70 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

Die daraus folgende semiklassische Näherung der Matrixelemente ⟨q′|F^{n}|p⟩ geht auf Van Vleck und Dirac zurück [5,6] und lautet

⟨q′|F^{n}|p⟩ = ∑_{p ⇝ q′}^{Wege} \sqrt{\frac{J}{2π}} |\frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂q′∂p}|^{1/2} exp [iJŜ(q′, p; n) − i\frac{π}{2} μ̂] . (4.20)

Die Summe führt über alle klassischen Trajektorien (q(t), p(t)), die den Randbedingungen p(0) = p, q(nT) = q′ genügen.

Es sei sogleich vermerkt, daß die Amplitude

\frac{∂^{2}Ŝ(q′, p; n)}{∂q′∂p} = \frac{∂q}{∂q′} |_{p} = \frac{1}{M_{11}} (4.21)

gemäß (3.38) auf den Kaustiken von Ŝ divergiert und die semiklassische Näherung (4.20) dort zusammenbricht.

Der Ausdruck (4.16) für den Entwicklungskoeffizienten

⟨q′|p⟩ = ⟨q′|U(0; 0)|p⟩ (4.22)

kann mit der Identität

⟨q′|p⟩ = σ_{j}^{l} ⟨q′ |exp [i2πlJ_{z}]| p⟩ , (4.23)

die für jede Wellenfunktion gültig ist, ebenfalls in die Form (4.20) gebracht werden. In (4.16) tritt die Überlagerung der Beiträge aller Winkel auf, die klassisch miteinander identifiziert werden müssen. Sie gehen durch eine Drehung bezüglich der z–Achse um Vielfache von 2π ineinander über; im vorliegenden Fall ist q′ = q − 2πl. In Abschnitt 3.1.2 haben wir im Rahmen des Beitrags (3.22) einer reinen Drehung um die y–Achse zur Wirkung gesehen, daß die zugehörigen Funktionszweige der Wirkung den Wert S = S(q, q) = 2πl tragen. Dieser Ausdruck entspricht der Wirkung einer periodischen Bahn und ist somit eine kanonische Invariante, die auch von der Drehachse nicht abhängt. Nach einer Legendretransformation ist folglich für die Drehung um die z–Achse

Ŝ(q′, p) = (q′ + 2πl)p + 2πl . (4.24)

Während der Drehung trifft man auf zwei Kaustiken und erhält μ̂ = l. In der Kombination

JS − \frac{π}{2} μ̂ = J(q′ + 2πl)p + j2πl (4.25)

kristallisiert sich dann (4.16) einschließlich des Phasenfaktors σ_{j}^{l} heraus. Man vergleiche auch die verwandten Diskussionen in Abschnitt 3.2 und 5.4.1.