Aufeinanderfolgende Bifurkationen 57

fest. Dies ist eine monotone Funktion auf (0, ∞) und (−∞, 0). Das Intervall, in dem die Lösung gesucht werden muß, folgt aus den Ausdrücken

tr M_{0} = 2 + σA(1 + q̃^{2}) ,  (3.166)
tr M_{±} = 2 − 2σAq̃(q̃ ∓ i)  (3.167)

für die Stabilitätsfaktoren, denn es gilt sign q̃ = sign[(tr M_{0} − 2)/ Im tr M_{+}]. Der Vorfaktor A folgt aus dem Real- oder dem Imaginärteil von S_{+} − S_{0}, der Koeffizient σ etwa aus tr M_{0}.

3.5.2 Periodenverdopplung und Tangentenbifurkation

Wir betrachten nun den Fall, daß ein Satellit, der in einer Periodenverdopplung entstanden ist, anschließend in einer inversen Tangentenbifurkation mit einem weiteren Satelliten wieder verschwindet. Die Situation erinnert an die sogenannte Schwalbenschwanzkatastrophe. Steuert man das System im entgegengesetzten Sinn durch den Parameterraum, so verschwindet ein durch eine Tangentenbifurkation entstandener Orbit in einer inversen Periodenverdopplung. Die Normalform lautet [78]

Ŝ(q′, p) = S_{0} + q′p − εq^{′2} − aq^{′4} − bq^{′6} − \frac{1}{2}σp^{2} . (3.168)

Nur gerade Terme treten hier auf, da jeder Satellit an beiden Punkten seiner Trajektorie die gleichen Wirkungen und Stabilitäten hat. Genauer liegen die periodischen Bahnen auf der Linie p = 0 und haben dort die Koordinaten q_{0} = 0,

q_{±}^{2} = −\frac{1}{3} \frac{a}{b} ± \sqrt{\frac{1}{9} \frac{a^{2}}{b^{2}} − \frac{1}{3} \frac{ε}{b}} . (3.169)

Die Periodenverdopplung tritt bei ε = 0 auf, während die Tangentenbifurkation bei ε = a^{2}/(3b) stattfindet. Die Wirkungen, Stabilitätsfaktoren und Maslovindizes lassen sich wieder in den Koeffizienten der Normalform ausdrücken; andersherum kann man die Koeffizienten aus den Größen der Bahnen bestimmen. Im Falle dreier reeller Bahnen liegt von den beiden Satelliten ± der Orbit − näher an der zentralen Bahn 0. Aus den möglichen Abfolgen der Minima und Maxima von Ŝ − q′p entlang der q–Achse und den daraus folgenden Konfigurationen von Minima, Maxima und Sätteln in der q′-p– Ebene lernt man einiges über die qualitative Natur der periodischen Bahnen. So sind zum Beispiel die Orbits + und 0 instabil, falls − stabil ist. Bei (q_{−}, 0) liegt dann ein Maximum oder Minimum von Ŝ − p′q, an den Koordinaten der beiden anderen Orbits findet man Sättel. Die Betrachtung der übrigen möglichen Fälle schlagen sich in den Beziehungen

sign(S_{+} − S_{−}) = sign(S_{0} − S_{−}) ,