist oft sinnvoll, wieder zu den 
Koordinaten $q$ und $p$ zur"uckzukehren und gegebenenfalls weitere
Vereinfachungen durchzuf"uhren.
F"ur $m=1$ setzt man sich zwischen die periodischen Bahnen; in diesem
Fall wie auch f"ur $m=2$ kann man noch Terme wegschaffen, 
die keinen Einflu"s auf ihre Eigenschaften haben.
Man erh"alt die Normalformen
\bea
H\hoch 1&=& \varepsilon q+aq^3+\frac \sigma 2 p^2\;,\\
H\hoch 2&=& \varepsilon q^2+aq^4+\frac \sigma 2 p^2\;.
\eea
Die entsprechenden Normalformen f"ur $m=3$ und $m=4$ sind
\bea
H\hoch 3&=& \varepsilon I + a I^{3/2} \cos(3\varphi)\nonumber\\
&=&\frac\varepsilon 2 (p^2+q^2)+\frac a {2\sqrt2} (p^3-3pq^2)\;,\\
H\hoch 4&=& \varepsilon I + a I^2 + b I^2 \cos (4\varphi)\nonumber\\
&=&\frac\varepsilon 2 (p^2+q^2)+\frac a {4} (p^2+q^2)^2+\frac b 4
(p^2+q^2-6p^2q^2)\;.
\eea

F"ur jedes Verh"altnis
$m\in {\Bbb N}$ der Perioden der Satelliten und des zentralen Orbits
gibt es genau einen Bifurkationstyp der Kodimension eins.
Als Ausnahme gibt es f"ur $m=4$ zwei Typen.
Ferner weisen alle F"alle f"ur $m\geq 5$
untereinander gro"se "Ahnlichkeiten auf. 
Diese verschiedenen Periode--$m$--Bifurkationen sollen nun n"aher
diskutiert werden.
Insbesondere interessiert uns das
Verhalten der verschiedenen Gr"o"sen in Abh"angigkeit vom
Bifurkationsparameter $\varepsilon$.

Wie das zugrundeliegende Hamiltonsche System 
l"a"st sich auch die aus
der Birkhoffschen Normalform resultierende stroboskopische
Entwicklung durch eine 
erzeugende 
Funktion $\hat S(q',p)$ beschreiben.
In f"uhrender Ordnung lautet die entsprechende Normalform
in Analogie zu (\ref{eq:erzt1})
\beq
\hat S(q',p)=S_0+q'p-H(q',p)\;.
\eeq
Aus ihr leiten sich Eigenschaften der Wirkungen $S$,
der Stabilit"atsfaktoren $\tr M$ und der Maslovindizes $\nu$
der bifurkierenden Orbits her. 

\subsection[Von der Normalform zu den Eigenschaften bifurkierender
Bahnen]%
{Von der Normalform zu den Eigenschaften bifurkierender\protect\\
Bahnen}
Es soll nun skizziert werden, wie man aus den Normalformen Kenntnis
"uber die charakteristischen Gr"o"sen der bifurkierenden Bahnen erlangt.

Die Koordinaten der Orbits sind
durch die Fixpunktgleichungen (\ref{eq:fphats}) gegeben und
liegen an den Extrema von $\hat S(q',p)-q'p$.
Die Wirkung der Bahn ist der Funktionswert von $\hat S(q',p)-q'p$ am
Extremum. Die Stabilit"atsfaktoren folgen aus Gleichung
(\ref{m1e2}); da in den Normalformen jeweils
$\parfrac {^2 \hat S}{q'\partial p}=1$
gilt, vereinfacht sich die Beziehung zu
\beq
\tr M=2-\parfrac{^2\hat S}{q'^2}\parfrac{^2\hat S}{p^2}\;.
\eeq
Eine stabile Bahn entspricht einem lokalen Minimum oder
Maximum von $\hat S(q',p)-q'p$, ebenso eine invers instabile Bahn. Ein gew"ohnlicher
instabiler Orbit liegt auf einem Sattel.
In den Koordinaten der Normalform sind die Morseindizes $\hat\mu$ der eng
benachbarten bifurkierenden Bahnen identisch. Die Maslovindizes  lassen
sich dann aus den Gleichungen (\ref{eq:maslovmorse}) mit
(\ref{eq:signg}) bestimmen. Maxima haben den Maslovindex $\hat\mu+1$,
Minima den Maslovindex $\hat\mu-1$; f"ur S"attel ist er mit $\hat\mu$
identisch. Diese Formeln f"ur den Maslovindex 
gelten mit wachsender Entfernung von der Bifurkation im
Parameterraum, bis die Orbits an weiteren
Bifurkationen in der betrachteten $n$--Schrittabbildung beteiligt sind.
Auch das Verhalten der Wirkungen und der Stabilit"atsfaktoren wird nur
sinnvoll beschrieben, solange nicht weitere Orbits in die N"ahe geraten.

F"ur die bifurkierenden Bahnen
treten wie bei den gebrochenen Tori
Beziehungen zwischen den Stabilit"atsfaktoren auf.
Diese sind wieder nur in der N"ahe der betrachteten
Bifurkation gut erf"ullt und brechen
allm"ahlich zusammen, wenn man das System von ihr wegsteuert.
Um unabh"angige Stabilit"atsfaktoren zu erhalten,
braucht man in der erzeugenden Funktion eine gen"ugende Zahl von
Koeffizienten.
Dies wird bei der sp"ateren semiklassischen Behandlung noch wichtig
werden.
F"ur den Fall $m=1$
nehmen wir
daher weitere Terme h"oherer Ordnung mit und behandeln diese
als St"orungen, die sich in h"oheren Termen einer Entwicklung nach $\varepsilon$
niederschlagen.
Auch in den anderen F"allen kann man so vorgehen.
Dies wird jedoch recht schnell
ein aufwendiges Unterfangen mit l"anglichen Ausdr"ucken, die
nur noch mit symbolischen Mathematikprogrammen handhabbar sind.
Bei der Behandlung des semiklassischen
Beitrags der Bahnen zur Spur erh"alt man wieder ein einfaches
Ergebnis, weswegen wir auf die technischen Details verzichten wollen.
Ein Hinweis auf die Arbeiten
\cite{Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,Sieber:1996a},
in denen das skizzierte Programm
durchgef"uhrt ist, soll an dieser Stelle gen"ugen.

Bei allen Bifurkationstypen bleibt die Zahl der periodischen Bahnen "uber die
Bifurkation hinweg konstant, wenn man auch komplexe Koordinaten
zul"a"st. Die komplexen {\em Geister\/}l"osungen haben zwar keine
klassische Bedeutung, sie werden aber bei der semiklassischen Behandlung
wichtig. Die charakteristischen Gr"o"sen der Geisterbahnen
werden in Abschnitt \ref{sec:mdsa} bereitgestellt.

\subsection{Tangentenbifurkationen ($m=1$)}
\label{sec:tanbifkl}

Die Tangentenbifurkation ist die Geburtsst"atte zweier periodischer
Bahnen gleicher L"ange: Zwei zuvor zueinander konjugiert
komplexe L"osungen der Fixpunktgleichungen treffen sich
bei reellen Koordinaten und 
wandern dann als reelle Bahnen voneinander weg.
Die Zahl der reellen L"osungen der
Fixpunktgleichungen erh"oht sich somit um zwei.
Eine der beiden neuen Bahnen ist zun"achst stabil, die andere instabil. 
Abbildung \ref{abb:pm1} zeigt eine Abfolge von Phasenraumportraits
in der n"aheren Umgebung einer Tangentenbifurkation, die
beim Kreisel f"ur $k=2.45\ldots$ auftritt.

\begin{figure}
\ifplots
\centerline{\epsfbox{abb/pm1.ps}}
\else
\centerline{\epsfbox{abb/pm1box.ps}}
\fi
\caption[Phasenraumportraits in der N"ahe einer Tangentenbifurkation
]{Phasenraumportraits in der N"ahe einer Tangentenbifurkation
bei $k=2.45\ldots$}
\label{abb:pm1}
\end{figure}

Die Birkhoffsche Normalform lautet in diesem Fall
\begin{equation}\label{eq:nformm1}
\hat S(p,q')=
S_0+pq'-\varepsilon q'-a q'^3-\frac{\sigma}2 p^2\;.
\end{equation}
Eine Skalentransformation $(q,p)\to (q/\lambda,p\lambda)$
l"a"st uns "uber den Betrag von $\sigma$ frei verf"ugen; wir 
w"ahlen $\sigma=\pm1$.  Die Fixpunktgleichungen
\begin{eqnarray}
\frac{\partial\hat S}
{\partial q'}&=&p-\varepsilon-3aq'^2=p\;,\\
\frac{\partial\hat S}
{\partial p}&=&q'-\sigma p= q'
\end{eqnarray}
haben zwei L"osungen,
\begin{eqnarray} \label{m1b}
p_\pm &=& 0\;, \nonumber \\
q'_\pm &=& \pm \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}}\; .
\end{eqnarray}
Die beiden Bahnen liegen also auf der $q$--Achse.
Ihre  Koordinaten sind reell f"ur $\sign \varepsilon a=-1$ und zueinander
konjugiert komplex f"ur  $\sign \varepsilon a=1$;
an der Bifurkation bei $\varepsilon=0$ fallen sie zusammen.
Der Wert der Wirkung $S=\hat S-q'p$ an den Fixpunkten ist
\begin{equation}\label{eq:sm1}
S_\pm= S_0  \mp \frac{2\varepsilon}{3} \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}}\;.
\end{equation}
Die Spuren der Stabilit"atsmatrix lauten 
\begin{equation}\label{eq:mm1}
\tr M_\pm= 2 \mp 6 a\sigma  \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}}\;.
\end{equation}
Eine Bahn ist zun"achst stabil und kann weitab der Bifurkation
auch invers instabil werden.
Die andere ist ein gew"ohnlicher instabiler Orbit.
In f"uhrender Ordnung der lokalen N"aherung gehorchen die Stabilit"atsfaktoren
der Beziehung
\begin{equation}\label{eq:stabbez}
\tr M_++\tr M_-=4\;,
\end{equation}
von der wir uns nun zu l"osen suchen, indem wir in einer
erweiterten Normalform einen Term mehr
mitnehmen und seine Auswirkung auf die Eigenschaften der
beiden bifurkierenden Bahnen in der n"achsth"oheren Ordnung in $\varepsilon$
betrachten.

Die Anordnung der periodischen Bahnen auf der $q$--Achse erlaubt es,
das Problem als ein eindimensionales zu betrachten.
Es gen"ugt dann, in
der n"achsth"oheren Ordnung nur den rein $q'$--abh"angigen Term $bq'^4$
zu ber"ucksichtigen und $p$--abh"angige h"ohere Terme zu vernachl"assigen.
Die mathematische
Rechtfertigung daf"ur liefert das sogenannte Aufspaltlemma
der Katastrophentheorie \cite{Poston:Stewart:1978}.
Wir arbeiten demzufolge mit der erweiterten Normalform
\begin{equation}\label{eq:erwm1}
\hat S(q',p)=S_0+pq'-\varepsilon q'-a q'^3-b q'^4- \frac{\sigma}2 p^2\;.
\end{equation}
Bis in zweite Ordnung in $\sqrt{|\varepsilon|}$ liegen die Fixpunkte bei
\begin{eqnarray} \label{m1b2}
p_\pm  &=& 0\;, \nonumber \\
q'_\pm  &=& \pm \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}} +
\frac{2b\varepsilon}{9a^2} +\order(|\varepsilon|^{3/2}) \; ,
\end{eqnarray}
wobei wir uns an dieser Stelle nicht um den formal auftretenden dritten
Fixpunkt k"ummern.
Dies werden wir erst bei der daraus resultierenden
Kodimension--zwei--Bifur\-kation in Abschnitt \ref{sec:m11} tun.
Die Fixpunkte tragen die Wirkung
\begin{equation} \label{m1c}
S_\pm = S_0  \mp \frac{2\varepsilon}{3} \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}}
- \frac{b\varepsilon^2}{9a^2} +\order(|\varepsilon|^{5/2}) \;.
\end{equation}
Die Spuren der linearisierten Abbildung lauten
\begin{equation} \label{m1f}
\tr M_\pm  = 2 \mp 6 a \sigma \sqrt{-\frac{\varepsilon}{3a}}
+ \frac{8 \sigma b}{3 a } \varepsilon
+ \order(|\varepsilon|^{3/2}) 
\end{equation}
und verletzen
somit die Beziehung (\ref{eq:stabbez}) in Ordnung $\varepsilon$.
Die Morseindizes $\hat \mu$ der eng benachbarten Bahnen sind identisch.
Die Maslovindizes erh"alt man daher aus 
den Gleichungen (\ref{eq:maslovmorse}) und
(\ref{eq:signg}) zu
\bea
\nu_\pm&=&
\hat \mu+\frac 12 \sign \sigma \pm \frac 12 \sign a
\nonumber
\\
&=&
\left\{
\begin{array}{ll}
\hat \mu & \mbox{instabiler Orbit}\\
\hat \mu +\sign \sigma& \mbox{stabiler Orbit}
\end{array}
\right.\;.
\label{eq:num1}
\eea

\subsection{Periodenverdopplungen ($m=2$)}
\label{sec:pver2klass}

\begin{figure}
\ifplots
\centerline{\epsfbox{abb/pm2.ps}}
\else
\centerline{\epsfbox{abb/pm2box.ps}}
\fi
\caption[Phasenraumportraits in der N"ahe einer Periodenverdopplung
]{Phasenraumportraits in der N"ahe einer Periodenverdopplung
bei $k=4.31\ldots$}
\label{abb:pm2}
\end{figure}

Bei einer Periodenverdopplung wechselt ein zentraler Orbit der L"ange
$n_0$ seine
Stabilit"at und erh"alt dabei einen Satelliten doppelter Periodenl"ange
$n_1=2n_0$.
Abbildung \ref{abb:pm2} illustriert dies anhand einer
Periodenverdopplung, die man beim Kreisel bei $k=4.31\ldots$ vorfindet.
Der zentrale Orbit ist f"ur $k>4.31\ldots$ instabil und 
ist "ubrigens in der vorher gezeigten
Tangentenbifurkation bei $k=2.45\ldots$ mit stabilem Verhalten
entstanden. Der hinzugekommene
stabile Satellit wiederum wird bereits bei $k=4.78\ldots$ in einer 
hier nicht gezeigten
weiteren Periodenverdopplung wieder instabil, unter Auftreten eines
stabilen Satelliten der L"ange vier.
Kaskaden dieser Art sind der Mechanismus,
durch den Stabilit"atsinseln
auf dem Weg zu ausgepr"agtem Chaos vernichtet werden
\cite[Kapitel 7.3b]{Lichtenberg:Lieberman:1992}, \cite[Kapitel
3.8.2]{Reichl:1992}.

Man beschreibt Periodenverdopplungen mittels der Normalform
\beq\label{eq:nformm2}
\hat S(q',p)=S_0+q'p-\varepsilon
q'^2-aq'^4-\frac\sigma 2 p^2\;.
\eeq
Wie bei der Tangentenbifurkation k"onnen wir durch Skalieren
der Koordinaten $\sigma=\pm 1$ erreichen.
Die periodischen Bahnen liegen bei
\begin{eqnarray} \label{m2b}
p_0=0, &\quad& q'_0=0\;,\\
p_1=0, &\quad& q'_1=\pm\sqrt{-\frac{\varepsilon}{2a}}\;.
\end{eqnarray}
Dabei bezeichnet der Index $0$ den zentralen Orbit und der Index $1$ den
Satelliten, der entsprechend seiner doppelt so gro"sen 
Periodenl"ange durch zwei Fixpunkte repr"asentiert wird. 
Die Koordinaten des Satelliten
sind f"ur $\varepsilon/a>0$ komplex (in der Normalformkoordinate $q$
sogar rein imagin"ar)
und werden mit dem Vorzeichenwechsel
von $\varepsilon$ an der Bifurkation reell.

Die Wirkungen der periodischen Bahnen sind $S_0$ und
\beq
S_1 = S_0 + \frac{\varepsilon^2}{4a}\;.
\eeq
Die Spuren der linearisierten Abbildungen lauten
\begin{eqnarray} \label{m2e}
\tr M_0 &=& 2 - 2 \sigma \varepsilon\;,
\\
\tr M_1 &=& 2 + 4 \sigma \varepsilon\;;
\end{eqnarray}
sie gen"ugen der Relation
\beq\label{eq:stabbezm2}
2\tr M_0+\tr M_1=6+\order(\varepsilon^2)\;.
\eeq
Nahe der Bifurkation ist
entweder der Satellit oder der zentrale Orbit stabil, die andere
Bahn ist dann instabil. Der zentrale Orbit "andert seine Stabilit"at mit dem
Vorzeichenwechsel von $\varepsilon$ an der Bifurkation.
Die Morseindizes $\hat \mu$ der beiden Bahnen
sind in den lokalen Koordinaten der Normalform
wieder gleich. Die Maslovindizes sind damit
\bea
\nu_0&=&\hat\mu +\frac 12 (\sign \sigma+\sign \varepsilon)\;,
\\
\nu_1&=&\hat\mu +\frac 12 (\sign \sigma-\sign \varepsilon)\;.
\eea
F"ur die instabile Bahn gilt so ein weiteres Mal $\nu=\hat\mu$, f"ur die
andere $\nu=\hat\mu+\sign\sigma$.

Es ist interessant, da"s Wirkung und Stabilit"atsfaktor des Satelliten
selbst
f"ur komplexe Koordinaten reelle Gr"o"sen sind. Dies gilt
nicht nur in den hier aufgef"uhrten f"uhrenden Ordnungen in
$\varepsilon$, sondern sogar exakt.
Die Ursache liegt darin, da"s die Koordinaten eines komplexen
Satelliten aus einer Periodenverdopplung
in konjugiert komplexen Paaren auftreten.
Der Orbit geht  also unter komplexer Konjugation in sich selbst "uber,
und so geschieht es auch mit seinen
charakteristischen Gr"o"sen, die mithin reell sind.
Erst wenn der Satellit mit
einer anderen komplexen Bahn in einer Bifurkation im Komplexen
aufeinandertrifft, k"onnen sich die konjugierten Koordinatenpaare
voneinander l"osen und in der Folge zu zwei verschiedenen Bahnen mit
komplexen Wirkungen und Stabilit"atsfaktoren geh"oren.

\subsection{Periodenverdreifachungen ($m=3$)}

\begin{figure}
\ifplots
\centerline{\epsfbox{abb/pm3.ps}}
\else
\centerline{\epsfbox{abb/pm3box.ps}}
\fi
\caption[Phasenraumportraits in der N"ahe einer Periodenverdreifachung
]{Phasenraumportraits in der N"ahe einer Periodenverdreifachung
bei $k=3.545\ldots$\,. Die Satelliten entstehen in einer
Tangentenbifurkation bei $k=3.525\ldots$\,.}
\label{abb:pm3}
\end{figure}

Periodenverdreifachungen stellen sich wie folgt dar:
Um jeden Punkt der Trajektorie eines
zentralen Orbits der L"ange $n_0$ liegen drei Punkte der
Trajektorie eines Orbits der L"ange $n_1=3n_0$ und bilden  dabei ein Dreieck.
Dieses Dreieck wird beim Zusteuern auf die Bifurkation immer kleiner.
An der Bifurkation fallen alle
vier Punkte zusammen. Jenseits der Bifurkation bilden die
Satellitenpunkte wieder ein Dreieck, jedoch ein punktgespiegeltes:
Die Satellitenpunkte wandern durch den zentralen Orbit hindurch, treten
also diametral wieder aus ihm heraus.
Die Periodenverdreifachung zeichnet sich mithin dadurch aus, da"s bei ihr keine
Orbits verschwinden oder neu entstehen, sondern ihre Zahl unver"andert
bleibt.

Die Abfolge von Phasenraumportraits in
Abbildung \ref{abb:pm3} illustriert das geschilderte Szenarium
anhand
des bereits bei $m=1$ und $m=2$ untersuchten zentralen Orbits, der
auf dem Weg zwischen der Tangentenbifurkation und der
Periodenverdopplung 
eine Periodenverdreifachung bei $k=3.545\ldots$ erf"ahrt.

Die Normalform lautet
\begin{eqnarray} \label{m3a}
\hat{S}(q',p) &=& q'p - \frac{\varepsilon}{2} (p^2 + q'^2)
- \frac{a}{2 \sqrt{2}} (p^3 - 3 p q'^2) \;.
\end{eqnarray}
Man sucht die Fixpunkte auf, die in Polarkoordinaten auf den Linien
$\sin(3\varphi)=0$ liegen, mit $I=\frac 4 9 \frac {\varepsilon^2}{a^2}$.
Daraus erh"alt man die Wirkungen $S_0$ f"ur den
zentralen Orbit und
\begin{equation} \label{m3d}
S_1 = S_0 - \frac{4}{27 a^2} \varepsilon^3
\end{equation}
f"ur den Satelliten sowie die Spuren der linearisierten Abbildungen
\begin{eqnarray} \label{m3f}
\tr M_0 &=& 2 - \varepsilon^2\;,
\\
\tr M_1 &=& 2 + 3 \varepsilon^2 \; .
\end{eqnarray}
Es gilt in der angegebenen Ordnung in $\varepsilon$
\beq
3 \tr M_0+\tr M_1=8+\order(\varepsilon^4)\;.
\eeq
Die Maslovindizes ergeben sich zu $\nu_1=\hat\mu$ und
\beq
\nu_0=\hat\mu+\sign\varepsilon\;.
\eeq

\subsection{Periodenvervierfachungen ($m=4$)}
\label{sec:pver4klass}

\begin{figure}
\ifplots
\centerline{\epsfbox{abb/pm4.ps}}
\else
\centerline{\epsfbox{abb/pm4box.ps}}
\fi
\caption[Phasenraumportraits in der N"ahe einer Periodenvervierfachung
]{Phasenraumportraits in der N"ahe einer Periodenvervierfachung
bei
$k=3.034\ldots$}
\label{abb:pm4}
\end{figure}

Die Periodenvervierfachung wird in Winkel--Wirkungsvariablen
durch die Normalform
\beq\label{eq:nformm4}
\hat S(\varphi',I)=S_0+\varphi'I-\varepsilon I-aI^2-bI^2\cos (4\varphi')
\eeq
beschrieben.
Neben der zentralen periodischen Bahn bei $I_0=0$
gibt es zwei Satelliten ($+$, $-$) der vierfachen Periodenl"ange bei
\bea\label{eq:m4koor}
\cos (4\varphi_\pm) = \pm 1\;,\qquad I_\pm=-\frac{\varepsilon}{2a\pm2b}\;.
\eea
Die periodischen Bahnen haben reelle Koordinaten f"ur $I\geq0$.
Die Trajektorie
des Orbits $+$ liegt auf den Koordinatenachsen, die des Orbits $-$ auf den
Winkelhalbierenden.
Die Wirkungen sind $S_0$ f"ur die zentrale periodische Bahn und
\beq
S_\pm=S_0+\frac 14 \frac{\varepsilon^2}{a\pm b}
\eeq
f"ur die Satelliten.
Die Stabilit"atsfaktoren lauten
\bea
\tr M_0&=&2-\varepsilon^2\;,\\
\tr M_\pm&=&2\pm 8b\frac{\varepsilon^2}{a\pm b}\;.
\eea
Wie bei der Periodenverdopplung haben selbst Satelliten mit komplexen
Koordinaten reelle Wirkungen und Stabilit"atsfaktoren.
Die Maslovindizes sind
\bea
\nu_0&=&\hat \mu+\sign\varepsilon\;,
\\
\nu_\pm&=&\hat \mu +\frac 12 \sign(a\pm b)\mp \frac 12 \sign b\;.
\eea
Je nach relativer Gr"o"se von $|a|$ und $|b|$
gibt es zwei verschiedene Varianten der Periodenvervierfachung.
\begin{itemize}
\item $|a|<|b|$: Auf beiden Seiten der Bifurkation gibt es je einen Satelliten
mit komplexen und einen mit
reellen Koordinaten. Steuert man das System "uber die
Bifurkation, tauschen dabei die beiden Satelliten ihre Rollen.
Der reelle Satellit ist jeweils instabil.
\item $|a|>|b|$: Auf der einen Seite der Bifurkation gibt es nur komplexe
Satellitenl"osungen, die an der Bifurkation mit dem zentralen Orbit
zusammenfallen und dann als zwei reelle Satelliten von ihm wegwandern.
Der eine Satellit ist zun"achst stabil, der andere instabil.
Abbildung \ref{abb:pm4}
illustriert diese Bifurkation anhand des Orbits, der in
der Tangentenbifurkation bei $k=2.45\ldots$ als stabile periodische Bahn
entstanden ist. Die Periodenvervierfachung findet bei $k=3.034\ldots$ statt.
\end{itemize}

\subsection{H"ohere Periode--$m$--Bifurkationen}

Die Periode--$m$--Bifurkationen mit $m\geq 5$ verlaufen alle nach dem
gleichen Schema:
Komplexe Vorl"auferl"osungen zweier Satelliten treffen
an einer zentralen periodischen Bahn zusammen. Es entstehen zwei reelle
Satelliten, und zwar ein stabiler und ein instabiler. Dieses Szenarium gleicht
der zweiten Variante der Periodenvervierfachung ($|a|>|b|$).
Wir werden solche Bifurkationen in dieser Arbeit nicht weiter untersuchen. Der
Vollst"andigkeit halber seien aber die wichtigsten Eigenschaften
aufgef"uhrt \cite{Sieber:1996a}. Sie folgen aus der Normalform
\beq
\hat S(\varphi',I) =
S_0+\varphi'I-\varepsilon I-\sum_{k=2}^{[m/2]}a_kI^k-bI^{m/2}\cos(m\varphi)\;.
\eeq
Die Satelliten liegen auf den Linien $\cos (m\varphi)=\pm1$. Ihr
Abstand $I$ ist von Ordnung $\varepsilon$ und unterscheidet sich
in Ordnung $\varepsilon^{\frac m 2 -1}$. Die Wirkung des zentralen
Orbits ist $S_0$. Die Wirkungen
der Satelliten sind in f"uhrender Ordnung
identisch, $S_\pm=S_0+\frac 14 \frac {\varepsilon^2}{a_2}$,
und unterscheiden sich in Ordnung $\varepsilon^{m/2}$. 
Die Spur der linearisierten Abbildung ist $\tr M_0=2-\varepsilon^2$. Die
Stabilit"atsfaktoren der Satelliten sind von Ordnung $\tr M_\pm =
2+\order(\varepsilon^{m-2})$ und unterscheiden sich in Ordnung
$\varepsilon^{m-2}$. Der Morseindex $\hat \mu$ 
in Normalformkoordinaten ist f"ur
alle Orbits identisch, und man erh"alt die Maslovindizes
\bea
\nu_0&=&\hat\mu+\sign\varepsilon\;,\\
\nu_\pm&=&\hat\mu-\frac 12 \sign \varepsilon\mp\frac 12 \sign b
\;.
\eea



\section{Aufeinanderfolgende Bifurkationen}

Wir haben bereits gesehen, da"s eine periodische Bahn
in der Regel in verschiedene aufeinanderfolgende
Bifurkationen verwickelt ist. Auch die
typischerweise auftretenden Abfolgen von Bifurkationen der Kodimension
eins lassen sich klassifizieren.
Wir wollen Kaskaden und Sequenzen von Bifurkationen unterscheiden.
Eine Kaskade ist eine Abfolge von Bifurkationen, die zu verschiedenen
Wiederkehrzeiten sichtbar werden. Ein Beispiel ist die
Tangentenbifurkation aus Abbildung \ref{abb:pm1} mit den nachfolgenden
Periodenver--$m$--fachungen des zentralen Orbits in den Abbildungen
\ref{abb:pm2}, \ref{abb:pm3} und \ref{abb:pm4}.  
Die verschiedenen Bifurkationen treten erstmals in der
$m$--Schritt--Abbildung auf.
Solche Kaskaden spielen in der Folge eine untergeordnete Rolle. Die
einfachsten
sollten sich  durch Iteration der Abbildungen zu den
verschiedenen bisher betrachteten 
Normalformen beschreiben lassen, wobei detailierte
Studien noch ausstehen.

Wir konzentrieren uns auf Sequenzen von Bifurkationen, worunter wir
Abfolgen verstehen wollen, die alle bei derselben Iteration der
Abbildung zum ersten Mal sichtbar werden. Dies ist etwa bei der
Tangentenbifurkation der Satelliten und der Periodenverdreifachung in 
Abbildung \ref{abb:pm3} gegeben.
Solche Sequenzen
leiten sich von Bifurkationen h"oherer Kodimension ab
\cite{Sadovskii:Shaw:1995,Sadovskii:Delos:1996,Schomerus:1997a}.
Diese treten auf, wenn man das System nicht nur mit einem Parameter
steuert, sondern etwa
einen weiteren Parameter $k'$ zur Verf"ugung hat. Im Falle
des Kreisels bietet sich zum Beispiel der Winkel $p_y$ an, aber auch jede
andere Kombination der vorhandenen Kopplungskonstanten. (Man k"onnte
die Kreiselvariante
auch in eine noch gr"o"sere Klasse von Systemen einbetten,
sich also beliebig viele andere Parameter hinzudenken.)
Treten nun zwei aufeinanderfolgende Bifurkationen eines Orbits bei 
den Parameterwerten $k=k_1$ und $k=k_2$ auf, so h"angen diese Werte
auch von $k'$ ab.
Man kann $k'$ in der Regel so einstellen, 
da"s $k_1=k_2$ wird und somit beide
Bifurkationen gleichzeitig auftreten. Im Phasenraum treffen dann alle
beteiligten Bahnen in einer Bifurkation der Kodimension zwei
aufeinander, die komplizierter ist als die bisher diskutierten der
Kodimension eins.

Die typische Konfiguration der Bahnen in der N"ahe der Bifurkation
findet man wieder aus der entsprechenden
Normalform. Sie erh"alt man auf demselben Weg wie bei den
Bifurkationen der Kodimension eins. Man mu"s nun in der Reduktion des
vollen dynamischen Systems resonante
Terme der n"achsth"oheren Ordnung in $I$
beibehalten, wodurch in den Fixpunktgleichungen
zus"atzliche L"osungen auftreten.
Auch auf einer Bifurkation der Kodimension zwei ist die Bifurkationsbedingung 
(\ref{eq:bifbed}) erf"ullt. Man kann daher erneut die Zahl $m$ zur
Klassifizierung hinzuziehen. Wir diskutieren hier die F"alle 
$m=1,2,3$.

\subsection{Zwei benachbarte Tangentenbifurkationen}
\label{sec:m11}

Wir betrachten eine Situation, in der
drei periodische Bahnen gleicher L"ange
sehr nahe beieinanderliegen und aufeinandertreffen, falls man zwei
Kontrollparameter richtig einstellt. Verf"ugt man nur "uber einen
Parameter, so findet man gegebenenfalls --- aber nicht
notwendigerweise --- zwei Tangentenbifurkationen
bei eng benachbarten Parameterwerten, h"aufig aber zumindest
eine. Wir ben"otigen den Term n"achsth"oherer Ordnung in der Erzeugenden
$\hat S$, ausgehend von der Form (\ref{eq:nformm1}) in der N"ahe einer
Tangentenbifurkation. Ihn haben wir bereits bei der Diskussion des
Zusammenbrechens der Beziehung (\ref{eq:stabbez}) kennengelernt.
Wir benutzen also erneut die Normalform (\ref{eq:erwm1}) 
\beq\label{eq:p11normform}
\hat S(q',p)=S_0+q'p-\varepsilon q'-a q'^3-bq'^4-\frac{\sigma}{2}p^2\;.
\eeq
Betrachtet man die zugeh"origen Fixpunktgleichungen
\beq
p=0\;,\qquad \varepsilon+3aq'^2+4bq'^3=0\;,
\eeq
so mu"s man ein Polynom dritten Grades l"osen und erh"alt drei
Fixpunkte, von denen jedoch zwei komplexwertig sein k"onnen.
Dies richtet sich nach dem Vorzeichen der Diskriminante
\beq
D=
 \left(\frac 18 \frac{\varepsilon}{b}\right)^2
+\frac 14\frac \varepsilon b\left(\frac 14\frac{a}{b}\right)^3
\;.
\eeq
Drei reelle L"osungen gibt es f"ur $D<0$, eine reelle und zwei
zueinander konjugiert komplexe f"ur $D>0$.
An den Bifurkationen verschwindet die Diskriminante; dies geschieht
f"ur $\varepsilon=0$ oder $\varepsilon=-\frac 14 \frac {a^3}{b^2}$.
In jedem Fall liegen alle drei Orbits auf der $q$--Achse.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/erz.ps}}
\caption[
Qualitatives Verhalten von $\hat S(q',p)-q'p$ f"ur drei eng
benachbarte periodische Bahnen
]{Qualitatives Verhalten von $\hat S(q',p)-q'p$ f"ur drei eng
benachbarte periodische Bahnen. Ihre Lage ist durch die S"attel
bestimmt.
}
\label{abb:erz}
\end{figure}


Da ein Orbit immer reell ist, vereinfacht sich die Diskussion deutlich,
wenn man ihn in den Ursprung des Koordinatensystems legt. Man hat dann
\beq\label{eq:p11normform2}
\hat S=S_0+q'p-\varepsilon q'^2-a q'^3-bq'^4-\frac\sigma 2 p^2
\eeq
mit ver"anderten Koeffizienten, die wir aber nicht anders bezeichnen wollen.
Die Fixpunktgleichungen lauten nun
\beq
p=0\;,\qquad q'(2\varepsilon+3aq'+4bq'^2)=0\;
\eeq
und haben die L"osungen $p_{0,\pm}=0$, $q_0$=0 und
\beq
q_\pm=-\frac 3 8\frac a b \pm \sqrt{\frac 9 {64}\frac{a^2}{b^2}-\frac 12
\frac\varepsilon b}\;.
\eeq
Daraus ergeben sich die Wirkungen, Stabilit"atsfaktoren und
Maslovindizes. Im Falle dreier reeller Orbits trifft man dann auf die
folgende Situation, illustriert in Abbildung
\ref{abb:erz}:
 Entlang der $q'$--Achse ist $\hat S-q'p$  eine
quadratische Funktion mit einem Minimum zwischen zwei Maxima oder einem
Maximum zwischen zwei Minima.
Der mittlere der entlang der $q'$--Achse aufgereihten
Orbits hat demnach entweder die gr"o"ste oder die kleinste Wirkung. 
Seine Stabilit"at h"angt weiter von der Kr"ummung $-\sigma$ der Erzeugenden 
in $p$--Richtung ab. Diese ist entlang der gesamten $q'$--Achse und somit
auch an den Positionen der drei Orbits gleich.
Daraus zieht man die folgenden Konsequenzen:
Wenn der mittlere Orbit
instabil ist, mit $\tr M> 2$, so haben die beiden anderen Orbits $\tr
M<2$, sind also entweder stabil oder invers instabil. Ist der mittlere
Orbit stabil oder invers instabil, so sind die beiden anderen Orbits
instabil mit $\tr M>2$.
Der Maslovindex ist f"ur diese beiden Orbits gleich und um
eins gr"o"ser als der Maslovindex
der mittleren Bahn, falls die Wirkung der mittleren Bahn minimal ist;
andernfalls ist er um eins kleiner.

Wir wollen erkl"aren, wie sich die Koeffizienten aus den Wirkungen der
periodischen Bahnen bestimmen lassen.
Die Vorgehensweise l"a"st sich auf andere F"alle "ubertragen und ist
n"utzlich, wann immer geschlossene
algebraische Ausdr"ucke nicht erh"altlich sind.

Im Falle dreier reeller Orbits machen wir 
den Ansatz 
\beq
\Phi(q)\equiv \hat S(q,p)-S_0-qp+\frac\sigma 2 p^2=A\left(\frac 14 q^4 -\frac13 (1+q_-)
q^3+\frac 12 q_-q^2 \right)
\eeq
mit
\beq
\frac {d\Phi}{dq}=Aq(q-1)(q-q_-)
\eeq
und legen so den Satelliten $+$ nach $q=1$ sowie den Satelliten $-$ nach $q=q_-$.
Wir k"onnen $q_-\in[-1,0]$ fordern, setzen uns also auf den
mittleren Orbit; der Satellit $+$ hat dann den gr"o"sten Abstand zu
seinem n"achsten Nachbarn (vgl. erneut Abb. \ref{abb:erz}).
Dies liefert die Wirkung $S_0$ f"ur den zentralen Orbit sowie
\bea\label{eq:q0bestgl}
S_+&=&S_0+\frac A {12}\left(2 q_- - 1\right)\;,
\\
S_-&=&S_0+\frac A {12} (2-q_-) q_-^3\;
\label{eq:q0bestglb}
\eea
f"ur die Satelliten.
Es folgt
\beq
\frac{S_--S_0}{S_+-S_0}=q_-^3\frac{q_--2}{1-2q_-}\equiv g(q_-)\;.
\eeq
Im Intervall $(-1,0)$ ist $g(q_-)$ eine monoton fallende
Funktion. Daher kann $q_-$ eindeutig bestimmt werden.
Die Wirkung des Orbits $-$ liegt
zwischen denen der Orbits $0$ und $+$, da im betrachteten Intervall
$0<g(q_-)<1$ gilt.
Der Vorfaktor $A$
folgt aus (\ref{eq:q0bestgl}) oder (\ref{eq:q0bestglb}).
Den Koeffizienten
$\sigma$ vor $p^2$ bestimmen wir aus dem 
Stabilit"atsfaktor
\beq
\tr M_0=2+Aq_-\sigma\;.
\eeq
Durch Reskalieren von $p$ und $q$ kann man $\sigma=\pm 1$ erreichen.

Im Falle einer reellen und zweier zueinander konjugiert komplexer
Bahnen f"uhrt der Ansatz
\beq
\Phi(q)=A\left(\frac  1 2 (1+\tilde q^2)q^2-\frac 2 3 q^3+\frac 1 4
q^4\right)
\eeq
zum Ziel.
Es ist
\beq
\frac{d\Phi}{dq}=Aq\left[(q-1)^2+\tilde q^2\right]\;,
\eeq
der reelle Orbit sitzt also bei $q=0$, die komplexen Bahnen liegen bei
$q_\pm=1\pm i\tilde q$.
Die Wirkungen sind $S_0$ und
\beq\label{eq:wirkm11}
S_\pm=S_0+A\left(\frac 1{12} + \frac 1 2 \tilde q^2 - \frac 1 4 \tilde q^4 +i\frac 2 3
\tilde q^3\right)\;.
\eeq
Man legt nun $\tilde q$ aus dem Verh"altnis
\beq
\frac{\Re S_+-S_0}{\Im S_+}=
 \frac{1+6\tilde q^2-3\tilde q^4}{8\tilde q^3}
\eeq
fest. Dies ist eine monotone Funktion auf $(0,\infty)$ und
$(-\infty,0)$. Das Intervall, in dem die L"osung gesucht werden mu"s,
folgt aus den Ausdr"ucken
\bea 
\tr M_0&=&2+\sigma A(1+\tilde q^2)\;,\\
\tr M_\pm&=&2-2\sigma A \tilde q (\tilde q\mp i)
\eea
f"ur die Stabilit"atsfaktoren, denn es gilt
$\sign \tilde q=\sign [(\tr M_0-2)/\Im \tr M_+]$.
Der Vorfaktor
$A$ folgt aus dem Real- oder dem Imagin"arteil von $S_+-S_0$,
der Koeffizient $\sigma$ etwa aus $\tr M_0$.

\subsection{Periodenverdopplung und Tangentenbifurkation}

Wir betrachten nun den Fall, da"s ein Satellit, der
in einer Periodenverdopplung entstanden ist, 
anschlie"send in einer inversen Tangentenbifurkation mit einem
weiteren Satelliten wieder verschwindet. 
Die Situation erinnert an die sogenannte
Schwalbenschwanzkatastrophe.
Steuert man das System im entgegengesetzten Sinn durch den
Parameterraum, so
verschwindet ein durch eine Tangentenbifurkation entstandener
Orbit in einer inversen Periodenverdopplung.
Die Normalform lautet \cite{Main:Wunner:1997}
\beq\label{eq:nformm12}
\hat S(q',p)=S_0+q'p-\varepsilon q'^2-aq'^4-bq'^6-\frac 12 \sigma p^2\;.
\eeq
Nur gerade Terme treten hier auf, da jeder Satellit an beiden
Punkten seiner Trajektorie die gleichen Wirkungen und Stabilit"aten hat.
Genauer
liegen die periodischen Bahnen auf der Linie $p=0$ und haben dort die
Koordinaten $q_0=0$, 
\beq
q_\pm^2=-\frac 13 \frac ab\pm\sqrt{\frac 19 \frac{a^2}{b^2}-\frac 13 \frac
\varepsilon b}\;.
\eeq
Die Periodenverdopplung tritt bei $\varepsilon=0$ auf, w"ahrend die
Tangentenbifurkation bei  $\varepsilon=a^2/(3b)$ stattfindet.
Die Wirkungen, Stabilit"atsfaktoren und Maslovindizes lassen sich wieder
in den Koeffizienten der Normalform ausdr"ucken; andersherum kann man die
Koeffizienten aus den Gr"o"sen der Bahnen bestimmen. Im Falle dreier
reeller Bahnen liegt von den beiden Satelliten $\pm$
der Orbit $-$ n"aher an der zentralen Bahn $0$.
Aus den m"oglichen Abfolgen
der Minima und Maxima von $\hat S-q'p$ entlang der $q$--Achse
und den daraus folgenden
Konfigurationen von Minima, Maxima und S"atteln
in der $q'$-$p$--Ebene lernt man einiges "uber die qualitative Natur
der periodischen Bahnen. So
sind zum Beispiel die Orbits $+$ und $0$ instabil, falls $-$
stabil ist. Bei $(q_-,0)$ liegt dann ein Maximum oder Minimum von
$\hat S-p'q$, an den Koordinaten der beiden anderen Orbits findet man
S"attel. Die Betrachtung der "ubrigen m"oglichen
F"alle schlagen sich in den Beziehungen
\bea
\sign(S_+-S_-)&=&\sign(S_0-S_-)\;,\nn
\sign(2-\tr M_0)&=&
\sign(2-\tr M_+)\;=\;- \sign(2-\tr M_-)\;,\nn
\nu_0\;=\;\nu_+&=&\nu_-+\sign(S_0-S_-)
\eea
nieder.

\subsection{Periodenverdreifachung und Tangentenbifurkation}
\label{sec:m13}


Die Periodenverdreifachung unterscheidet sich von allen
anderen Bifurkationen dadurch, da"s hier niemals komplexe L"osungen
auftreten. Der Satellit entsteht jedoch in vielen F"allen erst kurz vor der
Periodenverdreifachung in einer Tangentenbifurkation.
Ein sch"ones Beispiel ist in Abbildung \ref{abb:pm3} zu sehen.
Die Tangentenbifurkation findet bei
$k=3.525\ldots$ statt, die Periodenverdreifachungen bei $k=3.545\ldots$\,.
Diese enge
Nachbarschaft im Parameterraum ist beim Kreisel nicht ungew"ohnlich:
Alle untersuchten Periodenverdreifachungen
waren von einer Tangentenbifurkation
des Satelliten begleitet.
F"ur zentrale Orbits der primitiven L"ange eins
trifft man etwa mit steigendem $k$
auf die Paare
$(k=1.853\ldots,1.859\ldots)$ und $(1.972\ldots,1.975\ldots)$,
gefolgt von dem gerade erw"ahnten und weiteren bei
$(9.335\ldots,9.369\ldots)$ und $(11.841\ldots,11.886\ldots)$.

Das Szenarium wird durch die Normalform
\beq\label{eq:nformm13}
\hat S(\varphi',I)=S_0+\varphi'I-\varepsilon I-aI^{3/2}\cos (3\varphi')
-bI^2
\eeq
beschrieben. Der zus"atzliche Term $b I^2$ zerst"ort nicht die diskrete
Drehsymmetrie um $2\pi/3$; die Satelliten liegen daher weiterhin auf
den Linien $\sin (3\varphi)=0$. Wir kehren wieder zu kartesischen
Koordinaten $q'=\sqrt{2I}\sin\varphi$, $p=\sqrt{2I}\cos\varphi$
zur"uck und betrachten die Fixpunktgleichungen auf der
$p$--Achse,
\beq
\varepsilon p+\frac 3{2\sqrt2}p^2+bp^3=0\;.
\eeq
Die L"osungen sind $p=0$ sowie
\beq
p_\pm=-\frac 3 {4\sqrt 2}\frac ab\pm\sqrt{\frac 9 {32}\frac
{a^2}{b^2}-\frac \varepsilon b}\;.
\eeq
Es tritt also ein weiterer Satellit auf. 
Die Periodenverdreifachung findet bei $\varepsilon=0$ statt.
Bei $\frac 9 {32}\frac {a^2}{b^2}=\frac \varepsilon b$ fallen die
Koordinaten der Satelliten zusammen; hier tritt die
Tangentenbifurkation auf. F"ur $\frac\varepsilon b\to-\infty$ bilden die
beiden Satelliten in sehr gro"ser Entfernung zum zentralen Orbit eine
Art gebrochenen Torus.
Bei reellen Koordinaten ist der entferntere Satellit wie der zentrale
Orbit stabil (oder invers instabil),
der andere Satellit ist ein normaler instabiler Orbit. Die Maslovindizes
sind
\bea
\nu_0&=&\hat\mu+\sign\varepsilon\;,\\
\nu_\pm&=&\hat\mu+\frac 12 (\sign b \mp\sign a)\;,
\eea
mit dem Morseindex $\hat \mu$.

Betrachtet man die Normalform auf der $p$--Achse, so hat sie dieselbe
Struktur wie die Normalform (\ref{eq:p11normform}) auf der $q'$--Achse.
Man kann daher die Koeffizienten
auf dieselbe Weise aus den Wirkungen
gewinnen wie bei der Aufeinanderfolge zweier
Tangentenbifurkationen, mu"s nun allerdings
$\tr M_0=2-\varepsilon^2$ benutzen,
um die Radialkoordinate richtig zu skalieren.

\section{Die periodischen Bahnen des Kreisels}

\label{sec:findper}

\subsection{Das Auffinden der Bifurkationen}

Wir wissen von unserer Kreiselvariante in der Parametrisierung
aus Abschnitt \ref{sec:praumports}, da"s sie bei $k=0$ 
genau zwei periodische Bahnen besitzt.
Sie haben die Periode eins und liegen dort, wo
die Drehachse (\ref{eq:drehachse}) die Einheitskugel durchst"o"st.
Da die stroboskopische Frequenz (\ref{eq:p0}) 
f"ur alle Tori gleich und f"ur allgemeine
Parameterwahl
kein rationales Vielfaches von $2\pi$ ist, gibt es
insbesondere keine rationalen invarianten Tori.
Zus"atzliche periodische Bahnen bei einem von Null verschiedenen $k$
m"ussen daher
durch Bifurkationen entstanden sein. Um die
periodischen Bahnen f"ur beliebiges $k$ bis
zu einem Wert $k_{\rm max}$ zu erhalten,
suchen wir zun"achst die Bifurkationen in diesem $k$--Intervall auf,
indem wir numerisch mittels eines Newtonalgorithmus die L"osungen
$q,p,k$ der Gleichungen
\beq\label{eq:bifglsys}
{\frak F}\hoch n(q,p)=(q,p)\;,\qquad \tr M\hoch n=2\cos \left(2 \pi\frac l m\right)
\eeq
bestimmen. 
Bei drei Unbekannten und drei Gleichungen findet man in der
Regel isolierte L"osungstripel. Da wir nur einen Kontrollparameter
zulassen, treffen wir nur auf Bifurkationen der Kodimension eins.

Der Newtonalgorithmus
bringt unter anderem die erweiterte linearisierte Abbildung
\beq
\label{eq:grossm}
{\frak M}=\frac{\partial(q',p',k')}{\partial(q,p,k)}
\eeq
ins Spiel, mit $k'=k$. (Man ben"otigt dar"uberhinaus
sogar Ableitungen der linearisierten Abbildung.)
Nach der Kettenregel setzt sie sich durch
Matrixmultiplikation aus den Matrizen $\tilde{\frak M}$ der Teilschritte
$\tilde {\frak F}$ zusammen. Diese haben die Eintr"age
\bea
&&\tilde {\frak M}_{ij}=\tilde M_{ij}\qquad\mbox{f"ur }i,j=1,2\;,
\nonumber
\\
&&\tilde {\frak M}_{13}=\tilde {\frak M}_{31}=\tilde {\frak M}_{32}=0\;,
\nonumber
\\
&&\tilde {\frak M}_{23}=\tilde p(p,q)\;,
\nonumber
\\
&&\tilde {\frak M}_{33}=1\;.
\eea
Die Matrixelemente $\tilde M_{ij}$ sind in Gleichung (\ref{eq:tildem})
angegeben.


\subsection{Bezeichnungskonvention f"ur Bifurkationen und Bahnen}

Wir wollen zun"achst eine Bezeichnungskonvention f"ur die Bifurkationen
vereinbaren, um sp"ater eine bequeme Referenz zu erm"oglichen.
Bei unserer Kreiselstudie treten nur Bifurkationen der
Kodimension eins auf. F"ur die an einer Bifurkation beteiligten Bahnen
sei $n$ die k"urzeste auftretende primitive Periode.
Die zugeh"orige Bahn haben wir
in Periodenver--$m$--fachungen den zentralen Orbit genannt. Bei
Tangentenbifurkationen ($m=1$)
denken wir an die stabile der beiden beteiligten
Bahnen. Alle Periodenver--$m$--fachungen mit zentralem Orbit der
primitiven Periode $n$ belegen wir mit dem Symbol $[^n/_m]$. Die einzelnen
Bifurkationen numerieren wir mit einem Index $i=1,2,3,\ldots$
fortlaufend in der Reihenfolge, in der
sie mit von Null anwachsendem $k$ auftreten. So bezeichnet
$[^1/_2]_3$ die dritte Periodenverdopplung von Orbits der primitiven
L"ange eins;
$[^3/_1]_2$ ist die zweite Tangentenbifurkation von Orbits der primitiven
L"ange drei.
Aus formalen Gr"unden belegen wir die blo"se Existenz der beiden
trivialen Fixpunkte bei $k=0$ mit dem Symbol $[^1/_0]$.




\begin{table}[tb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||l|l|l|l|l|}
\hline
      & $i=1$ & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
$[^1/_0]$ & $k=0$ &&&&\\ 
$[^1/_1]$ & 2.4496570879 & 8.8147942804 & 11.357670526 &&\\
$[^1/_2]$ & 2.7816908359 & 2.8398940485 & 4.3082701518 & 9.7582668226 &
12.254290139 \\
$[^1/_3]$ & 1.8594663798 & 1.9753023135 & 3.5448917906 & 9.3696437931 &
11.886171944 \\
$[^1/_4]$ & 1.0055378826 & 1.1953979342 & 3.0336495024 & 9.0808380074 &
11.604370343 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Bifurkationswerte $k\protect\lesssim 15$
f"ur Bifurkationen
mit zentralem Orbit der primitiven Periode eins und $m=1$ -- $4$
}
\label{tab:bif1}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||l|l|l|l|l|}
\hline
      & i=1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
$[^2/_1]$ &
4.8715494561 & 5.8825712602 & 7.1477166158 & 8.1245835958 
& 9.4560885151 \\
$[^2/_2]$ & 3.4382754082 & 3.5478504925 & 4.7882275091 & 5.1796021254 &
5.9535064059\\[.2cm]
\hline
      & $i=6$ & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
$[^2/_1]$ & 10.037956781 & 10.696769542 & 10.828905504 & & \\
$[^2/_2]$ & 7.2615873207 & 7.6228831874 & 8.2056311668 & 8.2704694861 &
9.4786496773 \\[.2cm]
\hline
      & $i=11$ & 12 & 13 & 14 & \\
\hline
$[^2/_2]$ & 9.9795043723 & 10.047073070 & 10.708784467 & 10.859743227 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Bifurkationswerte $k\protect\lesssim 11$
f"ur Bifurkationen
mit zentralem Orbit der primitiven Periode zwei und $m=1$, $m=2$
}
\label{tab:bif2}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||l|l|l|l|l|}
\hline
      & $i=1$ & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
$[^3/_1]$ & 1.8533834025 & 1.9715170531 & 3.5253108955 & 3.7856745793 &
5.9406812125
\\[.2cm]
\hline
      & $i=6$ & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
$[^3/_1]$ 
& 6.3033868836 & 6.3613347987 & 6.7619206470 & 6.8069656897 & 6.8840301184
\\[.2cm]
\hline
      & $i=11$ & 12 & 13 & 14 & 15 \\
\hline
$[^3/_1]$ 
& 6.9677348041 & 7.0630392882 & 7.1005680997 & 7.6099075081 & 7.8571710904
\\[.2cm]
\hline
      & $i=16$ & 17 & 18 & 19 & 20 \\
\hline
$[^3/_1]$ 
& 8.1791073408 & 8.3250930102 & 8.4196770048 & 8.7153291970 & 8.8184764699
\\[.2cm]
\hline
      & $i=21$ & 22 & 23 & 24 & 25 \\
\hline
$[^3/_1]$ 
& 8.9041486539 & 9.1184287858 & 9.3346952942 & 9.3375196017 & 9.3403733820
\\[.2cm]
\hline
      & $i=26$ & 27 & 28 & 29 & 30 \\
\hline
$[^3/_1]$ 
& 9.4181316373 & 9.5601300146 & 9.7683658777 & 9.8210165092 & 9.8316021114
\\[.2cm]
\hline
      & $i=31$ & 32 & 33 & 34 & 35 \\
\hline
$[^3/_1]$ 
& 9.9300879627 & 10.509976232 & 10.586545411 & 10.618795581 & 10.653873847
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Bifurkationswerte $k\protect\lesssim 10$
der Tangentenbifurkationen der Orbits mit Periode drei
}
\label{tab:bif3}
\end{table}



Die ersten Bifurkationswerte
zu den primitiven Perioden $n=1,2,3$
und niedrigen Wiederkehrzahlen $m$ 
sind in den Tabellen \ref{tab:bif1} -- \ref{tab:bif3}
aufgef"uhrt.

Die verschiedenen an einer Bifurkation beteiligten Bahnen unterscheiden
wir durch hochgestellte Indizes $[^n/_m]_i\hoch{0,1,2}$. Das Symbol $0$ steht
f"ur den zentralen Orbit einer jeden Bifurkation. Von den
beiden komplexen Geisterl"osungen
vor einer Tangentenbifurkation bezeichnet es diejenige mit $\Im
S>0$. Die Symbole $1,2$ werden f"ur Satelliten verwandt.
Die dem trivialen Fixpunkt bei $+\tilde {\bf X}$ zugeordnete
Bahn bezeichnen wir mit $[^1/_0]\hoch1$, die aus dem anderen trivialen
Fixpunkt folgende mit $[^1/_0]\hoch2$.
Da eine Bahn an verschiedenen Bifurkationen
beteiligt ist, tr"agt sie mehrere Namen.

\subsection{Das Verfolgen der periodischen Bahnen}

Im dreidimensionalen Raum $(q,p,k)$ bilden die periodischen Bahnen
Linien. Beim Verfolgen der Bahnen $(q(k),p(k))$ als Funktion von $k$ 
ist es hilfreich, sich den
Tangentenvektor 
\beq
(\dot q,\dot p)\equiv\left(\frac{dq}{dk}, \frac{dp}{dk}\right)
\eeq
an diese Linien zu verschaffen. Dazu differenzieren wir
die Fixpunktgleichungen nach $k$ und erhalten das inhomogene lineare
Gleichungssystem
\bea
({\frak M}_{11}-1)\dot q+{\frak M}_{12}\dot p&=&-{\frak M}_{13}\;,\\
{\frak M}_{21}\dot q+({\frak M}_{22}-1)\dot p&=&-{\frak M}_{23}\;
\eea
mit den Elementen der erweiterten linearisierten Abbildung ${\frak M}$
(\ref{eq:grossm}).
Interessanterweise ist das Gleichungssystem gerade an den
Bifurkationen singul"ar. Der 
Tangentenvektor $(\dot q, \dot p, \dot k \equiv 1)$ hat dann nach Normierung
eine verschwindende $k$--Komponente, und es ist sogar erlaubt, in 
Richtung komplexer Koordinaten $p$ und $q$ fortzuschreiten und 
dennoch reelles $k$ beizubehalten.
Es ist somit ohne weiteres m"oglich, auch die komplexen Vorl"auferl"osungen
bifurkierender Bahnen, die wir bei der Semiklassik ben"otigen werden, im
komplexifizierten Phasenraum als Funktion reellen $k$'s zu verfolgen.

\begin{figure}
\centerline{\epsfbox{abb/klassgr.ps}}
\caption{ Verhalten der Wirkung, des Stabilit"atsfaktors und der
Koordinaten der an der Bifurkation $[^1/_1]_1$ beteiligten periodischen
Bahnen als Funktion der Kopplungsst"arke $k$
}
\label{abb:klassgr}
\end{figure}

Als Beispiel betrachten wir die Bahnen aus der Tangentenbifurkation
$[^1/_1]_1$ bei $k=2.45\ldots$\,. 
In Abbildung \ref{abb:klassgr} ist aufgezeigt, wie sich die Wirkung,
der Stabilit"atsfaktor und die Koordinaten als Funktion von $k$
verhalten. Vor der Bifurkation sind dies komplexe Gr"o"sen, die f"ur die
beiden Bahnen zueinander konjugiert sind. Nach der Bifurkation sind sie
reell. Direkt an der Bifurkation verhalten sich die Differenzen
der klassischen Gr"o"sen beider Bahnen nach Potenzgesetzen.
Diese sind universeller Natur und lassen sich etwa f"ur die
Tangentenbifurkation 
aus den Beziehungen (\ref{m1b},
\ref{eq:sm1}, \ref{eq:mm1}) herleiten. Der dort auftretende
Bifurkationsparameter $\varepsilon$ mu"s
augenscheinlich in glatter und in erster Ordnung linearer
Weise von $k$ abh"angen.

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15cm\epsfbox{abb/norb.ps}}
\caption{Lage der reellen
periodischen Bahnen der L"angen eins, zwei und drei im Phasenraum f"ur
einige Werte von $k$
}
\label{abb:norb}
\end{figure}

Die Lage der reellen  Bahnen der L"angen eins bis drei ist f"ur
$k=1,2,\ldots,8$ in Abbildung \ref{abb:norb} dargestellt.
