Bifurkationen im gemischten Phasenraum 47

Terme zu vernachlässigen. Die mathematische Rechtfertigung dafür liefert das sogenannte Aufspaltlemma der Katastrophentheorie [50]. Wir arbeiten demzufolge mit der erweiterten Normalform

Ŝ(q′, p) = S_{0} + pq′ − εq′ − aq^{′3} − bq^{′4} − \frac{σ}{2} p^{2} . (3.120)

Bis in zweite Ordnung in \sqrt{|ε|} liegen die Fixpunkte bei

p_{±} = 0 ,
q′_{±} = ±\sqrt{−\frac{ε}{3a}} + \frac{2bε}{9a^{2}} + 𝒪(|ε|^{3/2}) ,  (3.121)

wobei wir uns an dieser Stelle nicht um den formal auftretenden dritten Fixpunkt kümmern. Dies werden wir erst bei der daraus resultierenden Kodimension–zwei–Bifurkation in Abschnitt 3.5.1 tun. Die Fixpunkte tragen die Wirkung

S_{±} = S_{0} ∓ \frac{2ε}{3}\sqrt{−\frac{ε}{3a}} − \frac{bε^{2}}{9a^{2}} + 𝒪(|ε|^{5/2}) . (3.122)

Die Spuren der linearisierten Abbildung lauten

tr M_{±} = 2 ∓ 6aσ\sqrt{−\frac{ε}{3a}} + \frac{8σb}{3a}ε + 𝒪(|ε|^{3/2}) (3.123)

und verletzen somit die Beziehung (3.119) in Ordnung ε. Die Morseindizes μ̂ der eng benachbarten Bahnen sind identisch. Die Maslovindizes erhält man daher aus den Gleichungen (3.47) und (3.49) zu

ν_{±} = μ̂ + \frac{1}{2} sign σ ± \frac{1}{2} sign a

= \{ \begin{matrix}μ̂ & instabiler Orbit \\ μ̂ + sign σ & stabiler Orbit \end{matrix} .  (3.124)

3.4.4 Periodenverdopplungen (m = 2)

Bei einer Periodenverdopplung wechselt ein zentraler Orbit der Länge n_{0} seine Stabilität und erhält dabei einen Satelliten doppelter Periodenlänge n_{1} = 2n_{0}. Abbildung 6 illustriert dies anhand einer Periodenverdopplung, die man beim Kreisel bei k = 4.31 … vorfindet. Der zentrale Orbit ist für k > 4.31 … instabil und ist übrigens in der vorher gezeigten Tangentenbifurkation bei k = 2.45 … mit stabilem Verhalten entstanden. Der hinzugekommene stabile Satellit wiederum wird bereits bei k = 4.78 … in einer hier nicht gezeigten weiteren Periodenverdopplung wieder instabil, unter Auftreten eines stabilen Satelliten der Länge vier. Kaskaden dieser Art sind der Mechanismus,