48 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Abbildung 6: Phasenraumportraits in der Nähe einer Periodenverdopplung bei k = 4.31 …

durch den Stabilitätsinseln auf dem Weg zu ausgeprägtem Chaos vernichtet werden [32, Kapitel 7.3b], [77, Kapitel 3.8.2].

Man beschreibt Periodenverdopplungen mittels der Normalform

Ŝ(q′, p) = S_{0} + q′p − εq^{′2} − aq^{′4} − \frac{σ}{2} p^{2} . (3.125)

Wie bei der Tangentenbifurkation können wir durch Skalieren der Koordinaten σ = ±1 erreichen. Die periodischen Bahnen liegen bei

p_{0} = 0,  q′_{0} = 0 ,  (3.126)
p_{1} = 0,  q′_{1} = ±\sqrt{−\frac{ε}{2a}} .  (3.127)

Dabei bezeichnet der Index 0 den zentralen Orbit und der Index 1 den Satelliten, der entsprechend seiner doppelt so großen Periodenlänge durch zwei Fixpunkte repräsentiert wird. Die Koordinaten des Satelliten sind für ε/a > 0 komplex (in der Normalformkoordinate q sogar rein imaginär) und werden mit dem Vorzeichenwechsel von ε an der Bifurkation reell.

Die Wirkungen der periodischen Bahnen sind S_{0} und

S_{1} = S_{0} + \frac{ε^{2}}{4a} . (3.128)

Die Spuren der linearisierten Abbildungen lauten

tr M_{0} = 2 − 2σε ,  (3.129)
tr M_{1} = 2 + 4σε ;  (3.130)

sie genügen der Relation

2 tr M_{0} + tr M_{1} = 6 + 𝒪(ε^{2}) . (3.131)