\chapter{Der periodisch getriebene Kreisel}
\label{kapitel:kreisel}

Systeme mit einem klassischen Freiheitsgrad,
die zeitlich periodisch getrieben werden, stellen
den einfachsten Fall im allgemeinen nichtintegrabler Systeme dar.
Sie besitzen in der Regel einen gemischten Phasenraum.
Eine schon h"aufig untersuchte Klasse solcher Systeme, gerne auch
versehen mit dem Namen "`periodisch getriebener Kreisel"',
basiert auf der Dynamik eines Drehimpulsvektors ${\bf J}$ konstanter
L"ange \cite{Haake:Kus:1986,Haake:Kus:1987,Haake:1991,Kus:Haake:1993a,%
Kus:Haake:1993b,Gerwinski:Haake:1995,Braun:Gerwinski:1996,%
Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,%
Schomerus:1997a,Schomerus:Haake:1997}.

Wir stellen im Laufe dieses Kapitels eine bestimmte
mit einem Kontrollparameter behaftete Kreiselvariante vor,
anhand derer der  "Ubergang von klassisch
regul"arem, integrablem Verhalten
hin zu ausgepr"agtem Chaos untersucht werden soll,
und diskutieren einige ihrer quantenmechanischen
und klassischen Eigenschaften.

\section{Quantenmechanische Beschreibungsweise}

Wir wollen zun"achst einige grundlegende 
Eigenschaften periodisch getriebener
Kreisel aufzeigen, die sich aus dem blo"sen Umstand ergeben, da"s
sie durch die Komponenten $J_x$, $J_y$, $J_z$
eines Drehimpulsvektors $\bf J$
konstanter L"ange beschrieben werden.
Diese Eigenschaften sind vor allem algebraischer Natur und
betreffen etwa die Struktur des Hilbertraums.
Sie folgen zwangsl"aufig aus den
Kommutatorrelationen 
\beq\label{eq:drehimpulsalgebra}
[J_k,J_l]=i\varepsilon_{klm}J_m\;,
\eeq
der sogenannten
Drehimpulsalgebra, 
und dem Umstand, da"s der
Hamiltonoperator $\hat H$ selbst eine Funktion dieser Komponenten ist.
Wir haben hier "ubrigens formal $\hbar=1$ gesetzt und werden sp"ater
sehen, da"s die effektive Plancksche Konstante mit der L"ange des
Drehimpulsvektors verkn"upft ist.

F"ur zeitlich periodisch getriebene Systeme wie den
im Rahmen dieser Arbeit betrachteten liegt ferner eine
stroboskopische Beschreibungsweise nahe. In ihrem Rahmen interessiert man
sich f"ur den Zustand des Systems zu diskreten Zeiten im Abstand einer
Periodendauer. Die Zeitentwicklung des Systems "uber eine Periode hinweg
wird quantenmechanisch durch den unit"aren Floquetoperator $F$ beschrieben.
Wir werden seine Bedeutung in einem weiteren Paragraphen dieses Abschnitts
n"aher studieren und dann unsere Kreiselvariante vorstellen.

\subsection{Die Drehimpulsalgebra und der Hilbertraum}

Die Drehimpulsalgebra ist die generierende Algebra der Drehgruppe SU(2).
Der Hilbert\-raum der einen Drehimpuls charakterisierenden Zust"ande 
zerf"allt in die irreduziblen Darstellungsr"aume dieser Gruppe.
F"ur jeden Wert $0,\frac 12 , 1,  \frac 32, \ldots$ 
der Quantenzahl $j$ gibt
es genau eine Darstellung. In ihr ist die
L"ange des Drehimpulses zu  ${\bf J}^2=j(j+1)$ und die
Hilbertraumdimension zu $N=2j+1$ festgelegt.

Eine m"ogliche Hilbertraumbasis zu festem $j$ besteht aus den
Eigenzust"anden $|j,m\rangle$ von $J_z$, mit $m=-j,-j+1,\ldots,j-1,j$
und
\begin{eqnarray}
J_z|j,m\rangle&=&m|j,m\rangle\;,
\\
{\bf J}^2|j,m\rangle&=&j(j+1)|j,m\rangle
\;.
\end{eqnarray}

Da ${\bf J}^2$ mit jeder einzelnen Drehimpulskomponente und somit auch
mit dem Hamiltonoperator vertauscht, bildet die L"ange des
Drehimpulses eine Erhaltungsgr"o"se, ${\bf J}^2=\mbox{const}$.
Die zeitliche Entwicklung
findet somit effektiv in den irreduziblen Unterr"aumen statt,
auf die man sich bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens 
beschr"anken kann.
Die Hilbertraumdimension des
dadurch erhaltenen Systems ist endlich; Operatoren haben ein
diskretes, endliches Spektrum. Dies wird sich im Hinblick auf die semiklassische
Bestimmung des Spektrums des stroboskopischen Zeitentwicklungsoperators
als sehr vorteilhaft erweisen.

\subsection%
[Die stroboskopische Beschreibung periodisch getriebener Systeme]%
{Die stroboskopische Beschreibung periodisch getriebener\protect\\ Systeme}

Der unit"are Zeitentwicklungsoperator $U(t';t)$ beschreibt die zeitliche
Entwicklung eines Zustandes  gem"a"s
\begin{equation}
|\psi(t')\rangle=U(t';t)|\psi(t)\rangle\;.
\end{equation}
Im Falle eines $N$--dimensionalen Hilbertraums l"a"st er sich bez"uglich
einer Orthonormalbasis als unit"are $N\times N$--Matrix auffassen.
Seine Beziehung zum Hamiltonoperator ergibt sich aus der
Differentialgleichung $i\hbar\dot U(t;0)=H(t)U(t;0)$ mit der
Randbedingung $U(0;0)=\hat {1\!\!\!\:\rm I}$.
Er gehorcht zudem der Halbgruppeneigenschaft
\begin{equation}\label{eq:halbgr}
U(t'';t)= U(t'';t') U(t';t)\;.
\end{equation}
Besitzt der Hamiltonoperator $H(t)$ eine periodische Zeitabh"angigkeit,
\beq
H(t+T)=H(t)
\eeq
mit der Periode $T$, so schl"agt sich dies in der Beziehung
\beq
U(nT;0)=U^n(T;0) \equiv F^n
\eeq
f"ur den Zeitentwicklungsoperator nieder: Die Dynamik "uber mehrere
Perioden hinweg wird durch die Potenzen des Zeitentwicklungsoperators $F$
f"ur eine Periode vermittelt. Dies ist der sogenannte Floquetoperator.
In einer stroboskopischen, d.\,h.\ zeitlich diskreten Betrachtungsweise
beschreibt dieser Operator
die Entwicklung
eines Systemzustands mittels
\begin{equation}
|\psi(nT)\rangle=F^n|\psi(0)\rangle
\end{equation}
und verkn"upft so den Zustand $|\psi(nT)\rangle$
des Systems zur Zeit $nT$, $n \in {\Bbb Z}$, mit dem zur Zeit Null.

Da auch $F$ unit"ar ist, liegen seine Eigenwerte
in der komplexen Ebene auf dem Einheitskreis und lassen sich in
der Form $\exp[-i\varphi]$ schreiben.
Die reellen Eigenphasen $\varphi$ sind nur modulo $2\pi$ bestimmt; es l"a"st
sich etwa $\varphi\in[0,2\pi)$ fordern.
Wir gehen von einem Hilbertraum
endlicher Dimension $N$ aus, so da"s die Eigenwerte diskret sind; wir
numerieren die Phasen $\varphi_k$ mit dem Index $k=1,2,\ldots, N$ und
bezeichnen die zugeh"origen Eigenzust"ande mit $|\varphi_k\rangle$.
Es sei also
\beq
F|\varphi_k\rangle=
e^{-i\varphi_k}|\varphi_k\rangle\;.
\eeq
Befindet sich das System in einem
Eigenzustand des Floquetoperators,
so bleiben die Erwartungswerte $\langle \psi(nT)| \hat A|
\psi(nT)\rangle$
aller Me"sgr"o"sen $\hat A$ stroboskopisch
konstant.  Man bezeichnet die Eigenzust"ande daher auch als
"`quasistation"are Zust"ande"', die Phasen $\varphi_k$
nennt man in analoger Weise "`Quasienergien"'
und ihre Gesamtheit das "`Quasienergiespektrum"'.

\subsection{Unsere Kreiselvariante}
\label{sec:unserkreisel}

Wir betrachten einen Kreisel, der w"ahrend jeder Periode
eine Abfolge von Drehungen und Torsionen um die Koordinatenachsen
durchf"uhrt.
Er zeichnet sich f"ur allgemeine Wahl der Kopplungskonstanten
durch die Abwesenheit aller geometrischen Symmetrien
aus und ist auch nicht zeitumkehrinvariant.
Es sei bereits erw"ahnt, da"s sein klassisches Gegenst"uck im
allgemeinen einen gemischten Phasenraum besitzt und f"ur gro"se
Torsionsst"arken ausgepr"agt chaotisches Verhalten  aufweist.
Floquetoperatoren dieser Art waren aus diesem Grund
schon h"aufig Gegenstand "`quantenchaotischer"' 
Untersuchungen
\cite{Haake:Kus:1986,Haake:Kus:1987,Haake:1991,Kus:Haake:1993a,%
Kus:Haake:1993b,Gerwinski:Haake:1995,Braun:Gerwinski:1996,%
Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,%
Schomerus:1997a,Schomerus:Haake:1997}.
So lassen sich viele statistische
Eigenschaften des Quasienergiespektrums
im Rahmen der Zufallsmatrixtheorie
\cite{Haake:1991,Dyson:1962,Mehta:1991,Bohigas:Giannoni:1984}
beschreiben (siehe zum Beispiel \cite{Haake:Kus:1996}).  
Die Matrixelemente des Floquetoperators
k"onnen zudem auch auf semiklassischem Wege
bestimmt werden. So hat man bereits recht genaue semiklassisch
gen"aherte Spektren erhalten
\cite{Gerwinski:Haake:1995,Braun:Gerwinski:1996}.
Auch in dieser Arbeit werden wir uns dem
Spektrum des Floquetoperators
mittels einer semiklassischen Strategie n"ahern, allerdings
nicht "uber die Matrixelemente, sondern "uber die Spuren seiner Potenzen,
$\tr F^n$, und unter Benutzung periodischer Bahnen.

Wir wollen nun den Floquetoperator definieren und stellen dazu
erst einmal kurz seine beiden grundlegenden Bestandteile vor:
Dies sind zum einen
Drehungen um den Winkel $\beta$ bez"uglich der Achse $i=x,y,z$. Sie
werden durch den unit"aren Operator
\begin{equation}\label{eq:drehop}
R_i(\beta)=\exp\left[-i\beta J_i\right]
\end{equation}
beschrieben. (Es sei daran erinnert, da"s die Komponenten $J_i$ die
Generatoren der Drehgruppe sind.)
Zum anderen haben wir
Torsionen der St"arke $k$, worunter man 
Drehungen bez"uglich einer Achse $i$ versteht, bei denen der
Drehwinkel linear von der momentanen $i$--Komponente
des Drehimpulses abh"angt. (Wir greifen hier der klassischen
Interpretation vor.)
Der entsprechende Operator lautet
\begin{equation}\label{eq2.9}
T_i(k)=\exp\left[ -i\frac{k}{2j+1}J_i^2\right] \;.
\end{equation}
Er ist zwar kein Element der Drehgruppe, aber ein
Element der Darstellungsgruppe ${\rm U}(N)$ der unit"aren Transformationen
im Hilbertraum. Die Erzeugenden dieser Gruppe sind
die hermiteschen Operatoren,
welche wiederum die Observablen des Systems beschreiben.
Auch Potenzen und Summen hermitescher Operatoren sind hermitesch
--- der Generator von $T_i(k)$
ist daher f"ur gegebenes $j$ bzw. $N$ wohldefiniert.
Wie sich noch zeigen wird, garantiert die Skalierung der Torsionsst"arke $k$
mit $2j+1$ ein wohldefiniertes Verhalten im klassischen Grenzfall.

Unser Floquetoperator hat nun die konkrete Form
\bea
F&=&R_z(\alpha_2)T_z(k_2)
R_y(\beta_2)\cdot R_z(\alpha_1)T_z(k_1)R_y(\beta_1)
\nonumber
\\
&\equiv &\tilde F(\alpha_2,k_2;\beta_2) \cdot
\tilde F(\alpha_1,k_1;\beta_1)
\eea
und ist somit
das Produkt zweier (durch $\cdot$ voneinander abgesetzter) formal
gleicher, einfacherer Operatoren 
\bea
\tilde F(\alpha,k;\beta)&=& R_z(\alpha)T_z(k)R_y(\beta)
\nonumber
\\
&=&\exp\left[ -i\alpha J_z -i\frac{k}{2j+1}J_z^2 \right]
\exp\left[ -i\beta J_y\right]  \;.
\eea
Wir benutzen die Abk"urzung
\bea
\tilde F_i&=&\tilde F(\alpha_i,k_i;\beta_i)\;,
\eea
um an vielen Stellen Schreibarbeit zu sparen.

Sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik
vereinfacht sich durch geschickte Koordinaten- bzw. Basiswahl die 
Behandlung der (im Vergleich zu den Drehungen
komplizierteren) Torsionen erheblich.
Der Floquetoperator l"a"st sich etwa bequem in der $|j,m\rangle$--Basis
bestimmen, in der die Torsionen bereits diagonal sind.
Die Rotationsoperatoren $R_y$, auch bekannt unter dem Namen Wignersche
$d$--Matrizen, erh"alt man in dieser Basis
mit geringem Aufwand durch die Anwendung von Rekursionsformeln,
wie etwa in \cite{Braun:Gerwinski:1996} ausf"uhrlich diskutiert ist.

Auch unserem Kreisel kann man ein zeitlich kontinuierliches System
zugrundelegen. Bei der Herleitung einiger Ergebnisse wird sich dies als
nutzbringend erweisen.
Verschiedene Hamiltonoperatoren k"onnen dasselbe stroboskopische Verhalten
erzeugen. Wir verf"ugen daher "uber ein gewisses Ma"s an Freiheit.
Vorteilhaft ist die Wahl eines "`st"uckweise autonomen"'
Hamiltonoperators. Dazu unterteilen wir das Periodenintervall in vier 
Teilst"ucke 
der L"angen $T_i$ mit $\sum_{i=1}^4 T_i=T$.
W"ahrend eines jeden dieser
Zeitabschnitte soll der Hamiltonoperator zeitunabh"angig sein und abwechselnd
entweder eine lineare Drehung um die $y$--Achse oder eine
nichtlineare Drehung um die $z$--Achse beschreiben,
\beq\label{eq:qmham}
\hat H({\bf J}, t)=\left\{
\begin{array}{l@{\quad}l}
\displaystyle
\frac{1}{T_1}\beta_1 J_y&0\leq t<T_1\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_2}\left(\frac {k_1} {2j+1} J_z^2 + \alpha_1 J_z\right)
& T_1\leq t<T_1+T_2\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_3}\beta_2 J_y&T_1+T_2\leq t<T-T_3\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_4}\left(\frac {k_2} {2j+1} J_z^2 + \alpha_2 J_z\right) &
T-T_3\leq t<T
\end{array}
\right.
\;.
\eeq
Den Floquetoperator erh"alt man "uber die Halbgruppeneigenschaft
(\ref{eq:halbgr}) aus den
Operatoren $U(T_1;0)=R_y(\beta_1)$, $U(T_1+T_2;T_1)=R_z(\alpha_1)T_z(k_1)$,
$U(T-T_3;T_1+T_2)=R_y(\beta_2)$ und $U(T;T-T_3)=R_z(\alpha_2)T_z(k_2)$.

\section{Das klassische Gegenst"uck} 
\label{sec:klassischerGrenzfall}

Im klassischen Grenzfall gro"ser
Hilbertraumdimension
$2j+1\equiv 2J\to\infty$
kommutieren die Komponenten der
skalierten Gr"o"se $\hat {\bf X}={\bf J}/J$
bis auf eine verschwindende Korrektur, 
$[\hat X_k,\hat X_l]=\frac iJ\varepsilon_{klm}\hat X_m$.
Man kann sie daher als
klassische Observablen ${\bf X}=(X,Y,Z)$ auffassen.
Der Parameter $J$ spielt also
die Rolle des Inversen der Planckschen Konstanten, w"ahrend wir bereits in
(\ref{eq:drehimpulsalgebra}) formal
$\hbar=1$ gesetzt haben.
Allgemeine Eigenschaften von Systemen, deren 
klassischer Grenzfall f"ur gro"se Hilbertraumdimension erreicht wird,
sind etwa in \cite{Yaffe:1982} beschrieben.

Den direktesten Zugang zur klassischen stroboskopischen Dynamik
w"ahlt man, indem man
ins Heisenbergbild wechselt und in der stroboskopischen Quantenabbildung
$\hat {\bf X}(nT)={F^\dagger}^n\hat {\bf X}(0)F^n$ formal von den reskalierten
Drehimpulsoperatoren
$\hat {\bf X}$ zu den c--Zahlen ${\bf X}$ "ubergeht.
Die dadurch erhaltene klassische
stroboskopische Abbildung $\frak F$ "uber eine Periode setzt sich --- wie
der Floquetoperator zuvor --- aus einer Abfolge von Drehungen und
Torsionen zusammen, gem"a"s der Verkn"upfung
\beq\label{eq:abbverkn}
{\frak F}={\frak F}_z(\alpha_2,k_2)\circ {\frak F}_y(\beta_2)
\circ {\frak F}_z(\alpha_1,k_1)\circ{\frak F}_y(\beta_1)
\eeq
der Abbildungsvorschriften
\beq\label{eq:abb1}
{\frak F}_y(\beta):
\left(\begin{array}{c}
X\\ Y\\ Z
\end{array}\right)
\to \left(\begin{array}{c}
X\cos \beta+Z\sin \beta\\
Y\\
-X\sin \beta+Z\cos \beta
\end{array}\right)
\eeq
und
\beq\label{eq:abb2}
{\frak F}_z(\alpha,k):
\left(\begin{array}{c}
X\\ Y\\ Z
\end{array}\right)
\to \left(\begin{array}{c}
X\cos (\alpha+kZ)-Y\sin (\alpha+kZ)\\
X\sin (\alpha+kZ)+Y\cos (\alpha+kZ)\\
Z
\end{array}\right)\;.
\eeq
Wir wollen das klassische System nun
genauer kennenlernen und uns etwa mit der Struktur des Phasenraums
samt den dynamischen und algebraischen Eigenschaften der klassischen
Observablen n"aher besch"aftigen. Unser Ziel ist zun"achst,
kanonisch konjugierte Orte und Impulse zu identifizieren.
Ausgehend von einer bestimmten Koordinatenwahl
formulieren wir dann erneut die stroboskopische Abbildung $\frak F$. 
Schlie"slich betrachten wir Phasenraumportraits und gewinnen so einen
qualitativen Einblick in das dynamische Verhalten.
Die Untersuchung des klassischen Systems setzen wir in Kapitel
\ref{kapitel:klassisch} in Hinblick auf ein tieferes Verst"andnis seines
dynamischen Verhaltens fort.

\subsection{Der Phasenraum} 

Wie schon die quantenmechanischen Operatoren und der Hilbertraum
ist auch die geometrisch--algebraische 
Struktur des klassischen Systems
im wesentlichen durch die Drehimpulsalgebra festgelegt,
die nun $\{X,Y\}=Z$, etc., lautet.
Hier sind mit
$\{\,,\,\}$ die Poissonklammern gemeint.
Sie gehen 
in "ublicher Weise durch die Ersetzung $[\,,\,]\to \frac i J
\{\,,\,\}$ aus den Kommutatoren hervor.

Das klassische System wird weiter wie gew"ohnlich
durch eine Hamiltonfunktion $H$ und die
Bewegungsgleichungen $\dot A=\{H,A\}$ beschrieben.
Die klassische Hamiltonfunktion
\beq
H({\bf X},t)=\hat H(J{\bf X},t)/J
= \left\{
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\displaystyle
\frac{1}{T_1}\beta_1 Y &0\leq t<T_1\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_2}\left(\frac{k_1} {2} Z^2 +\alpha_1 Z\right) & T_1\leq t<T_1+T_2\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_3}\beta_2 Y&T_1+T_2\leq t<T-T_3\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_4}\left(\frac {k_2} {2} Z^2 + \alpha_2 Z\right) & T-T_3\leq t<T
\end{array}\right.
\eeq
ergibt sich dabei aus dem Hamiltonoperator (\ref{eq:qmham}) im wesentlichen
durch die Ersetzung der Operatoren durch die klassischen Observablen;
allerdings mu"s man noch mit $J$ skalieren, um einen endlichen
Ausdruck zu erhalten. Nun verstehen wir auch die Skalierung der Torsionsst"arke
$k$ im Torsionsoperator (\ref{eq2.9}) und im Hamiltonoperator (\ref{eq:qmham}).

Als Konsequenz der Erhaltung der Drehimpulsl"ange gilt ${\bf X}^2=1$.
Der Phasenraum des erhaltenen klassischen Systems
ist mithin die Oberfl"ache der Einheitskugel, $S^2$.
Wir wollen nun kanonisch konjugierte Orts- und Impulskoordinaten bestimmen.
Dazu halten wir fest,
da"s unter den Abbildungen (\ref{eq:abb1}, \ref{eq:abb2}) 
das nat"urliche Fl"achenelement
$d\Omega$ auf der Kugeloberfl"ache
erhalten bleibt. Dies gilt auch f"ur ganz allgemeine
Drehimpulsdynamiken.
Da man alle kanonischen Transformationen auch durch die zeitliche
Entwicklung eines geeigneten Systems beschreiben kann, ist
das Fl"achenelement infolgedessen eine kanonische Invariante.
In Kugelkoordinaten
\begin{equation}
{\bf X}=(\sin\vartheta \cos\varphi,
\sin\vartheta \sin\varphi,\cos\vartheta)
\end{equation}
lautet es
$d\Omega=d\varphi\wedge d\cos\vartheta$. Dies erlaubt es, den
Azimutwinkel $\varphi\equiv q$ als verallgemeinerten Ort und
die $z$--Komponente $Z=\cos\vartheta\equiv p$ von $\bf X$ als dazu kanonisch
konjugierten Impuls aufzufassen. Diese kanonischen Variablen
werden wir im folgenden immer wieder benutzen.

\subsection{Klassische stroboskopische Dynamik}

Die stroboskopische zeitliche Entwicklung
$(q_n,p_n)\equiv \Big(q(t_0+nT),p(t_0+nT)\Big)$
des klassischen Systems leitet
sich aus der Betrachtung des durch die Hamiltonfunktion
\bea\label{eq:konthamkl}
H(q,p,t)
&=& \left\{
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\displaystyle
\frac{1}{T_1}\beta_1 \sqrt{1-p^2}\sin q &0\leq t<T_1\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_2}\left(\frac{k_1} {2} p^2 +\alpha_1 p\right) & T_1\leq t<T_1+T_2\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_3}\beta_2 \sqrt{1-p^2}\sin q
&T_1+T_2\leq t<T-T_3\\[.4cm]
\displaystyle
\frac{1}{T_4}\left(\frac {k_2} {2} p^2 + \alpha_2 p\right) & T-T_3\leq t<T
\end{array}\right.
\eea
beschriebenen zeitlich kontinuierlichen Systems her.
Die L"osungen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
\beq
\parfrac{H}{p}=\dot q,\quad \parfrac{H}{q}=-\dot p
\eeq
definieren eine bijektive Abbildung des Phasenraums auf sich selbst,
\beq\label{eq:F}
{\frak F}\hoch 1:\quad (q,p) \to (q',p')\equiv {\frak F}\hoch 1 (q,p)\;,
\eeq
die f"ur gegebene Anfangsbedingungen $q$, $p$
die Endkoordinaten $q'$, $p'$ nach dem Verstreichen einer Periode $T$
liefert.
Aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgt, da"s diese Abbildung
fl"achenerhaltend ist.
Die stroboskopische zeitliche Entwicklung ergibt sich
durch wiederholte Anwendung der Abbildung (\ref{eq:F}) f"ur eine Periode,
\begin{equation}
(p_{n+1},q_{n+1}) = {\frak F}\hoch 1(p_n,q_n)\;.
\end{equation}
Die Abbildung ${\frak F}^{(n)}$
\begin{equation}
{\frak F}^{(n)}:\quad (p_0,q_0) \to (p_n,q_n)= {\frak F}^{(n)}(p_0,q_0)
\end{equation}
beschreibt die Dynamik
"uber $n$ Perioden hinweg und ergibt sich durch die $n$--fache Anwendung
der ein--Schritt--Abbildung gem"a"s der Verkn"upfung
${\frak F}^{(n)}={\frak F}^{(n-1)}\circ {\frak F}^{(1)}$.

Bei der Kreiselvariante setzt sich die
Abbildung ${\frak F}^{(1)}=\tilde {\frak F}_2
\circ \tilde {\frak F}_1$ in Analogie
zum Floquetoperator erneut aus zwei einfacheren Teilschritten 
\beq\label{eq:tildefkla}
\tilde {\frak F}_i\equiv\tilde {\frak F}(\alpha_i,k_i;\beta_i):
(q,p)\to\Big(\tilde q(q,p), \tilde p(q,p)\Big)\equiv \tilde {\frak F}_i(q,p)
\eeq
zusammen, mit
\bea\label{eq:tildepkla}
\tilde p(p,q)&=&p \cos \beta - \sqrt{1-p^2}\cos q \sin \beta\;,\\
\tilde q(p,q)&=&
\arg \left[\sqrt{1-p^2}(\cos q \cos \beta+i\sin q)+ p \sin \beta \right]
+ \alpha+k\tilde p(p,q)
\,. \label{eq:tildeqkla}
\eea

\begin{figure}
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/grid.ps}}
\vspace*{1cm}
\caption[
Wirkung kombinierter Teilschritte aus Rotationen und
Torsionen auf den Phasenraum
]{Wirkung kombinierter Teilschritte aus Rotationen und
Torsionen auf den Phasenraum in den kanonischen Variablen $q=\varphi$
und $p=Z$. (a) Die Ausgangsstruktur entspricht L"angen- und
Breitengraden auf dem Globus mit Nord- und S"udpol auf der $z$--Achse.
Die Strukturen in den Bildern (b)--(f) resultieren aus (a) vermittels
der Anwendung folgender Abbildungsvorschriften
[vgl. Gln. (\protect\ref{eq:abbverkn}--\protect\ref{eq:abb2}),
(\protect\ref{eq:tildefkla}--\protect\ref{eq:tildeqkla})]:
(b) ${\frak F}_z(0.8,2.5)$: Torsion mit St"arke
$2.5$ und Drehung um den Winkel $0.8$ bez"uglich der $z$--Achse.
(c) ${\frak F}_y(1.0+\frac \pi 2)$: Rotation bez"uglich der $y$--Achse.
(d) ${\frak F}_z(0.8,0)\circ {\frak F}_y(1.0+\frac\pi 2) \circ
{\frak F}_z(0.3,0) \circ
{\frak F}_y(-\frac \pi 2)$: Diese Kombination verschiedener Drehungen ist 
selbst eine Drehung und entspricht in der Parametrisierung
(\protect\ref{eq:parakreisel})
des Abschnitts \protect\ref{sec:praumports} dem Fall $k=0$. 
(e) Der Fall $k=2.5$ in der Parametrisierung
(\protect\ref{eq:parakreisel}).
(f) entsteht aus (e) durch nochmalige Anwendung der Abbildung
(\protect\ref{eq:parakreisel}) mit erneut $k=2.5$.
}
\label{abb:grid}
\end{figure}

Abbildung \ref{abb:grid} illustriert die Wirkung verschiedener
Kombinationen von Drehungen und Torsionen
auf ein Gitter im Phasenraum.

\subsection{Eine Reise von Integrabilit"at zu ausgepr"agtem Chaos}

\label{sec:praumports}

Ein durch einen einzelnen Dreh- oder Torsionsterm beschriebener
Kreisel verh"alt sich regul"ar, 
da er auch als stroboskopisch betrachtetes System mit autonomer
Hamilton\-funk\-tion
betrachtet werden kann.
In der Kombination von Drehungen und Torsionen jedoch zeigt sich im
allgemeinen irregul"ares, nichtintegrables Verhalten.
Um dies zu veranschaulichen, w"ahlen wir feste Werte der Drehwinkel,
$\beta_1=-\frac\pi 2$, $\alpha_1=0.3$, $\beta_2=1.0+\frac\pi 2$,
$\alpha_2=0.8$, und fassen $k\equiv
k_2=10\,k_1$ als einen frei verf"ugbaren Kontrollparameter auf.
Wir betrachten
also die Abbildung 
\beq\label{eq:parakreisel}
{\frak F}(k)=\tilde {\frak F}\left(0.8, k; 1.0+\frac \pi 2\right)\circ
\tilde {\frak F}\left(0.3,0.1 k;-\frac \pi 2\right)\;,
\eeq
sp"ater auch den zugeh"origen Floquetoperator
\beq\label{eq:parakreiselqm}
F(k)=\tilde F\left(0.8, k; 1.0+\frac \pi 2\right)
\tilde F\left(0.3,0.1 k;-\frac \pi 2\right)\;.
\eeq
F"ur $k=0$ beschreibt ${\frak F}$ eine gew"ohnliche Drehung,
f"ur die gew"ahlten Parameter um den Winkel 
\beq\label{eq:p0}
\Omega=1.1936\ldots
\eeq
bez"uglich der
Achse
\beq\label{eq:drehachse}
\tilde {\bf X}=(0.114\ldots,-0.868\ldots,-0.484\ldots)\;.
\eeq
Die Projektion des Drehimpulses auf $\tilde
{\bf X}$ bleibt konstant;
die stroboskopischen Trajektorien folgen den dadurch 
festgelegten kreisf"ormigen H"ohenlinien.

\begin{figure}
\ifplots
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/praum.ps}}
\else
\centerline{\epsfxsize15.5cm\epsfbox{abb/praumbox.ps}}
\fi
\vspace{1cm}
\caption{Phasenraumportraits des periodisch getriebenen Kreisels}
\label{abb:1}
\end{figure}

In Abbildung \ref{abb:1} wird oben links die Situation f"ur $k=0$
anhand eines
Phasenraumportraits verdeutlicht. Es ergibt sich,
wenn man das Schicksal des Systems aus
verschiedenen Anfangsbedingungen heraus eine endliche Zeit lang
beobachtet. Man erh"alt den Eindruck sehr regul"aren Verhaltens.
Die Trajektorien winden sich auf den H"ohenlinien 
um die beiden Punkte
$\pm \tilde {\bf X}$, an denen die Drehachse die Einheitskugel
durchst"o"st. Sie bilden die Fixpunkte der klassischen Abbildung.

F"ur leicht von $0$ verschiedenes $k$, etwa bei $k=0.1$,
ergibt sich eine interessante
Interferenzstruktur, die aus der Modulation der H"ohenlinien zu
verstehen ist.
Das Phasenraumportrait 
f"ur $k=1.2$ wirkt hingegen "uberaus komplex.
Man erkennt, da"s die Fixpunkte
ein St"uck gewandert und nur noch in gewissem Ma"se von
geschlossenen Linien umgeben sind.
Es gibt einen Streifen
irregul"aren Verhaltens, der sich um eine Vielzahl kleiner Inseln
windet.
Tats"achlich gibt es eine Unzahl von Strukturen, die in der gew"ahlten
Aufl"osung nicht sichtbar sind.
So finden sich auch in den scheinbar
regul"aren Bereichen irregul"are Streifen auf jeder beliebigen
Gr"o"senskala und in diesen wiederum kleine Stabilit"atsinseln.
Das System befindet sich hier im "Ubergangsbereich  vom nahezu
integrablen Fall zum gemischten Phasenraum.

F"ur gr"o"sere Torsionsst"arke $k=2.5$ hat sich irregul"ares Verhalten
bereits weit ausgedehnt und dominiert schon den
Phasenraum. Zumindest drei regul"are Bereiche sind jedoch noch gut
zu erkennen: Der Phasenraum ist gemischt.

Erh"oht man die Torsionsst"arke weiter, 
so bleibt von den regul"aren Inseln nicht mehr viel "ubrig,
obwohl es tats"achlich weiterhin unendlich viele von ihnen gibt. Sie sind
jedoch alle sehr wenig ausgedehnt. Man spricht hier von gut ausgepr"agtem Chaos.

Der streng chaotische Fall, in dem alle Stabilit"atsinseln tats"achlich
verschwunden sind, wird allerdings selbst f"ur beliebig gro"se
Torsionsst"arken nicht erreicht.

Im folgenden Kapitel werden die Ursachen, die zu den
hier sichtbar gewordenen qualitativen Unterschieden in der Dynamik
f"uhren, ausf"uhrlich geschildert.
