Die periodischen Bahnen des Kreisels 59

ν_{±} = μ̂ + \frac{1}{2}(sign b ∓ sign a) ,  (3.175)

mit dem Morseindex μ̂.

Betrachtet man die Normalform auf der p–Achse, so hat sie dieselbe Struktur wie die Normalform (3.150) auf der q′–Achse. Man kann daher die Koeffizienten auf dieselbe Weise aus den Wirkungen gewinnen wie bei der Aufeinanderfolge zweier Tangentenbifurkationen, muß nun allerdings tr M_{0} = 2 − ε^{2} benutzen, um die Radialkoordinate richtig zu skalieren.

3.6 Die periodischen Bahnen des Kreisels

3.6.1 Das Auffinden der Bifurkationen

Wir wissen von unserer Kreiselvariante in der Parametrisierung aus Abschnitt 2.2.3, daß sie bei k = 0 genau zwei periodische Bahnen besitzt. Sie haben die Periode eins und liegen dort, wo die Drehachse (2.32) die Einheitskugel durchstößt. Da die stroboskopische Frequenz (2.31) für alle Tori gleich und für allgemeine Parameterwahl kein rationales Vielfaches von 2π ist, gibt es insbesondere keine rationalen invarianten Tori. Zusätzliche periodische Bahnen bei einem von Null verschiedenen k müssen daher durch Bifurkationen entstanden sein. Um die periodischen Bahnen für beliebiges k bis zu einem Wert k_{max} zu erhalten, suchen wir zunächst die Bifurkationen in diesem k–Intervall auf, indem wir numerisch mittels eines Newtonalgorithmus die Lösungen q, p, k der Gleichungen

𝔉^{(n)}(q, p) = (q, p) ,  tr M^{(n)} = 2 cos (2π \frac{l}{m})  (3.176)

bestimmen. Bei drei Unbekannten und drei Gleichungen findet man in der Regel isolierte Lösungstripel. Da wir nur einen Kontrollparameter zulassen, treffen wir nur auf Bifurkationen der Kodimension eins.

Der Newtonalgorithmus bringt unter anderem die erweiterte linearisierte Abbildung

𝔐 = \frac{∂(q′, p′, k′)}{∂(q, p, k)} (3.177)

ins Spiel, mit k′ = k. (Man benötigt darüberhinaus sogar Ableitungen der linearisierten Abbildung.) Nach der Kettenregel setzt sie sich durch Matrixmultiplikation aus den Matrizen 𝔐̃ der Teilschritte 𝔉̃ zusammen. Diese haben die Einträge

𝔐̃_{ij} = M̃_{ij} für i, j = 1, 2 ,