76 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

Koordinaten in die Stabilitätsmatrix (3.28). Für die Wirkung erhält man von jeder Drehung um die y–Achse aus (3.22) den Beitrag

S_{y} = \frac{i}{2} (log \frac{Y Z′ + iX′}{Y Z′ − iX′} − log \frac{Y Z + iX}{Y Z − iX} ) . (4.42)

Die ungestrichenen und gestrichenen Größen bezeichnen die Koordinaten vor und nach der Drehung; dabei gilt Y = Y′. Die nichtlinearen Drehungen um die z–Achse liefern unverändert Beiträge der Form (3.23).

Der Maslovindex eines Geistes läßt sich als reelle, aber nicht mehr ganzzahlige Größe auffassen. Wie der Morseindex setzt er sich semiklassisch aus den Phasen der nun komplexwertigen zweiten Ableitungen bei einer Näherung der stationären Phase zusammen. Um die richtigen Phasen zu erhalten, schreibt man zunächst alle Formeln aus den Abschnitten 3.1.5 und 3.1.6 so, daß man Beiträge der Form sign x oder − sign x erhält, multipliziert also alle Vorzeichen vor den sign–Funktionen aus. Nun ersetzt man überall − sign(x) durch −\frac{2}{π} arg(i/x) und sign(x) durch \frac{2}{π} arg(ix). Man beachte, daß − arg(−ix) = arg(ix) nur für reelles x gilt. Es gilt aber generell arg(ix) = − arg(−i/x). So übersetzt sich etwa Formel (3.42) in

μ̄ = μ̄^{(2)} + μ̄^{(1)} + \frac{1}{π} arg i\frac{M_{21}}{M_{21}^{(2)}M_{21}^{(1)}} . (4.43)

In (3.50) tritt jedes Matrixelement M_{21} zweimal auf, und zwar so, daß

ν − \frac{1}{π} arg(2 − tr M^{(n)}) (4.44)

ganzzahlig ist.

4.2 Vorbemerkungen zu den Beiträgen periodischer Bahnen zur Spur

Nach der im vorigen Abschnitt erläuterten Methode des stärksten Abklingens erhält man von jedem Gebiet 𝔘, in dem periodische Bahnen und gegebenenfalls Geister der Periode n leben, einen additiven Beitrag ℐ_{𝔘} zur Spur von F^{n}. Die semiklassische Näherung hat also die grobe Gestalt

tr F^{n} = ∑_{𝔘}ℐ_{𝔘} . (4.45)

Wir werden die Erzeugende Ŝ in der Umgebung der periodischen Bahnen entwickeln und Beiträge erhalten, in die nur die kanonisch invarianten Eigenschaften der Bahnen einfließen. Die konkrete Form der Beiträge hängt davon ab, wieviele periodische Bah-