56 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

und legen so den Satelliten + nach q = 1 sowie den Satelliten − nach q = q_{−}. Wir können q_{−} ∈ [−1, 0] fordern, setzen uns also auf den mittleren Orbit; der Satellit + hat dann den größten Abstand zu seinem nächsten Nachbarn (vgl. erneut Abb. 9). Dies liefert die Wirkung S_{0} für den zentralen Orbit sowie

S_{+} = S_{0} + \frac{A}{12} (2q_{−} − 1) ,  (3.158)
S_{−} = S_{0} + \frac{A}{12}(2 − q_{−})q_{−}^{3}  (3.159)

für die Satelliten. Es folgt

\frac{S_{−} − S_{0}}{S_{+} − S_{0}} = q_{−}^{3} \frac{q_{−} − 2}{1 − 2q_{−}} ≡ g(q_{−}) . (3.160)

Im Intervall (−1, 0) ist g(q_{−}) eine monoton fallende Funktion. Daher kann q_{−} eindeutig bestimmt werden. Die Wirkung des Orbits − liegt zwischen denen der Orbits 0 und +, da im betrachteten Intervall 0 < g(q_{−}) < 1 gilt. Der Vorfaktor A folgt aus (3.158) oder (3.159). Den Koeffizienten σ vor p^{2} bestimmen wir aus dem Stabilitätsfaktor

tr M_{0} = 2 + Aq_{−}σ . (3.161)

Durch Reskalieren von p und q kann man σ = ±1 erreichen.

Im Falle einer reellen und zweier zueinander konjugiert komplexer Bahnen führt der Ansatz

Φ(q) = A (\frac{1}{2}(1 + q̃^{2})q^{2} − \frac{2}{3}q^{3} + \frac{1}{4}q^{4}) (3.162)

zum Ziel. Es ist

\frac{dΦ}{dq} = Aq [(q − 1)^{2} + q̃^{2}] , (3.163)

der reelle Orbit sitzt also bei q = 0, die komplexen Bahnen liegen bei q_{±} = 1 ± iq̃. Die Wirkungen sind S_{0} und

S_{±} = S_{0} + A (\frac{1}{12} + \frac{1}{2}q̃^{2} − \frac{1}{4}q̃^{4} + i\frac{2}{3}q̃^{3}) . (3.164)

Man legt nun q̃ aus dem Verhältnis

\frac{Re S_{+} − S_{0}}{Im S_{+}} = \frac{1 + 6q̃^{2} − 3q̃^{4}}{8q̃^{3}} (3.165)