Verknüpfung des Spektrums mit periodischen Bahnen 65

4 Die semiklassische Rolle periodischer Bahnen

Die Quasienergien eines quantenmechanischen periodisch getriebenen Systems, d. h. die Phasen der Eigenwerte des Floquetoperators F, können aus den Spuren tr F^{n} gewonnen werden. Diese wiederum lassen sich mit periodischen Bahnen des klassischen Systems in Verbindung setzen. Stationäre Eigenschaften des Quantensystems werden so mit stationären Eigenschaften des klassischen Systems verknüpft. Hierzu formulieren wir zunächst die Spuren in der Form eines Integrals über den Phasenraum und setzen dort die semiklassische Van–Vleck–Näherung [5–7] des Floquetoperators ein. Dadurch bringen wir die erzeugenden Funktionen ins Spiel. Eine Näherung nach der Methode der stationären Phase führt dann bereits auf die periodischen Bahnen: Semiklassisch setzt sich tr F^{n} aus Beiträgen der periodischen Bahnen der Periode n zusammen [10–13].

Hintergrund der Näherungsmethode der stationären Phase ist eine Verschiebung der Integrationskontur ins Komplexe — in unserem Fall also eine Komplexifizierung des Phasenraums. In einer mathematisch sauberen Formulierung konstruiert man eine solche Integrationskontur mittels der Methode des stärksten Abklingens des Integranden [41,42]. Auf der neuen Integrationskontur hat der Integrand Maxima an den Punkten stationärer Phase. Aus ihrer Umgebung rühren die hauptsächlichen Beiträge zum Integral her. Die neue Kontur führt in der Regel über weitere Maxima, an denen Ort und Impuls komplexe Größen sind. Sie entsprechen komplexen Geisterlösungen der Fixpunktgleichungen, d. h. komplexen periodischen Bahnen, wie sie schon bei den Normalformen aufgetreten sind. Nicht alle Geister liefern jedoch einen Beitrag, sondern nur solche, die auf oder in der Nähe der neuen Integrationskontur liegen.

Ist eine periodische Bahn hinreichend von allen anderen isoliert, so liefert sie einen additiven Beitrag, dessen Amplitude durch die primitive Periode n_{0} sowie den Stabilitätsfaktor tr M und dessen Phase durch die Wirkung S und den Maslovindex ν gegeben ist. Erst der Schritt vom Phasenraumintegral zu den periodischen Bahnen sorgt dafür, daß das Ergebnis nicht von der Wahl der klassischen Beschreibungsweise abhängt — von den periodischen Bahnen fließen nur Eigenschaften ein, die sich unter kanonischen Transformationen nicht ändern, während vorher mit der Erzeugenden eine Größe im Integranden auftritt, die diese schöne Eigenschaft nicht besitzt.

In der Nähe von Bifurkationen liegen Punkte stationärer Phase eng beieinander. Periodische Bahnen können dann nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden, sondern liefern einen kollektiven Beitrag. Hier helfen die Normalformen der Erzeugenden aus Kapitel 3 weiter. Wir geben die Beiträge für die verschiedenen dort diskutierten Bifurkationstypen an. Erneut fließen nur die oben genannten kanonisch invarianten Eigenschaften der periodischen Bahnen ein. Auch die Familie periodischer Bahnen auf einem rationalen Torus eines integrablen Systems trägt kollektiv bei, ebenso die Bahnen auf einem gebrochenen Torus im nahezu integrablen Fall.