46 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Abbildung 5: Phasenraumportraits in der Nähe einer Tangentenbifurkation bei k = 2.45 …

Die beiden Bahnen liegen also auf der q–Achse. Ihre Koordinaten sind reell für sign εa = −1 und zueinander konjugiert komplex für sign εa = 1; an der Bifurkation bei ε = 0 fallen sie zusammen. Der Wert der Wirkung S = Ŝ − q′p an den Fixpunkten ist

S_{±} = S_{0} ∓ \frac{2ε}{3}\sqrt{−\frac{ε}{3a}} . (3.117)

Die Spuren der Stabilitätsmatrix lauten

tr M_{±} = 2 ∓ 6aσ\sqrt{−\frac{ε}{3a}} . (3.118)

Eine Bahn ist zunächst stabil und kann weitab der Bifurkation auch invers instabil werden. Die andere ist ein gewöhnlicher instabiler Orbit. In führender Ordnung der lokalen Näherung gehorchen die Stabilitätsfaktoren der Beziehung

tr M_{+} + tr M_{−} = 4 , (3.119)

von der wir uns nun zu lösen suchen, indem wir in einer erweiterten Normalform einen Term mehr mitnehmen und seine Auswirkung auf die Eigenschaften der beiden bifurkierenden Bahnen in der nächsthöheren Ordnung in ε betrachten.

Die Anordnung der periodischen Bahnen auf der q–Achse erlaubt es, das Problem als ein eindimensionales zu betrachten. Es genügt dann, in der nächsthöheren Ordnung nur den rein q′–abhängigen Term bq^{′4} zu berücksichtigen und p–abhängige höhere