Kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen 83

Um eine gleichförmige Näherung zu erhalten, die für beliebiges ε gültig ist, verwenden wir die erweiterte Normalform (3.120). Wir betrachten nur den Einfluß des zusätzlichen Terms −bq^{′4} auf die Eigenschaften der beiden bifurkierenden Bahnen in der nächsthöheren Ordnung in ε und berücksichtigen nicht die mit ihm verbundene zusätzliche Fixpunktlösung (dies geschieht jedoch in den Abschnitten 3.5.1 und 4.6.1). Nach dem Einsetzen der erweiterten Normalform in (4.39) kann man durch die Variablentransformation

q′ = \frac{εb}{9a^{2}} + Q′ − Q^{′2} \frac{b}{3a} ,
p = \frac{P}{1 − \frac{2}{3} \frac{b}{a}Q′}  (4.64)

die Phase des Integranden vereinfachen,

Ŝ(q′, p, E) − q′p = S̄ − εQ′ − aQ^{′3} − \frac{σ}{2} P^{2} (1 − \frac{2}{3} \frac{b}{a}Q)^{−2} + 𝒪(|ε|^{5/2}) . (4.65)

Bezüglich Q′ hat man die ursprüngliche Normalform mit der Ersetzung von S_{0} durch die mittlere Wirkung S̄ = S_{0} − \frac{bε^{2}}{9a^{2}} aus (3.122) zurückerlangt. Die Jacobische Determinante der Transformation ist eins. Die Transformation ist also flächenerhaltend. Sie ist aber nur für |Q′| < \frac{3}{2} |\frac{a}{b} |, also (im Einklang mit unserer Zielsetzung) an den bifurkierenden Bahnen, nicht aber am zusätzlichen Fixpunkt gültig. Als Konsequenz verbleiben nach der Transformation nur noch zwei Fixpunkte. Führt man die Gaußsche Integration aus, so erkennt man, daß das Integral seinen Wert behält, wenn wir mit der ursprünglichen Normalform

Ŝ(q′, p, E) − q′p = S̄ − εq′ − aq^{′3} − \frac{σ}{2} p^{2} + 𝒪(|ε|^{5/2}) (4.66)

für die Erzeugende mit S̄ anstelle von S_{0} arbeiten und für den Vorfaktor die Normalform

A(q′, p) = 1 − \frac{2}{3} \frac{b}{a}q′ (4.67)

verwenden. Zu diesem einfachen Ergebnis kann man etwas direkter gelangen, indem man nur die Variable q′, nicht aber p transformiert und dann im Integral die nun von eins verschiedene Jacobische Determinante berücksichtigt.

Es verbleiben zwei Integrale. Der konstante Term in A(q′, p) liefert gerade die lokale Näherung. Hinzu kommt eine Korrektur, für die wir ein Integral vom Typ

∫_{−∞}^{∞} q′ exp [−i (εq′ + aq^{′3})] dq′ (4.68)