Der Beitrag isolierter periodischer Bahnen 77

nen typischerweise in einem Gebiet schwach veränderlicher Phase liegen und welche Konfiguration man dabei antrifft. Hier kommt es wiederum auf die Natur der klassischen Dynamik an. In integrablen Systemen bilden die periodischen Bahnen Familien. In nichtintegrablen Systemen treten sie punktweise auf. Unser Ziel ist es, für den gesamten Übergang von regulärem zu chaotischem Verhalten eine verläßliche semiklassische Näherung zu finden. Mathematisch gesprochen suchen wir einen asymptotischen Ausdruck, der das Verhalten des exakten Ergebnisses für J → ∞ gleichförmig in der Kopplungsstärke k beschreibt.

Das Maß an Veränderung des Integranden in (4.39) ist durch den Wirkungsunterschied in Einheiten der Planckschen Konstanten gegeben, also durch die typische Größenordnung von JΔS. Zwei im Phasenraum benachbarte Bahnen sind hinreichend isoliert, wenn dieses Abstandsmaß mindestens von der Größenordnung eins ist. Es sei daran erinnert, daß wir zwar den semiklassischen Grenzfall J → ∞ betrachten, für die Gewinnung der Quasienergien aber auch die Dynamik über immer längere stroboskopische Zeiten bis n ≈ J verfolgen müssen. Damit wird zwar die typische Wirkungsdifferenz zweier Bahnen gegebener Länge mit wachsendem J immer größer, die skalierte Wirkungsdifferenz der hinzukommenden Bahnen größerer Periode kann jedoch sehr wohl klein sein. Das genaue Wechselspiel dieser Grenzfälle J, n → ∞ ist noch längst nicht verstanden; in der Literatur finden sich nur Ansätze [80,81].

Bei hyperbolischen Systemen steigt die Zahl der periodischen Bahnen mit der Periode exponentiell an. Damit rücken die Bahnen im Phasenraum immer enger aneinander. Dennoch lassen sich die Bahnen der Periode n < J nach aller Erfahrung als isoliert betrachten, da die Erzeugende an sich eine stark fluktuierende Funktion ist.

In Systemen mit gemischtem Phasenraum liegen die periodischen Bahnen häufig in so enger Nachbarschaft zueinander, daß der Bereich stationären Verhaltens des Integranden mehrere Bahnen erfaßt. Insbesondere die Wirkungsdifferenz von beinahe bifurkierenden Bahnen ist klein. Auch die Zahl der Bifurkationen in einem gegebenen Intervall der Kopplungsstärke wächst exponentiell mit der Periode. (Die metrische Entropie und die damit verbundene topologische Entropie läßt sich mit der Torsionsstärke zu ln k abschätzen, es gibt also in der Größenordnung von k^{n} Bahnen der Periode n, die abgesehen von den Nachfolgern der trivialen Bahnen bei k = 0 alle durch Bifurkationen entstanden sein müssen.) Und insbesondere Kaskaden von Bifurkationen führen zu immer komplexeren Anhäufungen. Es stellt sich heraus, daß man in der Regel die Beiträge eng benachbarter periodischer Bahnen nicht mehr trennen kann, sondern vielmehr Beiträge kollektiver Natur erhält. Wir nennen eine Menge eng benachbarter periodischer Bahnen einen Cluster. Dabei treten auch die bereits erwähnten Geisterbahnen auf, welche hier Vorläufer periodischer Bahnen sind, die erst jenseits der Bifurkation als reelle Lösungen der Fixpunktgleichungen sichtbar werden. In den Beitrag eines Clusters gehen die Eigenschaften aller beteiligten Bahnen ein.