Kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen 81

im Integranden von (4.39) in der Umgebung der periodischen Bahnen als unveränderlich, so können wir sie wieder als Konstante vor das Integral (4.39) ziehen. Drücken wir ferner die Koeffizienten der Normalform durch die bekannten kanonisch invarianten Charakteristika der periodischen Bahnen aus, so erhalten wir für jede Bifurkation die sogenannte lokale Näherung des kollektiven Beitrags der beteiligten Bahnen [30,36]. Die einzelnen Ausdrücke hängen vom jeweiligen Bifurkationstyp ab.

Auch in der Amplitude A(q′, p) können aber Koordinatenabhängigkeiten zurückbleiben, die man durch Transformationen nicht mehr wegschaffen kann. Dadurch löst man sich von den in Kapitel 3 diskutierten Beziehungen zwischen den Stabilitätsfaktoren, die zwar aus den Birkhoffschen Normalformen folgen, jedoch in einiger Entfernung von der betrachteten Bifurkation zusammenbrechen. Wir haben für die Tangentenbifurkation bereits gesehen, wie sich dies mittels der Einbeziehung höherer Terme der Störungsentwicklung behandeln läßt (Abschnitt 3.4.3). Mit dieser Technik läßt sich auch eine Normalform der Amplitude herleiten.

Die verbleibenden Koeffizienten in der Amplitude lassen sich ebenfalls durch die kanonisch invarianten Größen ausdrücken. Man erhält dann die gleichförmige Näherung des kollektiven Beitrags der an einer Bifurkation beteiligten Bahn. Sie ist auch in weiterer Entfernung zur Bifurkation gültig und zerfällt asymptotisch für J → ∞ in die isolierten Beiträge (4.48) der Bahnen. Sie stellt eine gleichmäßige Beschreibung zweier einander widersprechender Grenzübergänge dar: Im semiklassischen Grenzfall J → ∞ wird das Abstandsmaß JΔS groß; im Grenzfall immer stärkerer Resonanz ε → 0 [mit dem Bifurkationsparameter aus Gleichung (3.102)] verschwindet es.

Für die Tangentenbifurkation werden wir die Herleitung der Normalform der Amplitude ausführlich besprechen. Ab der Periodenverdreifachung wird die Herleitung ein umfangreiches technisches Unterfangen. Man wird jedoch in allen Fällen auf ein einfaches (sogar erratbares) Ergebnis geführt. Dies läßt eine Darstellung der technischen Details in der Herleitung unsinnig erscheinen. Nach der Maßgabe der Katastrophentheorie reicht es im übrigen aus, die Gleichförmigkeit des asymptotischen Verhaltens unserer Näherungen nachzuweisen, was eine leichte Übung ist. Wir begnügen uns daher erneut mit einem Hinweis auf die Arbeiten [26,27,37].

4.5.1 Tangentenbifurkationen (m = 1)

In der lokalen Näherung ist A(q′, p) = 1. Setzt man die Normalform (3.113) in (4.39) ein, so faktorisiert der Integrand. Das Integral über p ist Gaußsch, während das Integral über q′ vom Typ

∫_{−∞}^{∞} exp [−i(εq′ + aq^{′3})] dq′ (4.55)

ist und Besselfunktionen der Ordnung ±1/3 liefert (Formeln 3.695.1 und 3.695.2 in [82]). Wir betrachten zunächst den Fall reeller Bahnen, sign ε = − sign a. Man erhält