\chapter{Einleitung und "Ubersicht}
\label{kap:einleitung}
\pagenumbering{arabic}
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Semiklassische Methoden sind seit jeher
ein fester Bestandteil der Quantenmechanik.
Um mit ihnen Informationen "uber ein
quantenmechanisches System zu erhalten, 
macht man sich Kenntnisse "uber das klassische
Gegenst"uck zunutze.
Von besonderem Interesse sind Eigenschaften des Energiespektrums, etwa
die Lage der Energieniveaus, aber auch ihre statistischen Korrelationen.
Manche dieser  Eigenschaften sollten im semiklassischen Grenzfall, in
dem die
Plancksche Konstante gegen Null geschickt wird, gut beschrieben werden.

Die Quantisierungsvorschrift von Bohr und Sommerfeld, die noch aus der
Zeit vor der eigentlichen Formulierung der Quantenmechanik stammt,
beruht bereits auf der in der Semiklassik so fundamentalen 
Wirkung und erscheint im R"uckblick als eine
semiklassische Technik zur Festlegung der Eigenenergien integrabler
Systeme. 
Eine saubere Formulierung findet sie in der Einstein--Brillouin--Keller
(EBK)--Quantisierung
\cite{Einstein:1917,Brillouin:1926,Keller:1958,Maslov:1972}.
Auch in der Folgezeit 
war das Interesse an einer vertieften Kenntnis des
Zusammenhangs zwischen klassischer und Quantenmechanik gro"s.
Arbeiten etwa von 
Van Vleck \cite{VanVleck:1928} und
Dirac \cite{Dirac:1947} "uber den Propagator
waren nicht nur zum Verst"andnis der Quantenmechanik von Bedeutung,
sondern auch f"ur ihre Weiterentwicklung
(siehe dazu \cite{Berry:Mount:1972}; man denke zudem an Pfadintegrale
\cite{Feynman:Hibbs:1965,Schulman:1981}).
Sie sind der Ausgangspunkt f"ur "Uberlegungen, die Gutzwiller
schlie"slich zur Formulierung einer bemerkenswerten Beziehung
f"ur Systeme mit einem chaotischen klassischen Verhalten leiteten
\cite{Gutzwiller:1971,Gutzwiller:1990}.

In ihr wird die spektrale Dichte $d(E)=\sum_i\delta(E-E_i)$ der
Energieniveaus als Summe individueller
Beitr"age {\em periodischer Bahnen} ausgedr"uckt, solcher Trajektorien
also, die mit einer gewissen Periode immer wieder zum selben Punkt im
Phasenraum zur"uckkehren.
Da in der Herleitung der Beziehung die Spur der
Resolventen $\frac {1}{\hat H-E}$ auftritt, nennt man sie auch {\em
Gutzwillersche Spurformel}.
Eine "ahnliche Beziehung wurde von Tabor
f"ur zeitlich periodisch getriebene Systeme formuliert.
Bei diesen setzt sich die Spur des Zeitentwicklungsoperators
aus Beitr"agen periodischer Bahnen zusammen
\cite{Tabor:1983,Junker:Leschke:1992}.

Da die Komplexit"at chaotischer Systeme erst im Verlauf der sechziger
Jahre im vollen Ausma"s in den Blickpunkt geriet, mag es verwundern, da"s die
analoge Verkn"upfung f"ur integrable Systeme
erst nach Gutzwillers Entdeckung
von Balian und Bloch \cite{Balian:Bloch:1972}    
sowie Berry und Tabor \cite{Berry:Tabor:1976,Berry:Tabor:1977}
gefunden wurde (siehe auch \cite{Richens:1982}).

Ist der Kreis damit ganz geschlossen? Tats"achlich hat man einen weiten Bogen
geschlagen. Ausgangspunkt sind die integrablen Systeme und die
EBK--Quan\-ti\-sierungs\-vor\-schrift 
sowie die
analoge WKB--N"aherung der Wellenfunktion. Dies f"uhrt
dann "uber den semiklassischen Van--Vleck--Propagator
zur Quantisierung global chaotischer (hyperbolischer) Systeme.
Nun sind dies jedoch zwei Ecksteine, zwischen denen sich das Terrain
auszuloten lohnt, denn in der Regel wird man es weder mit der einen noch
mit der anderen Klasse von Systemen zu tun haben.
Typisch sind Systeme mit einer Dynamik irgendwo zwischen v"ollig
regul"arem und chaotischem Verhalten \cite{Markus:Meyer:1974}.

Das Terrain besteht aus den
Systemen mit gemischtem Phasenraum,
denen in dieser Arbeit unser besonderes Interesse gilt.
Ihre Dynamik ist durch das
Zusammenspiel regul"arer und chaotischer Bereiche im Phasenraum
gepr"agt. Dies f"uhrt zu reichhaltigen Strukturen, die auch bei
der Suche nach den semiklassischen Eigenenergien beachtet werden
m"ussen. F"ur solche Systeme wurden bis dato semiklassisch nur {\em
Modulationen\/}
des Spektrums "uber den Abstand vieler Energieniveaus erfolgreich 
erkl"art. Unser Ziel ist die  Berechnung {\em
vollst"andiger\/} Spektren mit gr"o"stm"oglicher Aufl"osung.

Wir beginnen
mit der Betrachtung eines speziellen Systems, des
periodisch getriebenen Kreisels (Kapitel \ref{kapitel:kreisel})
\cite{Haake:Kus:1986,Haake:Kus:1987,Haake:1991,Kus:Haake:1993a,%
Kus:Haake:1993b,Gerwinski:Haake:1995,Braun:Gerwinski:1996,%
Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,%
Schomerus:1997a,Schomerus:Haake:1997}. 
Damit haben wir ein System zur Hand, an dem wir sowohl 
quantenmechanische als auch semiklassische und klassische
Eigenschaften untersuchen und miteinander verkn"upfen k"onnen.
Der Kreisel beruht auf der Dynamik eines periodisch getriebenen
Drehimpulses.
Die Quantenmechanik spielt sich in den Darstellungen der
Drehimpulsalgebra ab. Sie werden durch die Quantenzahl $j$
charakterisiert.
In jeder Darstellung ist der Hilbertraum von
endlicher Dimension $2j+1$.
In der Semiklassik spielt $(j+\frac 12)^{-1}$ die Rolle der effektiven Planckschen
Konstanten.
Im Grenzfall unendlicher Darstellungsdimension
erh"alt man das klassische System. Es hat einen Freiheitgrad und besitzt
die Oberfl"ache der Einheitskugel als Phasenraum.
Wegen der Periodizit"at der den Kreisel
treibenden Kraft steht f"ur uns vor allem seine stroboskopische
Zeitentwicklung im Vordergrund. Quantenmechanisch wird sie
durch den Floquetoperator beschrieben. Er ist der
Zeitentwicklungsoperator "uber eine Periode.
Klassisch reduziert sich die Beschreibung auf eine 
Abbildung des Phasenraums auf sich selbst.
In der in dieser Arbeit 
betrachteten Variante erf"ahrt der Drehimpulsvektor eine Abfolge
linearer und nichtlinearer Drehungen um die Koordinatenachsen.
Wir parametrisieren das System so, da"s sich der "Ubergang von
integrabler Dynamik hin zu ausgepr"agtem Chaos vollziehen l"a"st.
Einen ersten Einblick in die Natur der Dynamik geben
Phasenraumportraits.

Im Mittelpunkt unserer Anstrengungen steht das Energiespektrum.
Es soll semiklassisch aus den Eigenschaften
der periodischen Bahnen
gewonnen werden. Daher besch"aftigen wir uns im dritten Kapitel
mit den mit diesen Bahnen
verbundenen Aspekten der klassischen Mechanik.
Die Bahnen werden durch vier kanonisch invariante Gr"o"sen  beschrieben,
und zwar ihre Wirkung, ihren Stabilit"atsfaktor, den Maslovindex
und schlie"slich ihre Periode. Sie sind alle mit den Erzeugenden der
stroboskopischen zeitlichen Entwicklung verkn"upft. Diese Funktionen
beschreiben die Dynamik in der Form einer kanonischen Transformation von
den End- zu den Anfangskoordinaten. Neben den allgemeinen Zusammenh"angen
werden auch die f"ur den Kreisel spezifischen Ausdr"ucke
bereitgestellt.

Ausgangspunkt f"ur die ausf"uhrliche Untersuchung des dynamischen Verhaltens
ist die klassische St"orungstheorie
\cite{Ozorio:1988,Meyer:Hall:1992,Lichtenberg:Lieberman:1992}.
So lassen sich etwa die im Phasenraumportrait vorgefundenen Kennzeichen
regul"arer oder irregul"arer Dynamik erkl"aren, wobei man weit
"uber ein qualitatives  Verst"andnis hinaus gelangt.
Die Vorgehensweise ist recht allgemein gehalten. Es werden die
charakteristischen Eigenschaften der Bahnen behandelt und ihr
Wechselspiel im Phasenraum genauer untersucht.
Der Phasenraum integrabler Systeme ist von Tori ausgef"ullt.
Schon der
"Ubergang zu schwacher Nichtintegrabilit"at
mit dem wohlbekannten Auseinanderbrechen der rationalen Tori
l"a"st sich st"orungstheoretisch
behandeln.
Auf dem weiteren Weg zum Chaos  spielen
insbesondere Bifurkationen eine Rolle. Bei diesen Ereignissen
treffen mehrere periodische Bahnen in Abh"angigkeit
einer Kopplungsst"arke (oder der Energie in autonomen Systemen)
im Phasenraum aufeinander.
Man klassifiziert sie anhand der
Kodimension und dem Verh"altnis der Perioden der beteiligten Bahnen.
F"ur allgemeine Systeme 
trifft man typischerweise auf die von Meyer und
Bruno aufgesp"urten
Bifurkationen der Kodimension eins
\cite{Meyer:1970,Bruno:1970,Bruno:1972}. 
F"ur jeden Bifurkationstyp lassen sich Normalformen f"ur
die Hamiltonfunktion und die Erzeugende angeben, die das
Verhalten der Bahnen in der N"ahe der Bifurkation
beschreiben \cite{Ozorio:1988,Ozorio:Hannay:1987}.
Wir ber"uhren auch die Frage nach dem G"ultigkeitsbereich
der St"orungsentwicklung
\cite{Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,Sieber:1996a}.
Sequenzen einfacher
Bifurkationen werden wir durch Bifurkationen
h"oherer Kodimension beschreiben
\cite{Sadovskii:Shaw:1995,Sadovskii:Delos:1996,Schomerus:1997a}.
Zum Abschlu"s von Kapitel \ref{kapitel:klassisch} suchen wir die
einfachsten Bifurkationen des Kreisels auf und
konstruieren aus ihnen die k"urzesten periodischen Bahnen in einem gewissen
Parameterbereich. 

Im vierten Kapitel "ubersetzen wir die gewonnenen
Einsichten aus der klassischen Dynamik in semiklassische Beitr"age zur
Spur des Floquetoperators. In den Spuren der Potenzen des
Operators sind seine Eigenwerte und damit
die Niveaus des Systems kodiert. Der Zugriff erfolgt
"uber das charakteristische Polynom. Zu dessen Konstruktion ziehen wir
die "uberaus hilfreiche Selbstinversit"atsbeziehung
\cite{Bogomolny:Bohigas:1992} heran.
Als Startpunkt zur Bestimmung der Spuren dient ein
Ausdruck in der Form eines Integrals "uber den klassischen Phasenraum.
Er leitet sich aus der Van--Vleck--N"aherung des Floquetoperators her.
Das Integral wird weiter mittels der Methode
des st"arksten Abklingens des Integranden behandelt
\cite{Copson:1965,Fedoryuk:1989}.
Diese hat ihren
Ursprung in der Theorie asymptotischer Entwicklungen und
beruht auf einer Deformation der Integrationsmannigfaltigkeit ins
Komplexe. Die
Hauptbeitr"age zum Integral lassen sich auf Integrationsgebiete
in der Umgebung periodischer Bahnen  zur"uckf"uhren. Auch periodische
Bahnen mit komplexen Koordinaten, sogenannte Geister, tauchen dabei auf
\cite{Kus:Haake:1993b,Balian:Bloch:1974}.
In diesem Zusammenhang werden zudem globale Bifurkationen wichtig, und
zwar in der Form von Stokes"uberg"angen, bei denen Geister von der
Integrationsmannigfaltigkeit wegwandern \cite{Berry:1989,Boasman:Keating:1995}.

F"ur hinreichend weit voneinander entfernte
Bahnen f"uhrt eine N"aherung nach der Methode der
station"aren Phase
zu den von Gutzwiller angegebenen "`isolierten"' Beitr"agen.
In der N"ahe einer Bifurkation mu"s man auf die Normalformen aus Kapitel
\ref{kapitel:klassisch}
zur"uckgreifen und erh"alt dann kollektive Beitr"age bifurkierender
Bahnen in Form sogenannter Diffraktionsintegrale.
In einer ersten Stufe wird man auf die lokalen N"aherungen von
Ozorio de Almeida und Hannay gef"uhrt \cite{Ozorio:1988,Ozorio:Hannay:1987}.
Sie sind in unmittelbarer N"ahe zur Bifurkation brauchbar, versagen
jedoch mit wachsender Entfernung sowie im semiklassischen Grenzfall.
Der Schl"ussel zu Ausdr"ucken mit einem sinnvollen
semiklassischen Verhalten in beliebiger Entfernung zur Bifurkation
liegt in der Konstruktion gleichf"ormiger
N"aherungen. Dabei mu"s man sich die Normalformen nochmals genauer
anschauen und auch Terme h"oherer Ordnung in der St"orungsentwicklung 
betrachten. Die Beitr"age
lassen sich in vielen F"allen sogar in eine
geschlossene Form bringen und sind ansonsten mittels numerischer
Methoden zug"anglich
\cite{Schomerus:Sieber:1997a,Sieber:Schomerus:1997a,Sieber:1996a}.
Die Normalformen und Diffraktionsintegrale
stehen in enger Beziehung zur Katastrophentheorie, die bei unseren
"Uberlegungen h"aufig im Hintergrund steht
\cite{Thom:1975,Duistermaat:1974,Connor:1976,Berry:1976,Poston:Stewart:1978,%
Arnold:1994}.

Im numerischen 
Kapitel \ref{kapitel:ergebnisse} werden die Beitr"age zun"achst im Detail
anhand des Kreisels getestet. Als Testwerkzeug benutzen wir das
sogenannte Wirkungsspektrum. So lassen sich einzelne Beitr"age individuell
auf ihre G"ute hin untersuchen.
Es zeigt sich, da"s die verschiedenen
Beitr"age in der  gleichf"ormigen N"aherung hinreichend gro"ser
Kodimension von guter Qualit"at sind.
Sie sind 
in der Regel mit einem Fehler
der Ordnung der effektiven Planckschen Konstanten $(j+\frac 12)^{-1}$
versehen. Die lokalen N"aherungen versagen ebenso wie die isolierte
N"aherung nach Gutzwiller.

Dann trauen wir uns an
die Spuren des Floquetoperators 
heran. Wie beim Wirkungsspektrum untersuchen wir 
sowohl den gesamten "Ubergang von Integrabilit"at zu ausgepr"agtem Chaos
als auch den semiklassischen Grenzfall im Detail. Insbesondere zeigen
wir im Vergleich verschiedener Stufen der semiklassischen N"aherung,
da"s die unternommenen Anstrengungen unausweichlich sind. In den besten
N"aherungen,
den gleichf"ormigen 
N"aherungen mit hinreichend gro"ser Kodimension,
wird man zum Trost zu guten Ergebnissen
gef"uhrt. 

Aus den Spuren lassen sich schlie"slich die 
Energieniveaus bestimmen.
Wir erlangen Resultate f"ur die Quantenzahlen
$j=\frac 12, 1,\frac 32,\ldots,3$.
In den aufwendigsten N"aherungen stimmen
sie gut mit den exakten "uberein. Die mittlere Abweichung der Energien
betr"agt nur wenige Prozent ihres typischen Abstands.
F"ur zwei integrable Kreiselvarianten stimmen die semiklassischen
Spuren und Niveaus sogar mit den exakten "uberein.
 
Die Ergebnisse werden im abschlie"senden sechsten Kapitel
diskutiert. Dort werden insbesondere offene Fragen zur Sprache gebracht.
Die spannendste ist sicher, wie sich die G"ute des Spektrums und der zu
seiner Gewinnung zu betreibende Aufwand
im weiteren Zusteuern auf den klassischen Grenzfall
verh"alt.
