60 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

i = 1  2  3  4  5
[^{1}/_{0}] k = 0
[^{1}/_{1}] 2.4496570879 8.8147942804 11.357670526
[^{1}/_{2}] 2.7816908359 2.8398940485 4.3082701518 9.7582668226 12.254290139
[^{1}/_{3}] 1.8594663798 1.9753023135 3.5448917906 9.3696437931 11.886171944
[^{1}/_{4}] 1.0055378826 1.1953979342 3.0336495024 9.0808380074 11.604370343

Tabelle I. Bifurkationswerte k < ∼ 15 für Bifurkationen mit zentralem Orbit der primitiven Periode eins und m = 1 – 4

𝔐̃_{13} = 𝔐̃_{31} = 𝔐̃_{32} = 0 ,
𝔐̃_{23} = p̃(p, q) ,
𝔐̃_{33} = 1 .  (3.178)

Die Matrixelemente M̃_{ij} sind in Gleichung (3.28) angegeben.

3.6.2 Bezeichnungskonvention für Bifurkationen und Bahnen

Wir wollen zunächst eine Bezeichnungskonvention für die Bifurkationen vereinbaren, um später eine bequeme Referenz zu ermöglichen. Bei unserer Kreiselstudie treten nur Bifurkationen der Kodimension eins auf. Für die an einer Bifurkation beteiligten Bahnen sei n die kürzeste auftretende primitive Periode. Die zugehörige Bahn haben wir in Periodenver–m–fachungen den zentralen Orbit genannt. Bei Tangentenbifurkationen (m = 1) denken wir an die stabile der beiden beteiligten Bahnen. Alle Periodenver–m– fachungen mit zentralem Orbit der primitiven Periode n belegen wir mit dem Symbol [^{n}/_{m}]. Die einzelnen Bifurkationen numerieren wir mit einem Index i = 1, 2, 3, … fortlaufend in der Reihenfolge, in der sie mit von Null anwachsendem k auftreten. So bezeichnet [^{1}/_{2}]_{3} die dritte Periodenverdopplung von Orbits der primitiven Länge eins; [^{3}/_{1}]_{2} ist die zweite Tangentenbifurkation von Orbits der primitiven Länge drei. Aus formalen Gründen belegen wir die bloße Existenz der beiden trivialen Fixpunkte bei k = 0 mit dem Symbol [^{1}/_{0}].

Die ersten Bifurkationswerte zu den primitiven Perioden n = 1, 2, 3 und niedrigen Wiederkehrzahlen m sind in den Tabellen I – III aufgeführt.

Die verschiedenen an einer Bifurkation beteiligten Bahnen unterscheiden wir durch hochgestellte Indizes [^{n}/_{m}]_{i}^{(0,1,2)}. Das Symbol 0 steht für den zentralen Orbit einer jeden Bifurkation. Von den beiden komplexen Geisterlösungen vor einer Tangentenbifurkation bezeichnet es diejenige mit Im S > 0. Die Symbole 1, 2 werden für Satelliten verwandt. Die dem trivialen Fixpunkt bei +X̃ zugeordnete Bahn bezeichnen wir mit