Isolierte Geister und Stokesübergänge 79

4.4 Isolierte Geister und Stokesübergänge

Der Beitrag eines isolierten Geistes auf der Integrationskontur ist genau von der Form (4.48). Da 2−tr M nun jedoch eine komplexe Größe ist, kommt zum Maslovindex noch eine weitere Phase \frac{1}{2} arg(2 − tr M) hinzu. In diesem Ausdruck ist nicht klar, welchen Funktionszweig der arg–Funktion man nehmen muß. Eine eindeutige Rechenvorschrift erhält man, wenn man den Maslovindex gemäß (3.50) berechnet, wobei man in der Formel überall − sign(x) durch −\frac{2}{π} arg(i/x) und sign(x) durch \frac{2}{π} arg(ix) ersetzt. Dann muß man in (4.49) weiterhin die Betragsstriche beibehalten.

Die Beiträge isolierter Geister werden für wachsendes J exponentiell wie e^{−J Im S} unterdrückt. Für gegebenes J findet man jedoch häufig Geister, für die der Imaginärteil der Wirkung klein und deren Beitrag somit wichtig ist.

Wie in Abschnitt 4.1.6 bereits erwähnt kann es auch vorkommen, daß ein Geist sehr nahe an der deformierten Integrationsfläche liegt und nicht vernachlässigt werden kann. Sein Beitrag erfährt jedoch im Vergleich zu einem Geist auf der Integrationsfläche eine Unterdrückung. Dem zugrundeliegenden Mechanismus wenden wir uns nun zu.

Wir steuern das System mit einem Kontrollparameter k und untersuchen, wie ein Geist, der ursprünglich auf der Integrationskontur liegt, von ihr wegwandern kann. Man nennt dies einen Stokesübergang [44,45]. Er tritt auf, wenn die Integrationsgebiete zweier Bahnen ± für einen bestimmten Wert von k = k_{0} aufeinanderfallen. Der Realteil der Wirkungen der Bahnen stimmt dann überein, Re S_{+} = Re S_{−}. Wir wählen die Bezeichnung so, daß Im S_{+} < Im S_{−} gilt. Die Bahn + nennt man auch dominant. Da sich die beiden Bahnen im Phasenraum nicht treffen, sondern nur die Integrationsgebiete aufeinanderfallen, spricht man von einer globalen Bifurkation. Auf den beiden Seiten des Stokesüberganges verbinden die Integrationsgebiete verschiedene Nullstellenmannigfaltigkeiten des Integranden. Dies führt im allgemeinen dazu, daß jenseits des Stokesüberganges das Gebiet, auf dem die Bahn − liegt, nicht mehr benötigt wird, um die Integrationsgrenzen zu verbinden. Diese Bahn liefert dann in führender Ordnung in J → ∞ keinen Beitrag mehr. Es scheint dann so, als ob der Beitrag schlagartig abgeschaltet wird,

ℐ_{Stokes}^{(isol)} = Θ(ε)A exp [iJS − i\frac{π}{2} ν] (4.50)

mit ε > 0 auf der Seite, auf der der Geist beiträgt, und ε < 0 auf der anderen. Für gegebenes, endliches J wird man selbstverständlich eine sanfte Unterdrückung des Beitrags erwarten. Um sie herzuleiten, muß man sich der mächtigsten Methoden aus der Theorie der asymptotischen Entwicklungen bedienen. Berry [44] sucht zunächst die vollständige asymptotische Entwicklung in 1/J auf und resummiert dann den formal divergierenden Schwanz der Beiträge höherer Ordnung. Dies führt auf

ℐ_{Stokes}^{(isol)} = 𝒮(s)A exp [iJS − i\frac{π}{2} ν] . (4.51)