Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen 73

der Phase. Sie läßt sich wie folgt bestimmen: Wir setzen in (4.34) q′(q′′, p) ein und leiten nach q′′ ab,

S′′ \frac{∂q′}{∂q′′} |_{p} + \frac{∂^{2}S̃^{(2)}}{∂q′′∂q′} = 0 . (4.36)

Wir benutzen

\frac{∂q′}{∂q′′} |_{p} = \frac{∂q′}{∂q} |_{p} \frac{∂q}{∂q′′} |_{p} (4.37)

und erhalten unter Verwendung der Beziehungen (3.29)

S′′ = \frac{M_{11}}{M_{11}^{(1)}M_{12}^{(2)}} . (4.38)

Dies kann nun in (4.33) eingesetzt werden. Im Endresultat wird man wieder auf (4.20) geführt. Damit setzen sich Amplitude und Phase der semiklassischen Beiträge gemäß den Regeln zusammen, die wir für die linearisierte Abbildung (3.26), den Wert der Erzeugenden (3.5, 3.8) und den Morseindex (3.44) kennengelernt haben.

Eine weitere Anwendung ist, F iterativ aus Propagatoren über kurze Zeiten zusammenzusetzen. Da schon der Ausdruck für beliebig kurze Zeiten (4.16, 4.22) nach der Diskussion des vorigen Abschnitts in die semiklassische Form (4.20) gebracht werden kann, läßt sich dadurch letztere Beziehung einschließlich des postulierten Zusammenhangs zwischen der Phase und dem Morseindex belegen.

4.1.5 Semiklassische Spuren und periodische Bahnen

Setzt man die Van Vlecksche Näherung (4.20) des Propagators in das Phasenraumintegral (4.14) ein,

tr F^{n} = ∑_{von Ŝ}^{Zweige} ∫ \frac{dq′ dp}{2π/J} |\frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂q′∂p}|^{1/2} exp [iJ (Ŝ(q′, p; n) − q′p) − i\frac{π}{2} μ̂] , (4.39)

wobei die Zweige auch die Summe über l umfassen, so ist der erhaltene Ausdruck erneut der Methode der stationären Phase zugänglich. Die Hauptbeiträge zum Integral kommen demnach aus der Umgebung jener Punkte, an denen

\frac{∂Ŝ}{∂p} = q′ ,  \frac{∂Ŝ}{∂q′} = p ,  (4.40)

gilt, an denen also die Fixpunktgleichungen (3.19) erfüllt sind: Die Punkte stationärer Phase sind die Phasenraumtrajektorien der periodischen Bahnen der Länge n. Es ist befriedigend, daß so die stationären Eigenschaften des quantenmechanischen Systems,