Kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen 85

Die Integrale (4.55, 4.68) ergeben nun K–Besselfunktionen der Ordnung 1/3 und 2/3. Der kollektive Beitrag der Geister lautet schließlich

ℐ_{gleichf}^{(1)} = |\frac{2}{π} JΔS|^{1/2} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν_{+}]
×{ĀK_{1/3} (J|ΔS|) + ΔAK_{2/3} (J|ΔS|) } .  (4.73)

Hier ist ν_{+} = μ̂ + \frac{1}{2} sign σ halbzahlig, wobei sich der Morseindex μ̂ etwa durch eine reelle Trajektorie bestimmen läßt, die den Anfangsimpuls Re p und den Endort Re q′ hat, sofern die Geister beinahe reelle Koordinaten haben. Für großes Argument ist K(x) ∼ \sqrt{π/(2x)} exp[−x]. Damit bleibt für JΔS → ∞ gemäß

ℐ_{gleichf}^{(1)} ∼ A_{+} exp [iJS_{+} − i\frac{π}{2} ν_{+}] (4.74)

nur der exponentiell unterdrückte isolierte Beitrag des Geistes mit Im S > 0 übrig.

4.5.2 Periodenverdopplungen (m = 2)

In der lokalen Näherung setzt man die Normalform (3.125) in das Phasenraumintegral (4.39) ein und zieht A(q′, p) als Konstante vor das Integral. Das Integral faktorisiert erneut in ein Gaußsches Integral über p und ein Integral über q′, welches auf Besselfunktionen führt. In diesem Fall sind sie von der Ordnung ±1/4 (Formeln 3.696.1–4 in [82]). Berücksichtigt man den Einfluß von Termen höherer Ordnung in einer erweiterten Normalform der Erzeugenden, so wird man auf die Normalform

A(q′, p) = 1 − \frac{3}{4} \frac{b}{a}q^{′2} (4.75)

des Vorfaktors geführt. Zur lokalen Näherung kommt dann ein Korrekturterm hinzu, in dem Besselfunktionen der Ordnung ±3/4 auftreten. Der Koeffizient b ist durch die semiklassischen Amplituden festgelegt,

A_{1} = \sqrt{2}A_{0} (1 + \frac{3}{8} \frac{bε}{a^{2}}) . (4.76)

Wir verwenden die Abkürzungen

S̄ = \frac{S_{0} + S_{1}}{2} , ΔS = \frac{S_{0} − S_{1}}{2} , ν̄ = \frac{ν_{0} + ν_{1}}{2} (4.77)