Bifurkationen im gemischten Phasenraum 43

Wegen der Entartung der Eigenwerte ist der Eigenraum für m = 1, 2 im Regelfall nur eindimensional. M^{(n_{2})} kann dann in die Jordannormalform gebracht werden und beschreibt eine Scherung. Ist allerdings m > 2, so sind die Eigenwerte von M^{(n_{1})} laut (3.104) voneinander verschieden, und es gilt M^{(n_{2})} = 1I.

Betrachtet man in der Nähe einer Bifurkation nur die an ihr beteiligten Orbits, erfährt die Hamiltonfunktion eine weitere Vereinfachung. Für Bifurkationen der Kodimension eins bedeutet dies, daß man nur den führenden Resonanzterm mitnimmt. Bei gegebenem m in (3.102) ist er von Ordnung I^{m/2}. Die Struktur des Normalform hängt in der Folge nicht direkt von den primitiven Perioden der bifurkierenden Bahnen ab, sondern nur von ihrem Verhältnis m. Wir können uns auf den Fall n_{1} = 1 beschränken. Geht man in ein rotierendes Koordinatensystem φ = Φ − 2π \frac{l}{m}t über, führt dies auf

H^{(m)} = εI + ∑_{k=2}^{[m/2]} a_{k}I^{k} + bI^{m/2} cos(mφ) . (3.106)

Dies sind die Birkhoffschen Normalformen [30,36,76]. Hier ist ε gerade der Bifurkationsparameter (3.102). Der Ausdruck [m/2] bedeutet m/2 für gerades m und (m − 1)/2 für ungerades m.

Es ist oft sinnvoll, wieder zu den Koordinaten q und p zurückzukehren und gegebenenfalls weitere Vereinfachungen durchzuführen. Für m = 1 setzt man sich zwischen die periodischen Bahnen; in diesem Fall wie auch für m = 2 kann man noch Terme wegschaffen, die keinen Einfluß auf ihre Eigenschaften haben. Man erhält die Normalformen

H^{(1)} = εq + aq^{3} + \frac{σ}{2} p^{2} ,  (3.107)
H^{(2)} = εq^{2} + aq^{4} + \frac{σ}{2} p^{2} .  (3.108)

Die entsprechenden Normalformen für m = 3 und m = 4 sind

H^{(3)} = εI + aI^{3/2} cos(3φ)
= \frac{ε}{2}(p^{2} + q^{2}) + \frac{a}{2\sqrt{2}}(p^{3} − 3pq^{2}) ,  (3.109)
H^{(4)} = εI + aI^{2} + bI^{2} cos(4φ)
= \frac{ε}{2}(p^{2} + q^{2}) + \frac{a}{4}(p^{2} + q^{2})^{2} + \frac{b}{4}(p^{2} + q^{2} − 6p^{2}q^{2}) .  (3.110)

Für jedes Verhältnis m ∈ ℕ der Perioden der Satelliten und des zentralen Orbits gibt es genau einen Bifurkationstyp der Kodimension eins. Als Ausnahme gibt es für m = 4 zwei Typen. Ferner weisen alle Fälle für m ≥ 5 untereinander große Ähnlichkeiten auf. Diese verschiedenen Periode–m–Bifurkationen sollen nun näher dis-