86 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

und drücken die Koeffizienten im Endresultat durch diese Größen und A_{0,1} aus. Damit erhalten wir

ℐ_{gleichf}^{(2)} = |\frac{πJΔS}{2} |^{1/2} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν̄]  (4.78)

× \{(\frac{A_{1}}{2} + \frac{A_{0}}{\sqrt{2}}) [σ_{2}J_{1/4} (J|ΔS|) e^{iσ_{1}π/8} + J_{−1/4} (J|ΔS|) e^{−iσ_{1}π/8}]

+ (\frac{A_{1}}{2} − \frac{A_{0}}{\sqrt{2}}) [J_{3/4} (J|ΔS|) e^{iσ_{1}3π/8} + σ_{2}J_{−3/4} (J|ΔS|) e^{−iσ_{1}3π/8}]\} .

Hier ist σ_{1} = sign (ΔS). Weiter gilt σ_{2} = 1 auf der Seite der Bifurkation, auf der der Satellit reelle Koordinaten hat; auf der anderen Seite ist σ_{2} = −1.

Beschränkt man sich auf die Terme mit Besselfunktionen der Ordnung ±1/4, so erhält man die lokale Näherung

ℐ_{lokal}^{(2)} = |\frac{πJΔS}{2} |^{1/2} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν̄]  (4.79)

× (\frac{A_{1}}{2} + \frac{A_{0}}{\sqrt{2}}) [σ_{2}J_{1/4} (J|ΔS|) e^{iσ_{1}π/8} + J_{−1/4} (J|ΔS|) e^{−iσ_{1}π/8}] .

Ist der Satellit reell, so hat sie das asymptotische Verhalten

ℐ_{lokal}^{(2)} ∼ (\frac{A_{0}}{2} + \frac{A_{1}}{2\sqrt{2}}) exp [iJS_{0} − i\frac{π}{2} ν_{0}] + (\frac{A_{0}}{\sqrt{2}} + \frac{A_{1}}{2} ) exp [iJS_{1} − i\frac{π}{2} ν_{1}] (4.80)

für J → ∞. Die semiklassischen Amplituden der dann isoliert erscheinenden Bahnen sind also miteinander verknüpft: Der Beitrag eines reellen Satelliten ist um \sqrt{2} größer als der des zentralen Orbits. Dies ist eine Konsequenz der Stabilitätsbeziehung (3.119). Die gleichförmige Näherung verhält sich hingegen bei einem reellen Satelliten wie

ℐ_{gleichf}^{(2)} ∼ A_{0} exp [iJS_{0} − i\frac{π}{2} ν_{0}] + A_{1} exp [iJS_{1} − i\frac{π}{2} ν_{1}] . (4.81)

Sie führt demnach auf völlig unabhängige Beiträge der beiden Bahnen.

Es zeigt sich ferner in beiden Näherungen, daß ein Geistersatellit im betrachteten Grenzfall gänzlich irrelevant ist. Asymptotisch tritt nämlich auf der anderen Seite der Bifurkation nur der erste Term in (4.80) und (4.81) auf; so hat man etwa

ℐ_{gleichf}^{(2)} ∼ A_{0} exp [iJS_{0} − i\frac{π}{2} ν_{0}] . (4.82)

Ein anderes Verhalten ist nicht zu erwarten, da der Geist aus einer Periodenverdopplung eine reelle Wirkung besitzt und sein isolierter Beitrag nicht unterdrückt werden würde. Der Satellit erfährt also an der Bifurkation zugleich seinen Stokesübergang.