80 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

Im sogenannten Stokesfaktor

𝒮(s) = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{−∞}^{s} dz exp [−z^{2}] (4.52)

erkennt man ein Gaußsches Fehlerintegral, in dem die Integrationsgrenze durch den Stokesparameter

s = sign(ε)\sqrt{J} \frac{Re |S_{+} − S_{−}|}{\sqrt{2 Im (S_{−} − S_{+})}} (4.53)

festgelegt ist. Diesseits des Stokesüberganges ist s > 0 und damit die Integrationsgrenze in (4.52) positiv. Für J → ∞ geht sie nach +∞ und der Stokesfaktor nach eins. Jenseits des Übergangs ist s < 0, und der Stokesfaktor verschwindet für J → ∞. Für betragsmäßig großes s ist 𝒮(s) − Θ(s) = 𝒪(J^{−1/2}). Der Ausdruck (4.51) hat auch sehr nahe des Übergangs seine Gültigkeit und beschreibt insgesamt das asymptotische Verhalten im semiklassischen Grenzfall gleichförmig in k.

4.5 Kollektive Beiträge bifurkierender Bahnen

Um den Beitrag einer isolierten periodischen Bahn zu berechnen, haben wir die Phase des Integranden in (4.39) um den Punkt stationärer Phase entwickelt und sind dabei bis zur zweiten Ordnung in den Koordinaten gegangen. Die Amplitude haben wir als Konstante vor das Integral gezogen, für sie haben wir also nur den führenden Term einer Entwicklung in den Koordinaten behalten. Damit verblieb eine kleine Zahl von Koeffizienten, in denen nur die kanonisch invarianten Eigenschaften der periodischen Bahn auftraten.

Man könnte auch mit dem vollen Ausdruck für die Erzeugende starten und Terme höherer Ordnung durch kanonische Transformationen wegzuschaffen versuchen. Aus Kapitel 3 wissen wir, daß dies nur solange gut geht, wie man sich nicht in der Nähe von Resonanzen befindet, nicht also etwa in der Nähe von Bifurkationen, bei denen ja mehrere Bahnen in enger Nachbarschaft zueinander liegen. Wir müssen sonst mit einer lokalen Form der Erzeugenden arbeiten, in der Terme höherer Ordnung in den Koordinaten auftreten und die dabei zwangsläufig weitere periodischen Bahnen mitbeschreibt. Dazu werden wir entsprechend der vorgefundenen Konfiguration der periodischen Bahnen die passende Birkhoffsche Normalform heranziehen.

Betrachten wir die Amplitude

A(q′, p) ≡ |\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p}|^{1/2} (4.54)