66 4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

4.1 Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen

4.1.1 Spuren und Spektrum des Floquetoperators

Als Ansatzpunkt für die semiklassische Bestimmung des Quasienergiespektrums dienen die Spuren

t_{n} ≡ tr F^{n} = ∑_{k=1}^{N} exp [−inφ_{k}] (4.1)

von Potenzen des Floquetoperators. Das Spektrum ist durch die Spuren der Potenzen 1 ≤ n ≤ N/2 festgelegt. Der Weg führt über das charakteristische Polynom

det(F − λˆ1I) = ∑_{n=0}^{N} a_{n}(−λ)^{N−n} = 0 , (4.2)

dessen N Wurzeln λ_{k} = exp [−iφ_{k}] gerade die Eigenwerte von F sind. Hier gilt unter anderem a_{0} = 1, a_{1} = t_{1} und a_{N} = det F. Die Koeffizienten lassen sich aus den Spuren t_{n} über die Newtonschen Formeln bestimmen [79],

na_{n} = −(−1)^{n}t_{n} − ∑_{k=1}^{n−1} a_{n−k}(−1)^{k}t_{k}, (1 ≤ n ≤ N) . (4.3)

Aus dem angesprochenen Satz Spuren erhält man zunächst nur die Koeffizienten mit Index n = 1 bis n = N/2. Die zweite Hälfte folgt aus der sogenannten Selbstinversitätsbeziehung [40]

a_{N−n} = a_{N}a_{n}^{∗} , (4.4)

die eine Konsequenz der Unitarität von F ist. Die N/2 komplexen Größen t_{n}, 1 ≤ n ≤ N/2, bieten also genausoviel Information wie die N reellen Quasienergien φ_{k}.

Die Spur t_{n} ist mit der Dynamik über n Perioden hinweg verknüpft. Daß man das System über N/2 Perioden verfolgen muß, um das Spektrum zu gewinnen, läßt sich auch auf eine andere Art und Weise verstehen, nämlich in Form einer Energie– Zeit–Unschärferelation ΔtΔE ≈ 2π. Hier hat man als Entschlüsselungsstrategie die Bestimmung der spektralen Zustandsdichte

d(φ) = ∑_{k=1}^{N} δ(φ − φ_{k}) (4.5)