Bifurkationen im gemischten Phasenraum 51

Abbildung 8: Phasenraumportraits in der Nähe einer Periodenvervierfachung bei k = 3.034 …

3.4.6 Periodenvervierfachungen (m = 4)

Die Periodenvervierfachung wird in Winkel–Wirkungsvariablen durch die Normalform

Ŝ(φ′, I) = S_{0} + φ′I − εI − aI^{2} − bI^{2} cos(4φ′) (3.140)

beschrieben. Neben der zentralen periodischen Bahn bei I_{0} = 0 gibt es zwei Satelliten (+, −) der vierfachen Periodenlänge bei

cos(4φ_{±}) = ±1 ,  I_{±} = −\frac{ε}{2a ± 2b} .  (3.141)

Die periodischen Bahnen haben reelle Koordinaten für I ≥ 0. Die Trajektorie des Orbits + liegt auf den Koordinatenachsen, die des Orbits − auf den Winkelhalbierenden. Die Wirkungen sind S_{0} für die zentrale periodische Bahn und

S_{±} = S_{0} + \frac{1}{4} \frac{ε^{2}}{a ± b} (3.142)

für die Satelliten. Die Stabilitätsfaktoren lauten

tr M_{0} = 2 − ε^{2} ,  (3.143)
tr M_{±} = 2 ± 8b\frac{ε^{2}}{a ± b} .  (3.144)