Kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen 87

4.5.3 Periodenverdreifachungen (m = 3)

Zur Herleitung der Normalform der Amplitude benutzt man am besten kartesische Koordinaten q′, p und erhält

A(q′, p) = 1 + \frac{b}{2}(q^{′2} + p^{2}) (4.83)

mit

b = \frac{27}{4} \frac{a^{2}}{|ε|} (\frac{A_{1}}{\sqrt{3}} − A_{0}) . (4.84)

Nach der Variablentransformation q′ = \sqrt{2I} sin φ′, p = \sqrt{2I} cos φ′ erhält man

ℐ_{gleichf}^{(3)} = ∫ \frac{dI dφ′}{2π/J} (1 + bI) exp [−iJ [εI + aI^{3/2} cos(3φ′)] − i\frac{π}{2} μ̂] . (4.85)

Hier ergibt die Integration über φ′ ein Besselfunktion J_{0}. Auch das verbleibende Integral

ℐ_{gleichf}^{(3)} = J ∫_{0}^{∞} dI (1 + bI)J_{0} (JaI^{3/2}) exp [−iJεI − i\frac{π}{2} μ̂] (4.86)

läßt sich auswerten und ergibt erneut Besselfunktionen. Der konstante Term in A(I, φ′) führt auf Besselfunktionen der Ordnung ±1/6. Der veränderliche Term liefert einen Beitrag in der Form einer Ableitung des ersten Terms nach ε, wodurch Besselfunktionen der Ordnung ±5/6 hinzukommen. Das Endresultat lautet mit den Abkürzungen analog zu (4.77) und σ = sign (ΔS)

ℐ_{gleichf}^{(3)} = \sqrt{2πJ|ΔS|} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν_{0}]

× \{(\frac{A_{0}}{2} + \frac{A_{1}}{2\sqrt{3}}) [J_{−1/6} (J|ΔS|) + iσJ_{1/6} (J|ΔS|)]

− (\frac{A_{0}}{2} − \frac{A_{1}}{2\sqrt{3}}) [J_{−5/6} (J|ΔS|) + iσJ_{5/6} (J|ΔS|)]\} .  (4.87)

Es zerfällt erneut für J → ∞ in die gewünschte Summe dreier Beiträge (4.48).

4.5.4 Periodenvervierfachungen (m = 4)

Die Periodenvervierfachung ist die einzige Bifurkation mit Kodimension eins, für die sich die gleichförmige und die lokale Näherung des kollektiven Beitrags der bifurkierenden Bahnen nicht in geschlossener Form angeben läßt. Die auftretenden Integrale lassen sich nur numerisch lösen, indem man etwa auf eine der unten angegebenen Reihendarstellungen zurückgreift.