50 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Abbildung 7: Phasenraumportraits in der Nähe einer Periodenverdreifachung bei k = 3.545 . . .. Die Satelliten entstehen in einer Tangentenbifurkation bei k = 3.525 . . ..

Man sucht die Fixpunkte auf, die in Polarkoordinaten auf den Linien sin(3φ) = 0 liegen, mit I = \frac{4}{9} \frac{ε^{2}}{a^{2}} . Daraus erhält man die Wirkungen S_{0} für den zentralen Orbit und

S_{1} = S_{0} − \frac{4}{27a^{2}} ε^{3} (3.135)

für den Satelliten sowie die Spuren der linearisierten Abbildungen

tr M_{0} = 2 − ε^{2} ,  (3.136)
tr M_{1} = 2 + 3ε^{2} .  (3.137)

Es gilt in der angegebenen Ordnung in ε

3 tr M_{0} + tr M_{1} = 8 + 𝒪(ε^{4}) . (3.138) Die Maslovindizes ergeben sich zu ν_{1} = μ̂ und

ν_{0} = μ̂ + sign ε . (3.139)