Kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen 89

= \frac{1}{2}Γ (\frac{n + 1}{2}) δ^{− \frac{n+1}{2}} F (\frac{n + 1}{4}, \frac{n + 3}{4}; 1; −\frac{β^{2}}{δ^{2}} )

= \frac{1}{2}δ^{− \frac{n+1}{2}} ∑_{m=0}^{∞} 2^{−2m} (−\frac{β^{2}}{δ^{2}} )^{m} \frac{Γ (\frac{n+1}{2} + 2m)}{(m!)^{2}} .  (4.93)

Es treten hier Gaußsche hypergeometrische Funktionen

F (α, β; γ; z) = ∑_{m=0}^{∞} \frac{(α)_{m}(β)_{m}}{(1)_{m}(γ)_{m}} z^{m} (4.94)

mit den Pochhammerpolynomen

(x)_{m} = ∏_{l=0}^{m−1}(x + l) = \frac{Γ(m + x)}{Γ(x)} (4.95)

auf. Im letzten Schritt von (4.93) haben wir die Eigenschaft

Γ(2x) = \frac{2^{2x−1}}{\sqrt{π}} Γ(x)Γ (\frac{1}{2} + x) (4.96)

der Gammafunktion benutzt. Das Endresultat lautet

𝔎_{ν} = \frac{1}{2} ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(iγ)^{n}}{(−iα)^{\frac{n+ν+1}{2}}} (\frac{β}{2α})^{2m} \frac{Γ (\frac{n+ν+1}{2} + 2m)}{n!(m!)^{2}} . (4.97)

Der Konvergenzradius ist |β/α| = |b/a| < 1. Man kann oben auch

F (\frac{n + 1}{4}, \frac{n + 3}{4}; 1; \frac{β^{2}}{α^{2}} ) = (1 − \frac{β^{2}}{α^{2}} )^{−(n+1)/4} P_{(n−1)/2} ((1 − \frac{β^{2}}{α^{2}} )^{−1/2}) (4.98)

heranziehen, muß dann aber Legendrefunktionen P_{ν}(x) für x > 1 auswerten. Viele numerische Standardroutinen kann man jedoch nur für |x| < 1 verwenden.

Im Falle |a| < |b| benutzen wir die Formeln 6.699.1 und 6.699.2 in [82],

∫_{0}^{∞} x^{n}J_{0}(x^{2}) exp [iαx^{2}] dx  (4.99)

= 2^{(n−3)/2} \frac{Γ (\frac{1+n}{4})}{Γ (\frac{3−n}{4})}F (\frac{1 + n}{4}, \frac{1 + n}{4}; \frac{1}{2}; α^{2}) + i2^{(n−1)/2}α\frac{Γ (\frac{3+n}{4})}{Γ (\frac{1−n}{4})}F (\frac{3 + n}{4}, \frac{3 + n}{4}; \frac{3}{2}; α^{2})

= \sqrt{\frac{2^{n−3}}{π}} ∑_{m=0}^{∞} \frac{α^{2m}}{m!} [sin (\frac{1 + n}{4}π) \frac{Γ^{2} (\frac{1+n}{4} + m)}{Γ (\frac{1}{2} + m)} + iα cos (\frac{1 + n}{4}π) \frac{Γ^{2} (\frac{3+n}{4} + m)}{Γ (\frac{3}{2} + m)}] ,