Aufeinanderfolgende Bifurkationen 55

Abbildung 9: Qualitatives Verhalten von Ŝ(q′, p) − q′p für drei eng benachbarte periodische Bahnen. Ihre Lage ist durch die Sättel bestimmt.

und haben die Lösungen p_{0,±} = 0, q_{0}=0 und

q_{±} = −\frac{3}{8} \frac{a}{b} ± \sqrt{\frac{9}{64} \frac{a^{2}}{b^{2}} − \frac{1}{2} \frac{ε}{b}} . (3.155)

Daraus ergeben sich die Wirkungen, Stabilitätsfaktoren und Maslovindizes. Im Falle dreier reeller Orbits trifft man dann auf die folgende Situation, illustriert in Abbildung 9: Entlang der q′–Achse ist Ŝ − q′p eine quadratische Funktion mit einem Minimum zwischen zwei Maxima oder einem Maximum zwischen zwei Minima. Der mittlere der entlang der q′–Achse aufgereihten Orbits hat demnach entweder die größte oder die kleinste Wirkung. Seine Stabilität hängt weiter von der Krümmung −σ der Erzeugenden in p–Richtung ab. Diese ist entlang der gesamten q′–Achse und somit auch an den Positionen der drei Orbits gleich. Daraus zieht man die folgenden Konsequenzen: Wenn der mittlere Orbit instabil ist, mit tr M > 2, so haben die beiden anderen Orbits tr M < 2, sind also entweder stabil oder invers instabil. Ist der mittlere Orbit stabil oder invers instabil, so sind die beiden anderen Orbits instabil mit tr M > 2. Der Maslovindex ist für diese beiden Orbits gleich und um eins größer als der Maslovindex der mittleren Bahn, falls die Wirkung der mittleren Bahn minimal ist; andernfalls ist er um eins kleiner.

Wir wollen erklären, wie sich die Koeffizienten aus den Wirkungen der periodischen Bahnen bestimmen lassen. Die Vorgehensweise läßt sich auf andere Fälle übertragen und ist nützlich, wann immer geschlossene algebraische Ausdrücke nicht erhältlich sind.

Im Falle dreier reeller Orbits machen wir den Ansatz

Φ(q) ≡ Ŝ(q, p) − S_{0} − qp + \frac{σ}{2} p^{2} = A (\frac{1}{4}q^{4} − \frac{1}{3}(1 + q_{−})q^{3} + \frac{1}{2}q_{−}q^{2}) (3.156)

mit

\frac{dΦ}{dq} = Aq(q − 1)(q − q_{−}) (3.157)