Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen 69

und

⟨p|q⟩ ≡ \sqrt{\frac{J}{2π}} ∑_{l=−∞}^{∞} exp[−iJp(q + 2πl)]σ_{j}^{l} . (4.16)

Die Darstellungen mittels der Größen q und p hängen anscheinend über eine modifizierte Fouriertransformation zusammen. Wir können q daher als den klassischen Ort auffassen. Vergleicht man (4.16) mit (4.9), so erkennt man, daß 1/J an die Stelle der Planckschen Konstanten getreten ist. Dies wissen wir bereits aus der Diskussion des klassischen Grenzfalls in Abschnitt 2.2. Die Summe über l führt zu einer kohärenten Überlagerung der quantenmechanischen Amplituden aller q–Werte, die sich nur um Vielfache von 2π unterscheiden. Dies gilt sowohl für die Amplituden der Fourierentwicklungen ⟨q′|F^{n}|p⟩ und ⟨p|q⟩ als auch letztlich für jene im Phasenraumintegral (4.14).

4.1.3 Semiklassische Matrixelemente

Man kann die Matrixelemente

⟨q′|F^{n}|p⟩ ≡ ψ_{p}(q′, nT) (4.17)

wie angedeutet als die Ortsdarstellung einer Wellenfunktion auffassen. Sie geht durch Propagation über n Perioden aus der Anfangsbedingung ψ_{p}(q′, 0) = ⟨q′|p⟩ hervor. Setzt man den üblichen WKB–Ansatz [7]

ψ_{p}(q′, nT) = A(q′, p; nT) exp [iJŜ(q′, p; nT)] (4.18)

in die Schrödingergleichung ein und betrachtet die führende Ordnung in 1/J, so wird man auf die Hamilton–Jacobi–Gleichung

H (q′, \frac{∂Ŝ}{∂q′}; t) + \frac{∂Ŝ}{∂t} = 0 (4.19)

geführt. Dies ist eine partielle Differentialgleichung für Ŝ(q′, p; t) mit der Anfangsbedingung Ŝ(q′, p; 0) = q′p. Gelöst wird sie durch die erzeugende Funktion der klassischen Dynamik; sie gehorcht also den Gleichungen (3.7). Den Vorfaktor A(t) erhält man aus der nächsten Ordnung der Schrödingergleichung in 1/J (oder der Erhaltung der Norm der Wellenfunktion). Es kann mehrere Lösungen des Randwertproblems q(nT) = q′, p(0) = p geben. Die verschiedenen Beiträge überlagern sich kohärent, wobei ihre relative Phase durch den Morseindex μ̂ aus Abschnitt 3.1.5 bestimmt wird. Eine Begründung erhalten wir zum Ende des nächsten Abschnitts 4.1.4.