72 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

Durch eine analoge Rechnung erhält man

⟨p′|F^{n}|p⟩ = ∑_{p ⇝ p′}^{Wege} \sqrt{\frac{J}{2π}} |\frac{∂^{2}S̄(p′, p; n)}{∂p′∂p}|^{1/2} exp [iJS̄(p′, p; n) − i\frac{π}{2} μ̄] . (4.30)

Auf dieser Form beruht die erfolgreiche Bestimmung der Kreiselniveaus in [25].

4.1.4 Der zusammengesetzte Propagator

Wir wollen nun skizzieren, wie sich der Propagator semiklassisch zusammensetzt, wenn wir die Propagation mittels der Halbgruppeneigenschaft

U(t′′; t) = U(t′′; t′)U(t′; t) ≡ U^{(2)}U^{(1)} (4.31)

in zwei Teilschritte zerlegen. Dazu verwenden wir erneut die Methode der stationären Phase. Auf diese Weise kann man etwa den Floquetoperator F des Kreisels aus den Teilschritten F̃_{i} zusammensetzen, gleichfalls seine Potenzen F^{n} iterativ aus den Teilschritten F. Insgesamt vertieft die folgende Diskussion das Verständnis der Van Vleckschen Näherung ungemein.

Ein Matrixelement des zusammengesetzten Propagators lautet

⟨q′′|U|p⟩ = ∫ ⟨q′′|U^{(2)}|q′⟩⟨q′|U^{(1)}|p⟩ dq′ . (4.32)

Nun setzen wir (4.20) und (4.29) in (4.32) ein und führen eine Näherung nach der Methode der stationären Phase durch,

⟨q′′|U|p⟩ = ∑_{Punkte}^{stationäre} \sqrt{\frac{J}{2π}} |M_{11}^{(1)}M_{12}^{(2)}S′′|^{−1/2}  (4.33)

× exp [iJ [Ŝ^{(1)}(q′, p) + S̃^{(2)}(q′′, q′)] − i\frac{π}{2} (μ̂^{(1)} + μ̃^{(2)} − \frac{1}{2} sign S′′)] .

Die Punkte stationärer Phase erfüllen

\frac{∂Ŝ^{(1)}(q′, p)}{∂q′} + \frac{∂S̃^{(2)}(q′′, q′)}{∂q′} = 0 . (4.34)

Dies legt q′ als Funktion von q′′ und p fest. Es verbleibt also eine Summe über Wege, die den Randbedingungen p(t) = p, q(t′′) = q′′ genügen. Um den Beitrag der Wege zu bestimmen, benötigen wir die zweite Ableitung

S′′ ≡ \frac{∂^{2}Ŝ^{(1)}(q′, p)}{∂q^{′2}} + \frac{∂^{2}S̃^{(2)}(q′′, q′)}{∂q^{′2}} (4.35)