52 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Wie bei der Periodenverdopplung haben selbst Satelliten mit komplexen Koordinaten reelle Wirkungen und Stabilitätsfaktoren. Die Maslovindizes sind

ν_{0} = μ̂ + sign ε ,  (3.145)
ν_{±} = μ̂ + \frac{1}{2} sign(a ± b) ∓ \frac{1}{2} sign b .  (3.146)

Je nach relativer Größe von |a| und |b| gibt es zwei verschiedene Varianten der Periodenvervierfachung.

• |a| < |b|: Auf beiden Seiten der Bifurkation gibt es je einen Satelliten mit komplexen und einen mit reellen Koordinaten. Steuert man das System über die Bifurkation, tauschen dabei die beiden Satelliten ihre Rollen. Der reelle Satellit ist jeweils instabil.

• |a| > |b|: Auf der einen Seite der Bifurkation gibt es nur komplexe Satellitenlösungen, die an der Bifurkation mit dem zentralen Orbit zusammenfallen und dann als zwei reelle Satelliten von ihm wegwandern. Der eine Satellit ist zunächst stabil, der andere instabil. Abbildung 8 illustriert diese Bifurkation anhand des Orbits, der in der Tangentenbifurkation bei k = 2.45 … als stabile periodische Bahn entstanden ist. Die Periodenvervierfachung findet bei k = 3.034 … statt.

3.4.7 Höhere Periode–m–Bifurkationen

Die Periode–m–Bifurkationen mit m ≥ 5 verlaufen alle nach dem gleichen Schema: Komplexe Vorläuferlösungen zweier Satelliten treffen an einer zentralen periodischen Bahn zusammen. Es entstehen zwei reelle Satelliten, und zwar ein stabiler und ein instabiler. Dieses Szenarium gleicht der zweiten Variante der Periodenvervierfachung (|a| > |b|). Wir werden solche Bifurkationen in dieser Arbeit nicht weiter untersuchen. Der Vollständigkeit halber seien aber die wichtigsten Eigenschaften aufgeführt [37]. Sie folgen aus der Normalform

Ŝ(φ′, I) = S_{0} + φ′I − εI − ∑_{k=2}^{[m/2]} a_{k}I^{k} − bI^{m/2} cos(mφ) . (3.147)

Die Satelliten liegen auf den Linien cos(mφ) = ±1. Ihr Abstand I ist von Ordnung ε und unterscheidet sich in Ordnung ε^{\frac{m}{2} −1}. Die Wirkung des zentralen Orbits ist S_{0}. Die Wirkungen der Satelliten sind in führender Ordnung identisch, S_{±} = S_{0} + \frac{1}{4} \frac{ε^{2}}{a_{2}} , und unterscheiden sich in Ordnung ε^{m/2}. Die Spur der linearisierten Abbildung ist tr M_{0} = 2 − ε^{2}. Die Stabilitätsfaktoren der Satelliten sind von Ordnung tr M_{±} = 2 + 𝒪(ε^{m−2}) und unterscheiden sich in Ordnung ε^{m−2}. Der Morseindex μ̂ in Normalformkoordinaten