82 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

dann

ℐ_{lokal}^{(1)} = n_{0}\sqrt{\frac{2πJ}{27} |\frac{ε}{aσ} |} exp [iJS_{0} − i\frac{π}{2} (μ̂ + \frac{1}{2} sign σ)]

× [J_{−1/3} (J |\frac{2ε}{3}\sqrt{−\frac{ε}{3a}}|) + J_{−1/3} (J |\frac{2ε}{3}\sqrt{−\frac{ε}{3a}}|)] .  (4.56)

Wir drücken die Koeffizienten der Normalform (3.113) durch die Wirkungsdifferenz (3.117)

ΔS ≡ \frac{S_{+} − S_{−}}{2} = \frac{2ε}{3}\sqrt{−\frac{ε}{3a}} , (4.57)

die mittlere Wirkung

S̄ ≡ \frac{S_{+} + S_{−}}{2} = S_{0} (4.58)

und die mittlere semiklassische Amplitude (4.49, 3.118)

Ā ≡ \frac{A_{+} + A_{−}}{2} = n_{0}|12σ^{2}aε|^{−1/4} (4.59)

aus und erhalten die lokale Näherung

ℐ_{lokal}^{(1)} = |\frac{2πJΔS}{3} |^{1/2} Ā exp [iJS̄ − i\frac{π}{2} ν̄] [J_{−1/3} (J|ΔS|) + J_{1/3} (J|ΔS|)] . (4.60)

Hier ist

ν̄ ≡ \frac{ν_{+} + ν_{−}}{2} = μ̂ + \frac{1}{2} sign σ (4.61)

der mittlere Maslovindex (3.124).

Für großes Argument verhalten sich die Besselfunktionen wie

J_{ν}(x) = \sqrt{\frac{2}{πx}} cos (x − \frac{νπ}{2} − \frac{π}{4} ) + 𝒪(x^{−3/2}) . (4.62)

Bei festen Werten der Koeffizienten in der Normalform zerfällt daher der Ausdruck im semiklassischen Limes in zwei Beiträge,

ℐ_{lokal}^{(1)} ∼ Ā exp [iJS_{+} − i\frac{π}{2} ν_{+}] + Ā exp [iJS_{−} − i\frac{π}{2} ν_{−}] . (4.63)

Dies entspricht den Beiträgen (4.48) zweier isolierter periodischer Bahnen. Die semiklassischen Amplituden sind jedoch in Übereinstimmung mit der Beziehung (3.119) gleich groß. Daher kann man (4.60) nur in der Nähe der Bifurkation benutzen, also für kleine Werte von ε.