Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen 75

Man endet so mit einer Integrationskontur, die die ursprünglichen Integrationsgrenzen miteinander verbindet. Sie zerfällt in Teilgebiete, auf denen die Phase Re(Ŝ − q′p) des Integranden konstant ist. Auf jedem Gebiet liegt in der Regel genau ein Maximum. (Mehrere Maxima kann es nur geben, wenn der Realteil der Wirkung verschiedener Sättel übereinstimmt.) Die einzelnen Gebiete stoßen an den Nullstellen des Integrand zusammen, an denen ja auch die Phase nicht wohldefiniert ist. Den führenden Term der beschriebenen asymptotischen Entwicklung erhält man nun, indem man sich auf die Beiträge aus den Umgebungen der Maxima des Integranden beschränkt.

Die Integrationsvariablen nehmen auf der neuen Kontur komplexe Werte an. Dies entspricht in unserem Fall einem komplexifizierten Phasenraum. In der Regel führt die neue Kontur nicht nur über die ursprünglichen Punkte stationärer Phase, sondern hat weitere Maxima an Sattelpunkten mit komplexen Koordinaten. Dort sind die analytisch fortgesetzten Fixpunktgleichungen erfüllt. Man nennt diese Lösungen Geisterbahnen, da ihnen keine klassische Bedeutung zukommt. Sie haben wir bereits in Kapitel 3 kennengelernt.

Mit der skizzierten Konstruktionsvorschrift für die neue Integrationskontur werden aber nicht alle Geisterlösungen erfaßt. Letztlich kann nur die Konstruktion der Kontur über die Relevanz eines Geistes Aufschluß geben. In der Regel tragen vor allem solche Geister bei, deren Koordinaten beinahe reell sind. Sie treten insbesondere in der Nähe von Bifurkationen auf, und zwar als Vorläufer von Bahnen, die erst jenseits der Bifurkation im (reellen) klassischen System sichtbar werden. Wie wir weiter unten sehen werden, wird man zuweilen auch Geister berücksichtigen, die nicht nicht direkt auf der Integrationskontur stärksten Abklingens liegen, aber doch noch hinreichend in ihrer Nähe; dies geschieht etwa für moderates J oder eben in der Nähe von Bifurkationen.

Die Wirkung und der Stabilitätsfaktor von Geistern sind meist komplexe Größen. Ihr Verhalten in der Nähe einer Bifurkation ist etwa den Eigenschaften der komplexen Lösungen aus den Birkhoffschen Normalformen anzusehen. (Es ergibt sich etwa nach den Abschnitten 3.4.4 und 3.4.6, daß Geister aus Periodenverdopplungen und Periodenvervierfachungen als Ausnahmen reelle charakteristische Größen besitzen.)

Die Methode des stärksten Abklingens werden wir auch bei der numerischen Berechnung mancher Integrale heranziehen. Für Beispiele verschobener Konturen verweisen wir auf die Abschnitte 4.6.2 (Abb. 12) und 4.8 (Abb. 13).

Im Falle des Kreisels gelingt die analytische Fortsetzung der stroboskopischen Abbildung am einfachsten ausgehend von (2.17, 2.18) mit komplexen kartesischen Koordinaten X. Auch nach der Komplexifizierung gilt X^{2} = 1. Als Impuls verwendet man weiterhin p = Z; als Ort fungiert q = arg \frac{X+iY}{\sqrt{1−Z^{2}}} . Die Wurzel im Nenner führt zu zwei Verzweigungsschnitten entlang der reellen p–Achse von −∞ nach −1 und von 1 nach +∞. Diese Schnitte sind bei der Konstruktion der Integrationskontur zu beachten. Der analytisch fortgesetzte Stabilitätsfaktor ergibt sich durch Einsetzen der komplexen