68 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

miteinander identifizieren muß. Dies spiegelt sich auch in dem Ausdruck für die Spur wider, zu dessen Herleitung wir nun kommen.

Dazu notiert man die Spur zunächst explizit in der üblichen |j, m⟩–Basis,

tr F^{n} = ∑_{m=−j}^{j}⟨j, m|F^{n}|j, m⟩ . (4.10)

Dem angekündigten Resultat nähert man sich nun durch eine Reihe von Umformungen, zu deren Beginn man in

tr F^{n} = ∑_{k=−∞}^{∞} ∫_{−J}^{J} dm ∫_{−J}^{J} dm′ ⟨j, m′|F^{n}|j, m⟩δ(m − k)δ(m − m′)  (4.11)

(mit erneut J = j + \frac{1}{2}) eine Deltafunktion mittels der Poissonschen Summationsformel

∑_{l=−∞}^{∞} δ(m − l) = ∑_{l=−∞}^{∞} exp [2πiml] (4.12)

darstellt und für die andere die Form δ(p) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} exp [ipq] dq verwendet. Ist j halbzahlig, so sind es auch die ursprünglichen Stellen in den Summen über m bzw. k. Der Summationsindex l sei aber ganzzahlig. Dies führt wegen

∑_{k=−∞...− \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} ...∞} δ(m − k) = ∑_{l=−∞}^{∞} δ (m + \frac{1}{2} − l) = ∑_{l=−∞}^{∞} exp [2πiml] exp [iπl] (4.13)

zu zusätzlichen Faktoren (−1)^{l}. Sie können als Ausdruck der Tatsache angesehen werden, daß für halbzahliges j die Drehung um 2π und die damit verbundene Erhöhung des Winkels q einen Vorzeichenwechsel der Wellenfunktion liefert und erst die Erhöhung um 4π der Identitätsoperation entspricht. Diese Deutung erhärtet sich im nächsten Abschnitt. Zur Fallunterscheidung verwenden wir σ_{j} ≡ exp[i2πj] = ±1. Wir führen zugleich den klassischen Impuls p = m/J ein, der als kontinuierliche Größe aufgefaßt werden soll. Damit erhält man

tr F^{n} = ∫_{−1}^{1} dp ∫_{0}^{2π} dq′ ⟨p|q′⟩⟨q′|F^{n}|p⟩  (4.14)

mit den Definitionen

⟨q′|F^{n}|p⟩ ≡ J ∫_{−1}^{1} dp′ ⟨q′|p′⟩⟨j, Jp′|F^{n}|j, Jp⟩ (4.15)