54 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

kann daher erneut die Zahl m zur Klassifizierung hinzuziehen. Wir diskutieren hier die Fälle m = 1, 2, 3.

3.5.1 Zwei benachbarte Tangentenbifurkationen

Wir betrachten eine Situation, in der drei periodische Bahnen gleicher Länge sehr nahe beieinanderliegen und aufeinandertreffen, falls man zwei Kontrollparameter richtig einstellt. Verfügt man nur über einen Parameter, so findet man gegebenenfalls — aber nicht notwendigerweise — zwei Tangentenbifurkationen bei eng benachbarten Parameterwerten, häufig aber zumindest eine. Wir benötigen den Term nächsthöherer Ordnung in der Erzeugenden Ŝ, ausgehend von der Form (3.113) in der Nähe einer Tangentenbifurkation. Ihn haben wir bereits bei der Diskussion des Zusammenbrechens der Beziehung (3.119) kennengelernt. Wir benutzen also erneut die Normalform (3.120)

Ŝ(q′, p) = S_{0} + q′p − εq′ − aq^{′3} − bq^{′4} − \frac{σ}{2} p^{2} . (3.150)

Betrachtet man die zugehörigen Fixpunktgleichungen

p = 0 ,  ε + 3aq^{′2} + 4bq^{′3} = 0 ,  (3.151)

so muß man ein Polynom dritten Grades lösen und erhält drei Fixpunkte, von denen jedoch zwei komplexwertig sein können. Dies richtet sich nach dem Vorzeichen der Diskriminante

D = (\frac{1}{8} \frac{ε}{b})^{2} + \frac{1}{4} \frac{ε}{b} (\frac{1}{4} \frac{a}{b})^{3} . (3.152)

Drei reelle Lösungen gibt es für D < 0, eine reelle und zwei zueinander konjugiert komplexe für D > 0. An den Bifurkationen verschwindet die Diskriminante; dies geschieht für ε = 0 oder ε = −\frac{1}{4} \frac{a^{3}}{b^{2}} . In jedem Fall liegen alle drei Orbits auf der q–Achse.

Da ein Orbit immer reell ist, vereinfacht sich die Diskussion deutlich, wenn man ihn in den Ursprung des Koordinatensystems legt. Man hat dann

Ŝ = S_{0} + q′p − εq^{′2} − aq^{′3} − bq^{′4} − \frac{σ}{2} p^{2} (3.153)

mit veränderten Koeffizienten, die wir aber nicht anders bezeichnen wollen. Die Fixpunktgleichungen lauten nun

p = 0 ,  q′(2ε + 3aq′ + 4bq^{′2}) = 0  (3.154)