Bifurkationen im gemischten Phasenraum 45

men wir daher weitere Terme höherer Ordnung mit und behandeln diese als Störungen, die sich in höheren Termen einer Entwicklung nach ε niederschlagen. Auch in den anderen Fällen kann man so vorgehen. Dies wird jedoch recht schnell ein aufwendiges Unterfangen mit länglichen Ausdrücken, die nur noch mit symbolischen Mathematikprogrammen handhabbar sind. Bei der Behandlung des semiklassischen Beitrags der Bahnen zur Spur erhält man wieder ein einfaches Ergebnis, weswegen wir auf die technischen Details verzichten wollen. Ein Hinweis auf die Arbeiten [26,27,37], in denen das skizzierte Programm durchgeführt ist, soll an dieser Stelle genügen.

Bei allen Bifurkationstypen bleibt die Zahl der periodischen Bahnen über die Bifurkation hinweg konstant, wenn man auch komplexe Koordinaten zuläßt. Die komplexen Geisterlösungen haben zwar keine klassische Bedeutung, sie werden aber bei der semiklassischen Behandlung wichtig. Die charakteristischen Größen der Geisterbahnen werden in Abschnitt 4.1.6 bereitgestellt.

3.4.3 Tangentenbifurkationen (m = 1)

Die Tangentenbifurkation ist die Geburtsstätte zweier periodischer Bahnen gleicher Länge: Zwei zuvor zueinander konjugiert komplexe Lösungen der Fixpunktgleichungen treffen sich bei reellen Koordinaten und wandern dann als reelle Bahnen voneinander weg. Die Zahl der reellen Lösungen der Fixpunktgleichungen erhöht sich somit um zwei. Eine der beiden neuen Bahnen ist zunächst stabil, die andere instabil. Abbildung 5 zeigt eine Abfolge von Phasenraumportraits in der näheren Umgebung einer Tangentenbifurkation, die beim Kreisel für k = 2.45 … auftritt.

Die Birkhoffsche Normalform lautet in diesem Fall

Ŝ(p, q′) = S_{0} + pq′ − εq′ − aq^{′3} − \frac{σ}{2} p^{2} . (3.113)

Eine Skalentransformation (q, p) → (q/λ, pλ) läßt uns über den Betrag von σ frei verfügen; wir wählen σ = ±1. Die Fixpunktgleichungen

\frac{∂Ŝ}{∂q′} = p − ε − 3aq^{′2} = p ,  (3.114)

\frac{∂Ŝ}{∂p} = q′ − σp = q′  (3.115)

haben zwei Lösungen,

p_{±} = 0 ,
q′_{±} = ±\sqrt{−\frac{ε}{3a}} .  (3.116)