Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen 71

Auch andere Matrixelemente lassen sich in ähnlicher Weise semiklassisch nähern. Der Wechsel von einer Darstellung zu einer anderen gelingt mittels einer Näherung nach der Methode der stationären Phase. Betrachten wir etwa das Orts–Orts–Matrixelement

⟨q′|F^{n}|q⟩ = ∫ ⟨q′|F^{n}|p⟩⟨p|q⟩ dp

= ∫ ∑_{l=−∞}^{∞} ∑_{p ⇝ q′}^{Wege} \frac{J}{2π} |\frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂q′∂p}|^{1/2}

× exp [iJ (Ŝ(q′, p; n) − (q + 2πl)p) − i\frac{π}{2} μ̂] dp

= ∑_{Punkte}^{stationäre} \sqrt{\frac{J}{2π}} |\frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂q′∂p} \frac{1}{Ŝ′′} |^{1/2}

× exp [iJ (Ŝ(q′, p; n) − (q + 2πl)p) − i\frac{π}{2} (μ̂ − \frac{1}{2} sign Ŝ′′)] . (4.26)

Die Punkte stationärer Phase erfüllen

\frac{∂Ŝ(q′, p; n)}{∂p} mod 2π = q . (4.27)

Dies legt p (und l) als Funktion von q und q′ fest und macht aus der Summe über stationäre Punkte wieder eine Summe über klassische Trajektorien, die nun den Randbedingungen q(0) = q, q(nT) = q′ genügen. In die Amplitude und die neue Phase geht weiter die zweite Ableitung [siehe (3.29)]

Ŝ′′ ≡ \frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂p^{2}} = −\frac{M_{12}^{(n)}}{M_{11}^{(n)}} (4.28)

der Phase ein. Im Resultat

⟨q′|F^{n}|q⟩ = ∑_{q ⇝ q′}^{Wege} \sqrt{\frac{J}{2π}} |\frac{∂^{2}S̃(q′, q; n)}{∂q′∂q}|^{1/2} exp [iJS̃(q′, q; n) − i\frac{π}{2} μ̃] (4.29)

taucht im Vergleich zum Ausdruck (4.20) nun konsequenterweise die Erzeugende S̃ statt Ŝ auf, und in der Phase identifiziert man den Morseindex μ̃ mittels der Beziehung (3.40). Den Beitrag 2πlp haben wir mit in S̃ hereingenommen, damit q im Intervall [0, 2π) verbleibt. Wir haben auch den Faktor (−1)^{l} für halbzahliges j unterschlagen, der wie zuvor diskutiert letztlich ebenfalls in der Wirkung und dem Morseindex aufgeht.