Bifurkationen im gemischten Phasenraum 49

Nahe der Bifurkation ist entweder der Satellit oder der zentrale Orbit stabil, die andere Bahn ist dann instabil. Der zentrale Orbit ändert seine Stabilität mit dem Vorzeichenwechsel von ε an der Bifurkation. Die Morseindizes μ̂ der beiden Bahnen sind in den lokalen Koordinaten der Normalform wieder gleich. Die Maslovindizes sind damit

ν_{0} = μ̂ + \frac{1}{2}(sign σ + sign ε) ,  (3.132)
ν_{1} = μ̂ + \frac{1}{2}(sign σ − sign ε) .  (3.133)

Für die instabile Bahn gilt so ein weiteres Mal ν = μ̂, für die andere ν = μ̂ + sign σ.

Es ist interessant, daß Wirkung und Stabilitätsfaktor des Satelliten selbst für komplexe Koordinaten reelle Größen sind. Dies gilt nicht nur in den hier aufgeführten führenden Ordnungen in ε, sondern sogar exakt. Die Ursache liegt darin, daß die Koordinaten eines komplexen Satelliten aus einer Periodenverdopplung in konjugiert komplexen Paaren auftreten. Der Orbit geht also unter komplexer Konjugation in sich selbst über, und so geschieht es auch mit seinen charakteristischen Größen, die mithin reell sind. Erst wenn der Satellit mit einer anderen komplexen Bahn in einer Bifurkation im Komplexen aufeinandertrifft, können sich die konjugierten Koordinatenpaare voneinander lösen und in der Folge zu zwei verschiedenen Bahnen mit komplexen Wirkungen und Stabilitätsfaktoren gehören.

3.4.5 Periodenverdreifachungen (m = 3)

Periodenverdreifachungen stellen sich wie folgt dar: Um jeden Punkt der Trajektorie eines zentralen Orbits der Länge n_{0} liegen drei Punkte der Trajektorie eines Orbits der Länge n_{1} = 3n_{0} und bilden dabei ein Dreieck. Dieses Dreieck wird beim Zusteuern auf die Bifurkation immer kleiner. An der Bifurkation fallen alle vier Punkte zusammen. Jenseits der Bifurkation bilden die Satellitenpunkte wieder ein Dreieck, jedoch ein punktgespiegeltes: Die Satellitenpunkte wandern durch den zentralen Orbit hindurch, treten also diametral wieder aus ihm heraus. Die Periodenverdreifachung zeichnet sich mithin dadurch aus, daß bei ihr keine Orbits verschwinden oder neu entstehen, sondern ihre Zahl unverändert bleibt.

Die Abfolge von Phasenraumportraits in Abbildung 7 illustriert das geschilderte Szenarium anhand des bereits bei m = 1 und m = 2 untersuchten zentralen Orbits, der auf dem Weg zwischen der Tangentenbifurkation und der Periodenverdopplung eine Periodenverdreifachung bei k = 3.545 … erfährt.

Die Normalform lautet

Ŝ(q′, p) = q′p − \frac{ε}{2}(p^{2} + q^{′2}) − \frac{a}{2\sqrt{2}}(p^{3} − 3pq^{′2}) .  (3.134)