Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen 67

mittels einer Fourierreihenentwicklung

d(φ) = \frac{1}{2π} ∑_{n=−∞}^{∞} t_{n} exp [inφ] = \frac{N}{2π} + \frac{1}{π} ∑_{n=1}^{∞} t_{n} cos(nφ) (4.6)

im Hinterkopf. Wir haben bereits die Unitarität von F über die Beziehung t_{−n} = t_{n}^{∗} einfließen lassen. Man sieht so der Summe rechts direkt an, daß sie — in Übereinstimmung mit der Definition von d(φ) — eine reelle Größe beschreibt. Ferner gilt \frac{1}{2π} tr F^{0} = \frac{1}{2π} tr ˆ1I = N/2π. Dieser konstante Untergrundterm zur spektralen Dichte spiegelt wider, daß es N Eigenphasen im Intervall [0, 2π) gibt. Ihr mittlerer Abstand ist demgemäß \overline{Δφ} = 2π/N.

Wenn wir die Summe über n auf ein endliches Zeitintervall n = 1, 2, …, n_{max} beschränken, was in der ursprünglichen Summe dem Intervall Δt = 2n_{max}+1 entspricht, erhalten wir anstelle der Deltafunktionen Terme der Form

\frac{sin[(n_{max} + \frac{1}{2})(φ − φ_{k})]}{sin[\frac{1}{2}(φ − φ_{k})]} . (4.7)

Diese Beiträge haben im Einklang mit der Unschärferelation Peaks der Breite Δφ ≈ π/(n_{max} + \frac{1}{2}). Will man individuelle Eigenphasen identifizieren, benötigt man ein Auflösungsvermögen mindestens von der Genauigkeit des mittleren Phasenabstands \overline{Δφ}. Es ergibt sich in der Tat n_{max} ≈ N/2.

4.1.2 Die Spuren als Phasenraumintegral

Die Spuren lassen sich in der Form eines Phasenraumintegrals schreiben, welches als Ansatzpunkt für die semiklassische Behandlung von Nutzen sein wird. Der Ausdruck hat die Form

tr F^{n} = ∫ dq′ ∫ dp ⟨q′|F^{n}|p⟩⟨p|q′⟩ . (4.8)

Diese Darstellung erhält man ohne Mühe für Systeme, die durch einen Orts- und einen Impulsoperator mit der Vertauschungsrelation [q̂, p̂] = iℏ beschrieben werden. Ein Basiswechsel ist dort bekanntlich mit einer Fouriertransformation verbunden,

⟨p|q⟩ = (2πℏ)^{−1/2} exp [−\frac{i}{ℏ}pq] . (4.9)

Bei einem Drehimpulssystem muß dieser Zusammenhang leicht modifiziert werden. Hier geht der klassische Impuls aus dem Operator J_{z} hervor. Es gibt nun allerdings keinen quantenmechanischen ”Winkeloperator“ φ̂ mit [φ̂, J_{z}] = i. Die grundlegende Ursache ist die diskrete Natur der Quantenzahl m. Sie steht im Zusammenhang mit der Tatsache, daß man klassisch Winkel, die sich um Vielfache von 2π unterscheiden,