78 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

4.3 Der Beitrag isolierter periodischer Bahnen

In hyperbolischen Systemen sind die periodischen Bahnen hinreichend isoliert, so daß es ausreicht, die Erzeugende in der Phase des Integranden von (4.39) in zweiter Ordnung zu entwickeln und die semiklassische Amplitude als Konstante vor das Integral zu ziehen. Die Entwicklung der Erzeugenden lautet

Ŝ(q′, p; n) − q′p = S + \frac{1}{2}(G_{11}q^{′2} + G_{22}p^{2} + 2G_{12}pq′) + 𝒪(p^{3−k}q^{′k}) . (4.46)

Wir haben die periodische Bahn in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt. Der führende Term ist unter Benutzung von (3.20) die Wirkung der periodischen Bahn. Die Matrix G der zweiten Ableitungen der Erzeugenden ist in (3.48) gegeben. Setzt man die Entwicklung in das Phasenraumintegral ein, verbleibt ein Gaußsches Integral. Zu dessen Auswertung benötigen wir

det G = \frac{2 − tr M^{(n)}}{M_{11}^{(n)}} . (4.47)

Für eine periodische Bahn der primitiven Periode n_{0} gibt es n_{0} Punkte stationärer Phase, die alle den gleichen Beitrag liefern. Für den Beitrag einer isolierten periodischen Bahn erhält man dann mit (3.47) und (3.48)

ℐ^{(isol)} = n_{0} |\frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂q′∂p} det G|^{−1/2} exp [iJS − i\frac{π}{2} (μ̂ − \frac{1}{2} sign G)]

= A exp [iJS − i\frac{π}{2} ν] .  (4.48)

Die semiklassische Amplitude

A ≡ \frac{n_{0}}{\sqrt{|2 − tr M^{(n)}|}} (4.49)

ist durch den Stabilitätsfaktor tr M^{(n)} aus Abschnitt 3.1.4 und die primitive Periode gegeben, in die Phase gehen die Wirkung S aus Abschnitt 3.1.2 und der Maslovindex ν aus Abschnitt 3.1.6 ein. Sonst treten keine weiteren Größen auf. Der Beitrag ist damit invariant unter kanonischen Transformationen. Dies gilt auch für die weiter unten hergeleiteten Beiträge nicht hinreichend isolierter periodischer Bahnen, da in sie ebenfalls nur die genannten Größen einfließen.