88 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

Die Normalform der Erzeugenden ist in (3.140) angegeben. Die Koeffizienten ε, a, b und S_{0} sind durch die Wirkungen der drei Orbits und den Stabilitätsfaktor der zentralen Bahn festgelegt. Nach einer seitenfüllenden Rechnung, in der man zunächst aus den Termen höherer Ordnung in der Normalform der Hamiltonfunktion die erweiterte Form der Erzeugenden bestimmt und dann die zusätzlichen Terme in der Umgebung der bifurkierenden Bahnen wieder wegtransformiert, erhält die Amplitude die einfache Gestalt

A(q′, p) = 1 + \frac{c}{2}(q^{′2} + p^{2}) + \frac{d}{4}(q^{′2} + p^{2})^{2} . (4.88)

Mit der Ersetzung q′ = \sqrt{2I} sin φ′, p = \sqrt{2I} cos φ′ lautet der kollektive Beitrag also

ℐ_{gleichf}^{(4)} = J ∫_{0}^{∞} dI (1 + cI + dI^{2})J_{0} (J|b|I^{2}) exp [iJ(S_{0} − εI − aI^{2}) − i\frac{π}{2} μ̂] .(4.89)

Im Grenzfall großer skalierter Wirkungsdifferenzen JΔS → ∞ führt er auf eine Summe dreier isolierter Beiträge (4.48). Die semiklassischen Amplituden der Satelliten sind

A_{±} = (1 + cI_{±} + dI_{±}^{2}) |8b\frac{ε^{2}}{a ± b}|^{−1/2} (4.90)

mit I_{±} aus (3.141). Setzt man dies mit den Ausdrücken (4.49) gleich, kann man c und d durch die Lösung des daraus folgenden linearen Gleichungssystems gewinnen und hat damit alle Koeffizienten durch die kanonisch invarianten Größen der periodischen Bahnen festgelegt. Dies gelingt auch für komplexe Satelliten, die im Falle der Periodenvervierfachung reelle Wirkungen und Stabilitätsfaktoren haben.

Das Integral (4.89) läßt sich nur in Sonderfällen in geschlossener Form angeben [27]. Man kann es jedoch numerisch auswerten. Als nützlich haben sich Reihendarstellungen erwiesen. Für |a| > |b| entwickeln wir das Integral vom Typ

𝔎_{ν} ≡ ∫_{0}^{∞} x^{ν}J_{0}(βx^{2}) exp[iγx + iαx^{2}] dx (4.91)

mit ν = 0, 1, 2 in einer zweiparametrigen Taylorreihe um γ = 0, β/α = b/a = 0. Die Entwicklung um γ = 0 führt auf

𝔎_{ν} = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{∞} \frac{(iγ)^{n}x^{n+ν}}{n!} J_{0}(βx^{2}) exp[iαx^{2}] dx  (4.92)

und damit auf Integrale, die sich mittels einer analytischen Fortsetzung mit δ = −iα über die Formel 6.621.1 in [82] auswerten lassen,

∫_{0}^{∞} x^{n}J_{0}(βx^{2}) exp[−δx^{2}] dx = \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} z^{\frac{n−1}{2}} J_{0}(βz) exp[−δz] dz