58 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

sign(2 − tr M_{0}) = sign(2 − tr M_{+}) = − sign(2 − tr M_{−}) ,
ν_{0} = ν_{+} = ν_{−} + sign(S_{0} − S_{−})  (3.170)

nieder.

3.5.3 Periodenverdreifachung und Tangentenbifurkation

Die Periodenverdreifachung unterscheidet sich von allen anderen Bifurkationen dadurch, daß hier niemals komplexe Lösungen auftreten. Der Satellit entsteht jedoch in vielen Fällen erst kurz vor der Periodenverdreifachung in einer Tangentenbifurkation. Ein schönes Beispiel ist in Abbildung 7 zu sehen. Die Tangentenbifurkation findet bei k = 3.525 … statt, die Periodenverdreifachungen bei k = 3.545 . . .. Diese enge Nachbarschaft im Parameterraum ist beim Kreisel nicht ungewöhnlich: Alle untersuchten Periodenverdreifachungen waren von einer Tangentenbifurkation des Satelliten begleitet. Für zentrale Orbits der primitiven Länge eins trifft man etwa mit steigendem k auf die Paare (k = 1.853 …, 1.859 …) und (1.972 …, 1.975 …), gefolgt von dem gerade erwähnten und weiteren bei (9.335 …, 9.369 …) und (11.841 …, 11.886 …).

Das Szenarium wird durch die Normalform

Ŝ(φ′, I) = S_{0} + φ′I − εI − aI^{3/2} cos(3φ′) − bI^{2} (3.171)

beschrieben. Der zusätzliche Term bI^{2} zerstört nicht die diskrete Drehsymmetrie um 2π/3; die Satelliten liegen daher weiterhin auf den Linien sin(3φ) = 0. Wir kehren wieder zu kartesischen Koordinaten q′ = \sqrt{2I} sin φ, p = \sqrt{2I} cos φ zurück und betrachten die Fixpunktgleichungen auf der p–Achse,

εp + \frac{3}{2\sqrt{2}}p^{2} + bp^{3} = 0 . (3.172)

Die Lösungen sind p = 0 sowie

p_{±} = −\frac{3}{4\sqrt{2}} \frac{a}{b} ± \sqrt{\frac{9}{32} \frac{a^{2}}{b^{2}} − \frac{ε}{b}} . (3.173)

Es tritt also ein weiterer Satellit auf. Die Periodenverdreifachung findet bei ε = 0 statt. Bei \frac{9}{32} \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{ε}{b} fallen die Koordinaten der Satelliten zusammen; hier tritt die Tangentenbifurkation auf. Für \frac{ε}{b} → −∞ bilden die beiden Satelliten in sehr großer Entfernung zum zentralen Orbit eine Art gebrochenen Torus. Bei reellen Koordinaten ist der entferntere Satellit wie der zentrale Orbit stabil (oder invers instabil), der andere Satellit ist ein normaler instabiler Orbit. Die Maslovindizes sind

ν_{0} = μ̂ + sign ε ,  (3.174)