74 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

letztlich beschrieben durch die Quasienergien, mit jenen des klassischen Systems verbunden sind. Insbesondere leben auf den Phasenraumtrajektorien der periodischen Bahnen sogenannte invariante Maße. Da wir mit einem Integral über den Phasenraum gestartet sind, ist das Auftreten solcher Maße in der Folge nicht weiter verwunderlich.

Bevor wir die Form der Beiträge aus den Umgebungen der periodischen Bahnen genauer analysieren, kehren wir kurz zum Ausdruck (4.6) für die spektrale Dichte zurück, um uns einer beliebten Sichtweise der Rolle periodischer Bahnen anzuschließen.

Demnach ist die mittlere Dichte der Quasienergien über deren Zahl N = tr ˆ1I = tr F^{0} gegeben, also gewissermaßen durch die periodischen Bahnen der Länge Null. Jeder Punkt im Phasenraum ist eine solche periodische Bahn. Setzt man Ŝ(q′, p; 0) = q′p in das Phasenraumintegral (4.14) ein [in dem in diesem Fall nur der Term mit l = 0 aus (4.16) beiträgt], so erhält man die wohlbekannte Weylsche Regel

N = \frac{Ω}{2π/J} , (4.41)

die die Zahl der Zustände mit der Fläche Ω des Phasenraums in Verbindung setzt: Im Mittel liegt in jedem Kästchen des Flächeninhalts 2π/J ein quantenmechanischer Zustand. Beim Kreisel ist der Phasenraum die Einheitskugel und Ω = 4π. Die Weylsche Regel sagt also 2J = 2j + 1 Zustände voraus und ist mithin exakt.

Die Weylsche Regel gilt unabhängig von der konkreten Dynamik des Systems; sie ist universeller Natur. Die verbleibenden Terme in (4.6) beschreiben die systemspezifischen Fluktuationen im Spektrum, d. h. die exakte Lage der Quasienergieniveaus; sie werden durch die periodischen Bahnen nichtverschwindender Länge bestimmt. Auch hier gibt es universelle statistische Eigenschaften, die von der bloßen Natur der klassischen Dynamik abhängen und etwa semiklassisch begründet werden können. Für chaotische Systeme sind sie durch die Zufallsmatrixtheorie zugänglich [21,52–54].

4.1.6 Die Methode des stärksten Abklingens und Geisterbahnen

Die Näherungsmethode der stationären Phase ist eine Spielart allgemeinerer Techniken, die in der Theorie der asymptotischen Entwicklung von Integralen mit stark veränderlichem Integranden verbreitete Anwendung finden [41,42]. Auch unser Integral (4.39) ist von diesem Typ. Wir interessieren uns für den führenden (kanonisch invarianten) Term der asymptotischen Entwicklung für J → ∞ und bedienen uns der Technik des stärksten Abklingens des Integranden. Dabei setzt man den Integranden analytisch ins Komplexe fort und deformiert die ursprüngliche Integrationsmannigfaltigkeit so, daß die Maxima des Betrags des Integranden an den Punkten stationärer Phase liegen. Dort liegen zugleich in allgemeinerer Sprechweise Sättel des Integranden. Der Betrag des Integranden soll weiter auf schnellstmögliche Weise fallen, wenn man sich von den Sätteln wegbewegt. Die Deformation der Kontur soll kontinuierlich geschehen, und es sollen keine Singularitäten überschritten werden, damit der Wert des Integrals unberührt bleibt.