Aufeinanderfolgende Bifurkationen 53

ist für alle Orbits identisch, und man erhält die Maslovindizes

ν_{0} = μ̂ + sign ε ,  (3.148)
ν_{±} = μ̂ − \frac{1}{2} sign ε ∓ \frac{1}{2} sign b .  (3.149)

3.5 Aufeinanderfolgende Bifurkationen

Wir haben bereits gesehen, daß eine periodische Bahn in der Regel in verschiedene aufeinanderfolgende Bifurkationen verwickelt ist. Auch die typischerweise auftretenden Abfolgen von Bifurkationen der Kodimension eins lassen sich klassifizieren. Wir wollen Kaskaden und Sequenzen von Bifurkationen unterscheiden. Eine Kaskade ist eine Abfolge von Bifurkationen, die zu verschiedenen Wiederkehrzeiten sichtbar werden. Ein Beispiel ist die Tangentenbifurkation aus Abbildung 5 mit den nachfolgenden Periodenver–m–fachungen des zentralen Orbits in den Abbildungen 6, 7 und 8. Die verschiedenen Bifurkationen treten erstmals in der m–Schritt–Abbildung auf. Solche Kaskaden spielen in der Folge eine untergeordnete Rolle. Die einfachsten sollten sich durch Iteration der Abbildungen zu den verschiedenen bisher betrachteten Normalformen beschreiben lassen, wobei detailierte Studien noch ausstehen.

Wir konzentrieren uns auf Sequenzen von Bifurkationen, worunter wir Abfolgen verstehen wollen, die alle bei derselben Iteration der Abbildung zum ersten Mal sichtbar werden. Dies ist etwa bei der Tangentenbifurkation der Satelliten und der Periodenverdreifachung in Abbildung 7 gegeben. Solche Sequenzen leiten sich von Bifurkationen höherer Kodimension ab [38,39,28]. Diese treten auf, wenn man das System nicht nur mit einem Parameter steuert, sondern etwa einen weiteren Parameter k′ zur Verfügung hat. Im Falle des Kreisels bietet sich zum Beispiel der Winkel p_{y} an, aber auch jede andere Kombination der vorhandenen Kopplungskonstanten. (Man könnte die Kreiselvariante auch in eine noch größere Klasse von Systemen einbetten, sich also beliebig viele andere Parameter hinzudenken.) Treten nun zwei aufeinanderfolgende Bifurkationen eines Orbits bei den Parameterwerten k = k_{1} und k = k_{2} auf, so hängen diese Werte auch von k′ ab. Man kann k′ in der Regel so einstellen, daß k_{1} = k_{2} wird und somit beide Bifurkationen gleichzeitig auftreten. Im Phasenraum treffen dann alle beteiligten Bahnen in einer Bifurkation der Kodimension zwei aufeinander, die komplizierter ist als die bisher diskutierten der Kodimension eins.

Die typische Konfiguration der Bahnen in der Nähe der Bifurkation findet man wieder aus der entsprechenden Normalform. Sie erhält man auf demselben Weg wie bei den Bifurkationen der Kodimension eins. Man muß nun in der Reduktion des vollen dynamischen Systems resonante Terme der nächsthöheren Ordnung in I beibehalten, wodurch in den Fixpunktgleichungen zusätzliche Lösungen auftreten. Auch auf einer Bifurkation der Kodimension zwei ist die Bifurkationsbedingung (3.102) erfüllt. Man