62 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

[^{1}/_{0}]^{(1)}, die aus dem anderen trivialen Fixpunkt folgende mit [^{1}/_{0}]^{(2)}. Da eine Bahn an verschiedenen Bifurkationen beteiligt ist, trägt sie mehrere Namen.

3.6.3 Das Verfolgen der periodischen Bahnen

Im dreidimensionalen Raum (q, p, k) bilden die periodischen Bahnen Linien. Beim Verfolgen der Bahnen (q(k), p(k)) als Funktion von k ist es hilfreich, sich den Tangentenvektor

(q̇, ṗ) ≡ (\frac{dq}{dk} , \frac{dp}{dk}) (3.179)

an diese Linien zu verschaffen. Dazu differenzieren wir die Fixpunktgleichungen nach k und erhalten das inhomogene lineare Gleichungssystem

(𝔐_{11} − 1)q̇ + 𝔐_{12}ṗ = −𝔐_{13} ,  (3.180)
𝔐_{21}q̇ + (𝔐_{22} − 1)ṗ = −𝔐_{23}  (3.181)

mit den Elementen der erweiterten linearisierten Abbildung 𝔐 (3.177). Interessanterweise ist das Gleichungssystem gerade an den Bifurkationen singulär. Der Tangentenvektor (q̇, ṗ, k̇ ≡ 1) hat dann nach Normierung eine verschwindende k–Komponente, und es ist sogar erlaubt, in Richtung komplexer Koordinaten p und q fortzuschreiten und dennoch reelles k beizubehalten. Es ist somit ohne weiteres möglich, auch die komplexen Vorläuferlösungen bifurkierender Bahnen, die wir bei der Semiklassik benötigen werden, im komplexifizierten Phasenraum als Funktion reellen k’s zu verfolgen.

Als Beispiel betrachten wir die Bahnen aus der Tangentenbifurkation [^{1}/_{1}]_{1} bei k = 2.45 . . .. In Abbildung 10 ist aufgezeigt, wie sich die Wirkung, der Stabilitätsfaktor und die Koordinaten als Funktion von k verhalten. Vor der Bifurkation sind dies komplexe Größen, die für die beiden Bahnen zueinander konjugiert sind. Nach der Bifurkation sind sie reell. Direkt an der Bifurkation verhalten sich die Differenzen der klassischen Größen beider Bahnen nach Potenzgesetzen. Diese sind universeller Natur und lassen sich etwa für die Tangentenbifurkation aus den Beziehungen (3.116, 3.117, 3.118) herleiten. Der dort auftretende Bifurkationsparameter ε muß augenscheinlich in glatter und in erster Ordnung linearer Weise von k abhängen.

Die Lage der reellen Bahnen der Längen eins bis drei ist für k = 1, 2, …, 8 in Abbildung 11 dargestellt.