44 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

kutiert werden. Insbesondere interessiert uns das Verhalten der verschiedenen Größen in Abhängigkeit vom Bifurkationsparameter ε.

Wie das zugrundeliegende Hamiltonsche System läßt sich auch die aus der Birkhoffschen Normalform resultierende stroboskopische Entwicklung durch eine erzeugende Funktion Ŝ(q′, p) beschreiben. In führender Ordnung lautet die entsprechende Normalform in Analogie zu (3.84)

Ŝ(q′, p) = S_{0} + q′p − H(q′, p) . (3.111)

Aus ihr leiten sich Eigenschaften der Wirkungen S, der Stabilitätsfaktoren tr M und der Maslovindizes ν der bifurkierenden Orbits her.

3.4.2 Von der Normalform zu den Eigenschaften bifurkierender Bahnen

Es soll nun skizziert werden, wie man aus den Normalformen Kenntnis über die charakteristischen Größen der bifurkierenden Bahnen erlangt.

Die Koordinaten der Orbits sind durch die Fixpunktgleichungen (3.19) gegeben und liegen an den Extrema von Ŝ(q′, p) − q′p. Die Wirkung der Bahn ist der Funktionswert von Ŝ(q′, p) − q′p am Extremum. Die Stabilitätsfaktoren folgen aus Gleichung (3.34); da in den Normalformen jeweils \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p} = 1 gilt, vereinfacht sich die Beziehung zu

tr M = 2 − \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q^{′2}} \frac{∂^{2}Ŝ}{∂p^{2}} . (3.112)

Eine stabile Bahn entspricht einem lokalen Minimum oder Maximum von Ŝ(q′, p)−q′p, ebenso eine invers instabile Bahn. Ein gewöhnlicher instabiler Orbit liegt auf einem Sattel. In den Koordinaten der Normalform sind die Morseindizes μ̂ der eng benachbarten bifurkierenden Bahnen identisch. Die Maslovindizes lassen sich dann aus den Gleichungen (3.47) mit (3.49) bestimmen. Maxima haben den Maslovindex μ̂ + 1, Minima den Maslovindex μ̂ − 1; für Sättel ist er mit μ̂ identisch. Diese Formeln für den Maslovindex gelten mit wachsender Entfernung von der Bifurkation im Parameterraum, bis die Orbits an weiteren Bifurkationen in der betrachteten n–Schrittabbildung beteiligt sind. Auch das Verhalten der Wirkungen und der Stabilitätsfaktoren wird nur sinnvoll beschrieben, solange nicht weitere Orbits in die Nähe geraten.

Für die bifurkierenden Bahnen treten wie bei den gebrochenen Tori Beziehungen zwischen den Stabilitätsfaktoren auf. Diese sind wieder nur in der Nähe der betrachteten Bifurkation gut erfüllt und brechen allmählich zusammen, wenn man das System von ihr wegsteuert. Um unabhängige Stabilitätsfaktoren zu erhalten, braucht man in der erzeugenden Funktion eine genügende Zahl von Koeffizienten. Dies wird bei der späteren semiklassischen Behandlung noch wichtig werden. Für den Fall m = 1 neh-