84 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

zu lösen haben. Es entspricht der Ableitung von (4.55) nach −iε und führt auf Besselfunktionen der Ordnung ±2/3. Als neuer Koeffizient taucht im Endresultat b auf. Er läßt sich aus der Differenz der semiklassischen Amplituden

ΔA ≡ \frac{A_{+} − A_{−}}{2} = −\frac{2}{3} \frac{b}{a}\sqrt{−\frac{ε}{3a}}Ā (4.69)

bestimmen. Das Endresultat lautet

ℐ_{gleichf}^{(1)} = |\frac{2πJΔS}{3} |^{1/2} exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν̄] \{Ā [J_{−1/3} (J|ΔS|) + J_{1/3} (J|ΔS|)]
−i sign (ΔS) ΔA [J_{−2/3} (J|ΔS|) − J_{2/3} (J|ΔS|)] } .  (4.70)

Das asymptotische Verhalten der Besselfunktionen (4.62) ergibt, daß der Ausdruck für J → ∞ und ε ≠ 0 in die beiden Beiträge

ℐ_{gleichf}^{(1)} ∼ A_{+} exp [iJS_{+} − i\frac{π}{2} ν_{+}] + A_{−} exp [iJS_{−} − i\frac{π}{2} ν_{−}] (4.71)

der isoliert betrachteten Bahnen zerfällt. Er erfüllt damit wie erwünscht die Kriterien einer gleichförmigen Näherung und ist auch in größerer Entfernung zur Bifurkation gültig.

Der Beitrag (4.70) hat auf der Seite der Bifurkation seine Gültigkeit, auf der beide Bahnen reell sind. Auf der anderen Seite gibt es zwei Geisterlösungen mit komplexen Koordinaten. Auch die Wirkungen der beiden Bahnen sind komplex. Wir bezeichnen den Orbit mit positivem Imaginärteil der Wirkung mit +, den anderen mit −. Eine nach der Methode des stärksten Abklingens gewählte Integrationskontur führt nur über den Sattel von +. Dies ist sinnvoll, da sich der Beitrag eines isolierten Geistes im Limes J → ∞ wie exp[−J Im S] verhält, er aber nicht über alle Grenzen wachsen kann.

Die semiklassischen Amplituden bezeichnen wir in diesem Fall mit

A_{±} = [i(sign Im tr M_{±})(2 − tr M_{±})]^{−1/2} . (4.72)

Der Radikand hat positiven Realteil. Die Wurzel ist so zu nehmen, daß arg A in (−π/4, π/4] liegt. In führender Ordnung in ε ist 2 − tr M rein imaginär. Dies entspricht der Stabilitätsbeziehung (3.119). Erst in der nächsten Ordnung erhält man wieder einen reellen Term. Dementsprechend ist die Amplitude in der Nähe der Bifurkation reell und positiv. Wie die Wirkungen und die Stabilitätsfaktoren der Geister sind auch ihre Amplituden zueinander konjugiert komplex. Damit gilt Ā = Re A und ΔA = i Im A.